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1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试题卷共 5 页。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考 生信息条形码粘贴区。2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔 书写，字体工整、笔迹清楚。3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案 无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸 刀。一、选择题：本题共 12
2、小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。1 设集合 A = x | x -1 ， B = x | x 2 ，则 AB =A ( -1, -)B ( -,2)C ( -1,2)D 2 设 z =i(2 +i) ，则 z =A 1 +2iB -1+2iC 1 -2iD -1-2i3 已知向量 a =(2,3) ， b =(3,2) ，则 | a -b |=A 2B2C 5 2D504 生物实验室有 5 只免子，其中只有 3 只测量过某项指标若从这 5 只免子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为A23B35C25D155 在“一带一
3、路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测1 ：我的成绩比乙高，2 ：丙的成绩比我和甲的都高，3 ：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确那么三人按成绩由高到低的次 序为A甲、乙、丙B乙、甲、丙C丙、乙、甲D甲、丙、乙6 已知函数 f ( x) 为奇函数，且当 x 0 时， f ( x) =e x -1 ，则当 x 0) 两个相邻的极值点，则 w = 4 4A 2B32C1 D129 若抛物线 y 2 =2 px ( p 0) 的焦点是椭圆x 2 y 2+ =1 的一个焦点，则 p= 3 p pA2 B3 C4 D8 10 曲线 y =2sin x +cos x 在点
4、 ( p,-1) 处的切线方程分为A x -y -p-1=0 C 2 x +y -2 p+1 =0B 2 x -y -2 p-1=0 D x +y -p+1=0p11已知 a (0, ) ， 2sin2 a =cos2 a+1 ，则 sin a =2A15B5 3 2 55 3 511设 F 为双曲线x 2 y 2- =1( a 0，b 0) 的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与 a 2 b 2圆 x2+y2=a2教育 P，Q 两点若 | PQ |=|OF | ，则 C 的离心率为A 2B 3C2 D 5二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若变量 x，y
5、2x +3 y -6 0，满足约束条件 x +y -3 0， 则 z =3 x -y 的最大值是_y -2 0，14 我国高铁发展迅逃，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正 点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99则经停该站 高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_14 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 b sin A +a cos B =0 ，则 B_ 16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代装之，印信的形状多为长方体，正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体（”图
6、 1)半正多面体 是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方 体的棱长为 1则该半正多面体共有_个面，其棱长为_（本题第 一空 2 分，第二空 3 分.)图 1图 21三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）如图，长方体 ABCDA B C D 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在1 1 1 1棱 AA 上，BEEC
7、 1 1（1）证明：BE平面 EB C ；1 1（2）若 AE =A E ， AB =3 ，求四棱锥 EBB C C 的正弦值1 118（12 分）已知 a 是各项均为正数的等比数列， a =2 ， a =2 a +16 n 1 3 2（1）求 a 的通项公式；n（2）设 b =log a ，求数列 b 的前 n 项和n 2 n n19（12 分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些 企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表y 的分组企业数0.20，0)20，0.20)240.20，0.40) 0.40，0.60) 0.60，0
8、.80)53 14 7（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（精确到 0.01）附： 74 8.602 20（12 分）已知点 F ，F 是椭圆 C： 1 2标原点x 2 y 2+ =1a 2 b 2（ a b 0 ）的两个焦点，P 为 C 上的点，O 为坐（1）若 POF 为等边三角形，求 C 的离心率；2（2）如果存在点 P ，使得 PF PF ，且 F PF 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值1 2 1 2范围21（12 分）已知函数 f (
