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1、立体几何欧拉定理与球一、知识点：1简单多面体： 考虑一个多面体，例如正六面体， 假定 它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面 如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做 简单多面体 棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体2五种正多面体的顶点数、面数及棱数：正多面体顶点数 V面数 F棱数 E正四面体446正六面体8612正八面体6812正十二面体201230正二十面体1220303 欧拉定理 （欧拉公式）：简单多面体的顶点数V 、面数 F 及棱数 E 有关系式： VF E24欧拉示性数： 在欧拉公式中令f ( p)V FE
2、， f ( p) 叫欧拉示性数（ 1）简单多面体的欧拉示性数f ( p)2 （ 2）带一个洞的多面体的欧拉示性数f ( p)0（ 3）多面体所有面的内角总和公式：( E F )360 或 (V 2)360 0A5 球的概念： 与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫ROC球心，定长叫球的半径 与定点距离等于定长的点的集合叫做球面一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球O B6 球的截面： 用一平面去截一个球 O ，设 OO 是平面的垂线段， O 为垂足，且OOd ，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以rR2d 2 为半径的一个圆，截面是一个圆面 球面被经过球心的平面
3、截得的圆叫做大圆 ，被不经过球心的平面截得的圆叫做 小圆7 经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截ORdrOP球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0 经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数；纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数8两点的球面距离： 球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离B9 两点的球面距离公式：ABR（其中 R为球半径，为 A,B 所对应的球A RR O心角的弧度数）10 半球的底面： 已知半径为 R 的球 O ，用过球心的平面去截球
4、O ，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆O （包含它内部的点） ，叫做所得 半球的底面11球的体积公式 ： V4 R3312 球的表面积： S 4R2O用心爱心专心1二、练习：1 一个 n 面体共有 8 条棱， 5 个顶点，求 n2 一个正 n 面体共有 8 个顶点，每个顶点处共有三条棱，求n3 一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数 F 有下面的关系： F 2V 44 有没有棱数是 7 的简单多面体？说明理由5 是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边6 过球面上任意两点，作球的大圆的个数是球半径为 25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面 面积为
5、1已知球的两个平行截面的面积分别是5和8，它们位于球心同一侧， 且相距，则球半径是球 O 直径为 4 ， A, B 为球面上的两点且AB23 ，则 A, B 两点的球面距离为北纬 60圈上 M , N 两地，它们在纬度圈上的弧长是R （ R 为地球半径） ，则这两地间的球面距2离为7 北纬 45圈上有 A, B 两地， A 在东径 120， B 在西径 150，设地球半径为R ， A, B 两地球面距离为；8 一个球夹在 120 二面角内，两切点在球面上最短距离为cm ，则球半径为；9. 设地球的半径为 R，在北纬 45圈上有 A、 B 两点，它们的经度相差 90，那么这两点间的纬线的长为 _
6、，两点间的球面距离是 _104 倍，则体积增大为原来的倍；11三个球的半径之比为1: 2:3 ，那么最大的 球的体积是其余两个球的体积和的倍；12.若球的大圆面积扩大为原来的4 倍，则球的体积比原来增加倍；13.把半径分别为3，4， 5 的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是；14.正方体全面积是 24，它的外接球的体积是，内切球的体积是15 O1、O2 分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球 O3 的表面上，求三个球的表面积之比16 表面积为 324 的球，其内接正四棱柱的高是 14 ，求这个正四棱柱的表面积17 正四面体 ABCD的棱长为 a，球 O是内切球，球 O1 是与正
