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1、高中数学必修二2015 年高考真题汇总一选择题（共18 小题）1（ 2016?浦东新区一模）如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（）A BCD2（ 2015?河北）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为16+20，则 r=（）A 1B 2C 4D 83（ 2015?新课标 II ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A BCD4（ 2015?广东）若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（）A 至多等于 3B至多等于
2、 4C等于 5D大于 55（ 2015 秋?邢台校级期中） 直角梯形的一个内角为45，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+ ） ，则旋转体的体积为（）A 2 BC D 6（ 2015?安徽）已知 m，n 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A 若 ， 垂直于同一平面，则与 平行B若 m， n 平行于同一平面，则m 与 n 平行C若 ， 不平行，则在内不存在与 平行的直线D若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面7（ 2015?浙江）设 ，是两个不同的平面， l ，m 是两条不同的直线，且 l ? ，m? ，（）第
3、 1 页（共 28 页）A 若 l， B 若 ， l m C若 l ， D 若 ， l m 8（ 2014?广西）已知正四面体 ABCD 中， E 是 AB 的中点， 异面直 CE 与 BD 所成角的余弦 （）A BCD9（ 2013 秋 ?尖山区校 期末）4、如果把两条异面直 看成“一 ”，那么六棱 的棱所在的 12 条直 中，异面直 共有（）A 12 对 B 24 对 C 36 对 D 48 对10（ 2013?安徽）在下列命 中，不是公理的是（）A 平行于同一个平面的两个平面平行B 不在同一直 上的三个点，有且只有一个平面C如果一条直 上的两点在同一个平面内，那么 条直 上所有点都在此平
4、面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它 有且只有一条 点的公共直 11（2015?新 II ） 三点A （ 1， 3）， B（ 4， 2）， C（ 1， 7）的 交y 于 M ， N 两点， |MN|= （）A 2B 8C 4D 1012（ 2014?海淀区校 模 ）正方形 ABCD 的 1，点 E 在 AB 上，点 F 在 BC 上， 点 P 从 E 出 沿直 向F 运 ，每当碰到正方形的 反 ，反 反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E ， P 与正方形的 碰撞的次数 （）A 16B 14C 12D 1013（ 2013?新 ）已知点A （ 1， 0）， B（ 1，0）， C（ 0
5、， 1），直 y=ax+b （ a 0）将 ABC 分割 面 相等的两部分， b 的取 范 是（）A （ 0， 1）B CD 14（ 2013?安徽）函数y=f （ x）的 象如 所示，在区 a，b 上可找到n（n2）个不同的数 x1， x2， xn，使得=， n 的取 范 （）A 2 ， 3B 2 ， 3， 4C 3 ， 4D 3 ， 4， 515（ 2015?南充三模） 两 C1、C2 都和两坐 相切，且都 点（4， 1）， 两 心的距离|C1C2|=（）A 4BC 8D16（ 2015?新 II ） 三点 A （ 1， 0），B （0，），C（ 2，） ABC 外接 的 心到原点的距离
6、（）第 2 页（共 28 页）A BC D17（ 2015?山东）一条光线从点（2，3）射出，经y 轴反射后与圆（2x+3） +（ y 2）2）=1 相切，则反射光线所在直线的斜率为（A 或B 或C或D 或218（ 2015?重庆）已知直线x+ay 1=0 是圆 C：x +y4， a）作圆 C 的一条切线，切点为B ，则 |AB|= （A 2B 6C 4D 22 4x 2y+1=0 的对称轴，过点A（）二填空题（共3 小题）19（ 2015?湖北）如图，已知圆C 与 x 轴相切于点T（ 1， 0），与 y 轴正半轴交于两点A，B（ B 在 A 的上方），且 |AB|=2 （1）圆 C 的标准方
7、程为（2）圆 C 在点 B 处切线在x 轴上的截距为20（ 2014?山东）圆心在直线x 2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆C 截 x 轴所得弦的长为 2，则圆 C 的标准方程为21（ 2014?新课标 II ）设点 M（ x0，1），若在圆 O：x2+y2=1 上存在点 N ，使得 OMN=45 ，则 x0 的取值范围是三解答题（共 9 小题）22（ 2015?北京）如图，在三棱锥V ABC 中，平面 VAB 平面 ABC ， VAB 为等边三角形， AC BC 且 AC=BC=， O， M 分别为 AB ， VA 的中点（ 1）求证： VB 平面 MOC ；（ 2）求证：平面