9、 x ) =( x -1)ln x -x -1 证明：（1） f(x)存在唯一的极值点；（1） f ( x ) =0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）极坐标系中，O 为极点，点 M (r ,0q )(0r 0) 在曲线 C： =4sin 上，直线 l 过点 A(4,0) 0且与 OM 垂直，垂足为 P（1）当 q = 0p3时，求 r 及 l 0的极坐标方程；（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程23
10、选修 45：不等式选讲（10 分）已知 f ( x ) =|x -a | x+| x -2 | ( x -a ) （1） 当 a =1 时，求不等式 f ( x) 0 的解集；（2） 若 x ( -,1) 时， f ( x) 0 ，求 a 的取值范围113()n2i i文科数学试题参考答案一、选择题1C7B2D8A3A9D4B10C5A11B6D12A二、填空题139 140.98 15三、解答题17（12 分）3 p41626， 2 -1（1）由已知得 B C 平面 ABB A ，BE 平面 ABB A ，1 1 1 1 1 1故 B C BE .1 1又 BE EC ，所以 BE平面 EB
11、 C .1 1 1（2）由（1）知BEB =901由题设知 ABE A B E，所以 AEB =A EB =45，1 1故 AE=AB=3， AA =2 AE =6 .1作 EF BB ，垂足为 F，则 EF平面 BB C C ，且 EF =AB =3 . 1 1 11所以，四棱锥 E -BB C C 的体积 V = 3 6 3 =18 .1 118（12分）（1）设 an的公比为q，由题设得2 q2=4 q +16 ，即 q2-2 q -8 =0 .解得 q =-2（舍去）或q=4.因此 an的通项公式为 an=2 4n -1=22 n -1.（2）由（1）得 b =(2 n -1)log
12、2 =2 n -1 ，n 2因此数列 b的前n项和为 1 +3 + +2 n -1 =n .n19（12分）（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14 +7100=0.21 .产值负增长的企业频率为2100=0.02 .用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例为 21%， 产值负增长的企业比例为2%.1（2） y = ( -0.10 2 +0.10 24 +0.30 53 +0.50 14 +0.70 7) =0.30 ，100s 2=1 5= y -y100i =11(-0.40)2 2 +( -0.20)2
13、 24 +02 53 +0.202 14 +0.402 7 100121a2( )0( )00=0.0296，s = 0.0296 =0.02 74 0.17 ，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.20（12 分）（1 ）连结 PF ，由 POF 为等边三角形可知在 F PF 中， F PF =90， PF =c ，1 2 1 2 1 2 2cPF = 3c ，于是 2a = PF + PF =( 3 +1)c ，故 C 的离心率是 e = = 3 -1 .a（2）由题意可知，满足条件的点 P ( x, y ) 存在当且仅当1 y y x 2 y 2 | y
14、| 2c=16 ， =-1， + =12 x +c x -c a 2 b 2，即c|y| =16 ，x2+y2=c2，x 2 y 2+ =1a 2 b 2， 由及 a2 =b 2 +c 2得 y2b 4 16 2= ，又由知 y 2 = ，故 b =4 . c 2 c 2由得 x2= (cc 22-b2)，所以c2 b2，从而 a2=b2+c2 2b2=32 ，故 a 4 2 .当 b =4 ， a 4 2 时，存在满足条件的点P. 所以 b =4 ， a 的取值范围为 4 2, +).21（12分）（1） f ( x) 的定义域为(0，+ ).x -1 1f(x) = +ln x -1 =l
15、n x - .x x1因为 y =ln x 单调递增， y = 单调递减，所以 fx(x) 单调递增，又 f(1)=-10 ，故存在唯一 x (1,2) ，使得 f x =0 .2 2 0又当 x x 时， f (x) x 时， f (x) 0 ， f ( x) 单调递增. 0 0因此， f ( x) 存在唯一的极值点.（2）由（1）知 f(x0)0 ，所以 f ( x ) =0 在(x , +0)内存在唯一根 x =a.由 a x 1 得 01a1 x . 01 1 1 1 f (a) 1又 f ( ) =( -1)ln - -1 = =0 ，故 是 f ( x ) =0 在 0, x 的唯
16、一根. a a a a a a综上， f ( x ) =0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.22（10分）（1）因为 M(r ,0q0)在C上，当 q =0p3p时， r =4sin =2 3 .3由已知得 | OP |=|OA | cosp3=2 .设 Q(r,pq) 为l上除P的任意一点.在 Rt OPQ 中 rcos(q- ) =|OP |=2 ，3p p p经检验，点 P(2, ) 在曲线 rcos(q- ) =2 上所以，l的极坐标方程为 rcos(q- ) =2 .3 3 3（2）设 P (r,q) ，在 OAP 中， | OP |=|OA | cosq=4cosq, 即 r
17、=4cosq.p p因为P在线段OM上，且 AP OM ，故 q 的取值范围是 , .4 2所以，P点轨迹的极坐标方程为 r=4cos 23（10 分）p p q，q , .4 2（1）当 a=1 时， f ( x ) =|x -1| x +|x -2|(x -1) .当 x 1 时， f ( x ) =-2( x -1)2 0 ；当 x 1 时， f ( x) 0 .所以，不等式 f ( x) 0 的解集为 (-,1) .（2）因为 f ( a)=0 ，所以 a 1 .当 a 1 ， x ( -,1) 时， f ( x) =(a -x ) x +(2 -x )(x -a ) =2(a -x )(x -1)0 所以， a 的取值范围是 1,+).