7、四面体的三个面和球 O都相切的一个小球，求球 O1 的体积用心爱心专心2练习参考答案：1 一个 n 面体共有 8 条棱， 5 个顶点，求 n解： VF E2， F E 2V5 ，即 n5 2 一个正n 面体共有8 个顶点，每个顶点处共有三条棱，求n解： V8 ， E83 12 ， FE2V6 ，即 n623一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数 F 有下面的关系： F2V 4证明： E 3F， V F E 2 V F3 F 2 F 2V 4224有没有棱数是7 的简单多面体？说明理由解：若 E 7， VF E 2 ， VF 7 2 9 ，多面体的顶点数 V 4，面数 F 4只有
8、两种情况 V4， F 5 或 V 5， F 4，但是有4 个顶点的多面体只有四个面，不可能是5 个面，有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5 个顶点，没有棱数是7 的多面体5是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边解： 设有一个多面体，有 F（奇数）个面，并且每个面的边数n1, n2 nF 也都是奇数，则n1 n2nF2E ，但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的不存在这样的多面体6球半径为 25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面面积为已知球的两个平行截面的面积分别是5和81，它们位于球心同一侧， 且相距 ，则球半径是
9、球 O 直径为 4 ， A, B 为球面上的两点且AB23 ，则 A, B 两点的球面距离为北纬 60圈上 M , N 两地，它们在纬度圈上的弧长是R （ R 为地球半径） ，则这两地间的球面距2离为答案：一个或无数个 49m2 3 4337北纬 45离为答案：R3圈上有 A, B 两地， A 在东径 120 ， B 在西径 150 ，设地球半径为R ， A, B 两地球面距；8一个球夹在120 二面角内，两切点在球面上最短距离为cm ，则球半径为；答案： 3cm9. 设地球的半径为 R，在北纬 45圈上有 A、B 两点，它们的经度相差 90，那么这两点间的纬线的长为 _，两点间的球面距离是
10、_分析：求 A、 B两点间的球面距离，就是求过球心和点A、B的大圆的劣弧长，因而应先求出弦AB的长，所以要先求出A、 B 两点所在纬度圈的半径解：连结AB设地球球心为O，北纬 45圈中心为O1，则用心爱心专心31 1 ， 1 1 OO OA OO OBO1 AOO1 BOAOC45 O1A O1B O1O OA cos 45 2R 2两点间的纬线的长为：22 R2 R 24 A 、 B两点的经度相差 90， AO1 B 90 在 Rt AO1 B 中， AB2 AO1R ，OA AB OB ，AOB3两点间的球面距离是：R 34 倍，则体积增大为原来的10面积增大为原来的倍；答案： 811三个
11、球的半径之比为1: 2:3 ，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的倍；答案： 312.若球的大圆面积扩大为原来的4 倍，则球的 体积比原来增加倍；答案： 713.把半径分别为3， 4， 5 的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是；答案： 614.正方体全面积是24 ，它的外接球的体积是，内切球的体积是答案：43，4315O1、O2 分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3 的表面上，求三个球的表面积之比分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可解： 设正方体棱长为a，则三个球的半径依次为a 、2 a ，3 a222 三个球的表面积之比是S1
12、 : S2 : S31 : 2 : 3 16 表面积为 324的球，其内接正四棱柱的高是14 ，求这个正四棱柱的表面积解：设球半径为 R ，正四棱柱底面边长为 a ，则作轴截面如图，AA 14， AC2a ，又 4 R2324， R9，用心爱心专心4 ACAC 2CC 28 2 ， a 8 ， S表6423214576 17正四面体 ABCD的棱长为 a，球 O是内切球，球 O1 是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球 O1 的体积分析：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等解：如图，设球O半径为 R，球 O1 的半径为 r ， E为 CD中点，球 O与平面 ACD、BCD切于点 F、G，球1与平面切于点OACDH由题设AGAE 2GE 26 a 3R6 aR6 AOF AEG3，得 Ra 3 a3 a12626 a2R rr6 AO1H AOF3，得 ra 6 aR24R33V球O14 r 346 a6 a 3 33241728另法：以 O 为顶点将正四面体分成相等体积的四个三棱锥，用体积 相等法，可以得到ROG1 AG1 h ， h6 a ，443r1 ( 1 h)1 h6 a 。42824用心爱心专心5