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1、高二数学下试题2019高二数学下试题2019高二数学下试题一、选择题1. 已知锐角 ABC 中， AB=4， AC=1， ABC的面积为 3，则ABAC的值为 ()A.2 B.-2C.4 D.-4解析： ABAC=|AB|AC|cosA=ABACcosA=4cosA.由S=12ABACsinA=3 得 sinA=32 ， ABC是锐角三角形，cosA=12， ABAC=2，故选 A.答案： A2. 在 ABC中，若 A=60，b=16，此三角形的面积S=2203，则a 的值为 ()A.206 B.25C.55 D.49解析：由题可得S=12bcsinA=2203 ， c=55，a2=b2+c2
2、-2bccosA=2401 ，a=49.答案： D3. 三角形两边之差为 2，夹角的余弦值为 35，面积为 14，那么这个三角形的此两边长分别是 ()A.3 和 5 B.4 和 6C.6 和 8 D.5 和 7第 1页解析：cosA=35，sinA=45 ，S=12bcsinA=14 ，bc=35，又 b-c=2 ，b=7， c=5.答案： D4. 在 ABC中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、b、 c，且 a=1，B=45，SABC=2，则 ABC 的外接圆直径是()A.43 B.5C.52 D.62解析：因为SABC=12acsinB，即2=121c22，所以 c=42，b2=a2+
3、c2-2accosB=1+32-214222=25.所以 b=5，所以2R=bsinB=522=52，选 C.答案： C5. 在 ABC中，若 a=2， b=22， c=6+2，则 A 的度数是 () A.30 B.45C.60 D.75解析： cosA=b2+c2-a22bc=32 ，所以 A=30，选 A.答案： A6. 在 ABC中， A?B=1?2， ACB的平分线 CD把三角形面积分成 3?2 两部分，则 cosA 等于 ()A.13 B.12C.34 D.0解析：因为CD是 ACB的平分线，所以SACDSBCD=12ACCDsinACB212BCCDsinACB2=ACBC=sin
4、Bsi第 2页nA=32.因为 B=2A，所以 sinBsinA=sin2AsinA=2cosA=32，所以 cosA=34，选 C.答案： C7. 在 ABC中， AB=3，BC=13，AC=4，则 AC边上的高为 () A.322 B.332C.32 D.33解析：由余弦定理，得cosA=9+16-13234=1224=12 ，sinA=32.AC 边上的高 =ABsinA=323. 故选 B.答案： B8. 在 ABC中， A 与 B 恰满足 sin3A2=sin3B2 ，则三边 a、 b、c 必须满足 ()A.a=bB.a=b=cC.a+b=2cD.(a-b)(a2+b2-ab-c2)
5、=0解析：由sin3A2=sin3B2得： 3A2=3B2或 3A2+3B2=，即 A=B或 A+B=23， A=B或 C=3，a=b 或 cosC=12=a2+b2-c22ab ，即 a=b 或 a2+b2-ab-c2=0 ，选 D.答案： D9. 若 ABC的周长等于20，面积是 103，A=60，则 BC边的长第 3页是 ()A.5 B.6C.7 D.8解析：依题意及面积公式 S=12bcsinA 得 103=12bcsin60 ，得 bc=40. 又周长为 20，故 a+b+c=20，b+c=20-a ，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bccos60=b2
6、+c2-bc=(b+c)2-3bc，故 a2=(20-a)2-120，解得 a=7，故选 C.答案： C10. 用长度分别为 2,3,4,5,6的 5 根细木棒围成一个三角形( 允许连接，但不允许折断) ，能够得到的三角形的最大面积为 ()A.85 B.610C.355 D.20解析：设三角形三边长为a， b， c，则p=a+b+c2=2+3+4+5+62=10.S=1010-a10-b10-c1010-a+10-b+10-c33.当且仅当 10-a=10-b=10-c ，即 a=b=c 时取等号，又 a+b+c=20，a=b=c=203，这与 a，b， cN+不符 .上式取不到等号，又为了使