8、 MOC 平面 VAB（ 3）求三棱锥 V ABC 的体积23（ 2015?福建）如图， AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A ，B 的点， PO 垂直于圆 O 所在的平面，且 PO=OB=1 ，（）若 D 为线段 AC 的中点，求证；AC 平面 PDO ；第 3 页（共 28 页）（）求三棱锥PABC 体积的最大值；（）若 BC=，点 E 在线段 PB 上，求 CE+OE 的最小值24（ 2015?新课标 I ）如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE平面 ABCD （）证明：平面 AEC 平面 BED ；（）若 ABC=120 ，AE EC，三棱
9、锥EACD 的体积为，求该三棱锥的侧面积25（ 2015?广东）已知过原点的动直线226x+5=0相交于不同的两点A ，B l 与圆 C1：x +y（ 1）求圆 C1 的圆心坐标；（ 2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L ： y=k （ x4）与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由2226（ 2014?新课标 I）已知点P（2， 2），圆 C：x +y 8y=0，过点 P 的动直线l 与圆 C 交于 A ，B 两点，线段 AB 的中点为 M ， O 为坐标原点（1）求 M 的轨迹方程；（ 2）当 |OP|=|OM|
10、时，求 l 的方程及 POM 的面积27（2013?新课标）已知圆2222，动圆 P 与圆 M 外M ：（ x+1 ） +y =1，圆 N：（ x 1） +y =9切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C（）求 C 的方程；（） l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，当圆 P 的半径最长时，求 |AB| 28（ 2014?新课标 I）如图，三棱柱ABC A 1B 1C1 中，侧面BB 1C1C 为菱形， B 1C 的中点为 O，且 AO 平面 BB 1C1C（1）证明： B1C AB ；（2）若 AC AB 1， CBB 1=60 ， BC=1
11、 ，求三棱柱 ABC A 1B 1C1 的高29（ 2013?新课标）如图，三棱柱ABC A 1B1C1 中， CA=CB ， AB=AA 1， BAA 1=60 第 4 页（共 28 页）（）证明： AB A 1C；（）若 AB=CB=2 ， A 1C=，求三棱柱ABC A 1B 1C1 的体积30（ 2012?新课标）如图，三棱柱ABC A 1B1C1 中，侧棱垂直底面，ACB=90 ，AC=BC=AA 1， D 是棱 AA 1 的中点（）证明：平面BDC 1平面 BDC（）平面BDC 1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比第 5 页（共 28 页）高中数学必修二2015 年高考真题汇总
12、参考答案与试题解析一选择题（共18 小题）1（ 2016?浦东新区一模）如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（）A BCD【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【专题】 计算题【分析】 设圆柱高为 h，推出底面半径，求出圆柱的侧面积，然后求出圆柱的体积即可得到选项【解答】 解：设圆柱高为h，则底面半径为由题意知， S=h2，h=，2V= （ ） ?h=故选 D 【点评】 本题是基础题，考查圆柱的侧面积、体积的计算及其关系，考查计算能力，常考题型2（ 2015?河北）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体
13、的表面积为16+20，则 r=（）A 1B 2C 4D 8【考点】 由三视图求面积、体积【专题】 立体几何【分析】 通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可【解答】 解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，其表面积为： 4r22222，+r2r2r+2r 2r+ r=5r +4r又该几何体的表面积为16+20，第 6 页（共 28 页）2 2 5r +4r =16+20 ，解得 r=2 ，故选： B【点评】 本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题3（ 2015?新课标 II ）一个