7、 a，b， c 接近相等，可知当三边长分别为 2+5,3+4,6 ，即 7,7,6 时， Smax=10334=610，选 B.第 4页答案： B二、填空题11. ABC中 sinA=13 ， cosB=33， a=3，则 b=_.解析：由题意知：B 为锐角， sinB=63 ，由正弦定理知：b=asinBsinA=36313=36.答案： 3612. 已知 ABC中， ABAC0，SABC=154， |AB|=3 ，|AC|=5 ，则 BAC=_.解析：由 ABAC0，得 A 是钝角，由 SABC=154，|AB|=3 ，|AC|=5 ，得 1235sinA=154sinA=12 ，得 BA
8、C=150.答案： 15013. 直角三角形的周长为 6+23，斜边上的中线长为 2，则三角形的面积等于 _.解析：因为直角三角形斜边上的中线长为2，所以斜边长为4. 如图，AB=4，AC+BC=2+23令. CBA=，为锐角， 则 BC=4cos，AC=4sin.所以 4cos+4sin=2+23 ，所以 sin(4)=6+24，所以 4=512，所以 6，所以 BC=ABcos=23，所以SABC=12ABBCsin=1242312=23.答案： 2314. 在 ABC中，已知 |AB|=|AC|=2 ，且 ABAC=3，则 BC边长为 _.第 5页解析：由ABAC=3|AB|AC|cos
9、A=3cosA=34 ，由余弦定理可求得 BC=2.答案： 2三、解答题15. 在 ABC中， AB=3， AC=4，BC=3， BD是 AC边上的中线 .求 BD的长 .解析：由余弦定理，得cosA=32+42-32234=5312 ，在 ABD中，BD2=AB2+AD2-2ABADcosA=(3)2+22-2325312=2 ，BD=2.16. 如图，在梯形 ABCD中， CDAB， CD=6，AC=63， DAB=60，求梯形的高 .解析：过点C 作 CEAB， CE即为所求 .CDAB， DAB=60，ADC=120，由正弦定理得sinDAC=6sin12063=12 ，DAC=30，
10、CAB=30，在 RtCAE中， CE=ACsinCAB=12AC=33，即梯形的高为 33.17. 如图在 ABC 中， AB=2， AC=4，线段 CB的垂直平分线交线段 AC于 D，DA-DB=1，求 BCD的面积 .第 6页解析：由于D 是线段 BC的垂直平分线上的一点，BD=CD，于是 AD-DB=AD-DC=1.又 AD+DC=AC=4， AD=52，DC=32.在 ABD中，由余弦定理，得cosADB=AD2+BD2-AB22ADBD=254+94-425232=35，sinADB=1-cos2ADB=45.BDC+ADB=180，sinBDC=sinADB=45，SBCD=12
11、BDCDsinBDC=12323245=910.18. 将一块圆心角为 120，半径为 20 cm的扇形铁片截成一块矩形，如图所示有两种裁法：让矩形的一边在扇形的一条半径 OA上，如左图，或让矩形一边与 AB平行，如右图，问哪种裁法能得到最大面积的矩形 ?并求出这个最大值 .解析： (1) 如图所示，设 AOM=(090)，则 OP=20cos， PM=20sin.S1=OPPM=20cos20sin=400sincos=200sin2 ，当 =45 时， S1 取最大面积为 200 cm2.(2) 如图所示，设 AOM=(060)，在 OMQ中，由正弦定理得QM=OMsinsinOQM=OMsinsin120=40sin3，由图形的对称性知：AOB的平分线OC为扇形的对称轴，第 7页MOC=60，-MN=2DM=2OMsin(60-)=40sin(60-)，因此 S2=QMMN=40sin340sin(60-)=80033cos(2-60)-cos60=80033cos(2-60)-12.当 cos(2-60)=1,2-60， =30 时，S2 有最大值为40033cm2，S2S1，第二种方法截得的矩形有最大面积，最大面积为40033cm2.第 8页