14、正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A BCD【考点】 由三视图求面积、体积【专题】 计算题；空间位置关系与距离【分析】 由三视图判断， 正方体被切掉的部分为三棱锥， 把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可【解答】 解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，正方体切掉部分的体积为111=，剩余部分体积为1=，截去部分体积与剩余部分体积的比值为故选： D【点评】 本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积4（ 2015?广东）若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（）A 至多等于3B至多等于4
15、C等于 5D大于 5第 7 页（共 28 页）【考点】 棱锥的结构特征【专题】 创新题型；空间位置关系与距离【分析】 先考虑平面上的情况： 只有三个点的情况成立； 再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断【解答】 解：考虑平面上，3 个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4 个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n 大于 4，也不成立；在空间中， 4 个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若 n 4，由于任三点不共线，当n=5 时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，
16、即有球心与正四面体的底面的中心重合，故不成立；同理 n 5，不成立故选： B【点评】 本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题5（ 2015 秋?邢台校级期中） 直角梯形的一个内角为45，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+） ，则旋转体的体积为（）A 2BC D 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【专题】 计算题【分析】 由题意可知，这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积再根据题目中的条件求解即可【
17、解答】 解：这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，圆的面积，直角腰为半径，长方形的面积，圆的周长为长，上底为宽，扇形的面积，圆的周长为弧长，另一腰则为扇形的半径设上底为x，则下底为，直角腰为，另一腰为整个面积式子为，解得 x= 2，因为 x0，所以 x= 2 舍去， x=2而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积，圆锥的高，下底减上底得圆锥的高为1，圆柱体积 =Sh=2h=1 2=2，圆锥体积 =所以整个几何体的体积为故选 D 【点评】 本题考查学生的空间想象能力，和逻辑思维能力，等量之间的转换，是中档题6（ 2015?安徽）已知m，n 是两条不同直线， 是两个不
18、同平面，则下列命题正确的是（）A 若 ， 垂直于同一平面，则与 平行第 8 页（共 28 页）B若 m， n 平行于同一平面，则m 与 n 平行C若 ， 不平行，则在内不存在与平行的直线D若 m，n 不平行，则m 与 n 不可能垂直于同一平面【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【专题】 空间位置关系与距离【分析】 利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答【解答】 解：对于A ，若 ， 垂直于同一平面，则与 不一定平行，例如墙角的三个平面；故 A 错误；对于 B ，若 m， n 平行于同一平面，则m 与 n 平行相
19、交或者异面；故B 错误；对于 C，若 ， 不平行，则在内存在无数条与平行的直线；故C 错误；对于 D，若 m，n 不平行， 则 m 与 n 不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D 正确；故选 D 【点评】 本题考查了空间线面关系的判断； 用到了面面垂直、 线面平行的性质定理和判定定理7（ 2015?浙江）设 ，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且 l ? ，m? ，（）A 若 l，则 B 若 ，则 l m C若 l ，则 D 若 ，则 l m 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系【专题】 综合题；空间位置关系与距离【分析】 A 根据线面垂直的
20、判定定理得出A 正确；B 根据面面垂直的性质判断B 错误；C 根据面面平行的判断定理得出C 错误；D 根据面面平行的性质判断D 错误【解答】 解：对于 A ， l ，且 l? ，根据线面垂直的判定定理，得 ， A 正确；对于 B ，当 ， l? ， m? 时， l 与 m 可能平行，也可能垂直，B 错误；对于 C，当 l ，且 l? 时， 与 可能平行，也可能相交， C 错误；对于 D ，当 ，且 l? ， m? 时， l 与 m 可能平行，也可能异面，D 错误故选： A 【点评】 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础题目8（ 2014?广西）已知
21、正四面体ABCD 中， E 是 AB 的中点，则异面直线CE 与 BD 所成角的余弦值为（）A BCD【考点】 异面直线及其所成的角【专题】 空间角【分析】 由 E 为 AB 的中点，可取AD 中点 F，连接 EF，则 CEF 为异面直线CE 与 BD 所成角，设出正四面体的棱长，求出 CEF 的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE 与BD 所成角的余弦值【解答】 解：如图，取 AD 中点 F，连接 EF，CF ，第 9 页（共 28 页）E 为 AB 的中点， EF DB ，则 CEF 为异面直线BD 与 CE 所成的角，ABCD 为正四面体，E， F 分别为 AB ， AD 的中点，
22、CE=CF 设正四面体的棱长为 2a，则 EF=a，CE=CF=在 CEF 中，由余弦定理得：=故选： B【点评】 本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角， 考查了余弦定理的应用，是中档题9（ 2013 秋 ?尖山区校级期末）4、如果把两条异面直线看成“一对 ”，那么六棱锥的棱所在的 12 条直线中，异面直线共有（）A 12 对 B 24 对 C 36 对 D 48 对【考点】 空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征【分析】 由异面直线定义入手，分类计数即可【解答】 解：易知六棱锥的六条侧棱都交于一点，底面六条边在同一平面内，则六棱锥的每条侧棱和底面不与其相交的四条边都是异面直线，所
23、以六棱锥的棱所在的12 条直线中，异面直线共有64=24 对故选 B 【点评】 本题考查异面直线定义，同时考查分类计数原理及空间想象能力10（ 2013?安徽）在下列命题中，不是公理的是（）A 平行于同一个平面的两个平面平行B过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【考点】 平面的基本性质及推论【专题】 规律型【分析】 根据公理的定义解答即可 经过人类长期反复的实践检验是真实的， 不需要由其他判断加以证明的命题和原理就是公理第 10 页（共 28 页）
24、【解答】 解： B ，C， D 经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；而 A 平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理故选 A 【点评】 本题考查了公理的意义，比较简单11（2015?新课标 II ）过三点A （ 1， 3）， B（ 4， 2）， C（ 1， 7）的圆交y 轴于 M ， N 两点，则 |MN|= （）A 2B 8C 4D 10【考点】 两点间的距离公式【专题】 计算题；直线与圆【分析】 设圆的方程为22，代入点的坐标，求出D ，E， F，令 x=0 ，即可x +y +Dx+Ey+F=0得出结论【解答】 解：设圆的方程为22，则，x
25、+y +Dx+Ey+F=0 D= 2， E=4， F= 20，2 2 x +y 2x+4y 20=0 ，2令 x=0 ，可得 y +4y 20=0 ，y= 22，|MN|=4故选： C【点评】 本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键12（ 2014?海淀区校级模拟）正方形 ABCD 的边长为1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，动点 P 从 E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时， P 与正方形的边碰撞的次数为（）A 16B 14C 12D 10【考点】 与直线关于点、直线对称的直线方程；直线的一般式
26、方程【专题】 作图题；压轴题【分析】 通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可【解答】 解：根据已知中的点E， F 的位置，可知第一次碰撞点为F，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，且 CG=，第二次碰撞点为 H，且 DH=，作图，可以得到回到E 点时，需要碰撞14 次即可故选 B 第 11 页（共 28 页）【点评】 本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可，属于难题13（ 2013?新课标）已知点A （ 1， 0）， B（ 1，0）， C（ 0，
27、 1），直线 y=ax+b （ a 0）将 ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（）A （ 0， 1） B CD 【考点】 确定直线位置的几何要素；三角形的面积公式；点到直线的距离公式【专题】 直线与圆【分析】 先求得直线 y=ax+b （ a 0）与 x 轴的交点为 M （， 0），由0 可得点 M 在射线 OA 上求出直线和 BC 的交点 N 的坐标， 若点 M 和点 A 重合， 求得 b=； 若点 M 在点 O 和点 A 之间， 求得b ； 若点 M 在点 A 的左侧，求得 b 1 再把以上得到的三个b 的范围取并集，可得结果【解答】 解：由题意可得，三角形ABC 的面积为
28、=1，由于直线 y=ax+b （ a0）与 x 轴的交点为 M （， 0），由直线 y=ax+b （ a 0）将 ABC 分割为面积相等的两部分，可得b 0，故 0，故点 M 在射线 OA 上设直线 y=ax+b 和 BC 的交点为 N，则由可得点 N 的坐标为（，） 若点 M 和点 A 重合，则点N 为线段 BC 的中点，故N （，），把 A 、N 两点的坐标代入直线y=ax+b ，求得 a=b=第 12 页（共 28 页） 若点 M 在点 O 和点 A 之 ，此 b，点 N 在点 B 和点 C 之 ，由 意可得三角形NMB 的面 等于，即=，即=，可得 a= 0，求得 b ，故有 b 若点
29、 M 在点 A 的左 ， b ，由点 M 的横坐 1，求得 b a 直 y=ax+b 和 AC 的交点 P， 由求得点 P 的坐 （，），此 ，由 意可得，三角形CPN 的面 等于，即?（ 1 b） ?|xN xP|=，即 （ 1 b） ?|=，化 可得22 1|2（ 1 b） =|a由于此 b a 0， 0 a 1， 2（ 1 b）222=|a 1|=1 a两 开方可得（ 1 b）= 1， 1 b，化 可得 b 1，故有 1 b 再把以上得到的三个 b 的范 取并集，可得b 的取 范 是，故 ： B【点 】本 主要考 确定直 的要素， 点到直 的距离公式以及三角形的面 公式的 用， 考察运算
30、能力以及 合分析能力，分 思想，属于 14（ 2013?安徽）函数y=f （ x）的 象如 所示，在区 a，b 上可找到n（n2）个不同的数 x1， x2， xn，使得=， n 的取 范 （）第 13 页（共 28 页）A 2 ， 3B 2 ， 3， 4C 3 ， 4D 3 ， 4， 5【考点】 直线的斜率【专题】 直线与圆【分析】 由表示（ x， f （ x）点与原点连线的斜率，结合函数y=f （x）的图象，数形结合分析可得答案【解答】 解：令 y=f （x）， y=kx ，作直线 y=kx ，可以得出2， 3，4 个交点，故 k=（ x 0）可分别有 2， 3， 4 个解故 n 的取值范围
31、为 2， 3， 4故选 B 【点评】 正确理解斜率的意义、函数交点的意义及数形结合的思想方法是解题的关键15（ 2015?南充三模）设两圆C1、C2 都和两坐标轴相切，且都过点（4， 1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A 4BC 8D【考点】 圆的标准方程【专题】 直线与圆【分析】 圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a， a），则有 |a|=，解方程求得 a 值，代入两点间的距离公式可求得两圆心的距离|C1C2|的值【解答】 解：两圆 C1、 C2 都和两坐标轴相切，且都过点（4， 1），故圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），则有 |a|=，第 14 页（共 28 页）a=5+2 ，或
32、 a=52，故圆心为（ 5+2， 5+2） 和 （ 5 2， 5 2），故两圆心的距离 |C1C2|=8，故选 C【点评】 本题考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题16（ 2015?新课标II ）过三点 A （ 1， 0），B （0，），C（ 2，）则 ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（）A BC D【考点】 圆的标准方程【专题】 直线与圆【分析】 利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论【解答】 解：因为 ABC 外接圆的圆心在直线BC 垂直平分线上，即直线x=1 上，可设圆心 P（ 1， p），由 PA=PB 得|p|=，得 p=圆心
33、坐标为P（ 1，），所以圆心到原点的距离|OP|=，故选： B【点评】 本题主要考查圆性质及 ABC 外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键17（ 2015?山东）一条光线从点（2， 3）射出，经 y 轴反射后与圆（2x+3） +（ y 2）2）=1 相切，则反射光线所在直线的斜率为（A 或B或C 或D 或【考点】 圆的切线方程；直线的斜率【专题】 计算题；直线与圆【分析】 点 A （ 2， 3）关于 y 轴的对称点为A（2， 3），可设反射光线所在直线的方程为： y+3=k （ x 2），利用直线与圆相切的性质即可得出【解答】 解：点 A（ 2， 3）关于 y 轴的对称点为A （ 2， 3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k （ x 2），化为 kx y2k 3=0 反射光线与圆（ x+3） 2+（ y 2）2=1 相切，圆心（ 3， 2）到直线的距离 d=1，化为 24k2+50k+24=0 ，k=或 第 15 页（共 28 页）故选： D【点评】 本题考查了反射光线的性质、 直线与