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1、243绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。1已知集合A =-1,0,1,2，B = x | x 2 1 ，则 AB =A-1,0,1B0,1C-1,1D0,1,22若z (1+i
2、) =2i，则 z=A -1-iB -1+iC1 -iD1+i3西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90 位，阅读过红楼梦的学生共有80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比 值的估计值为A0.5 B0.6 C0.7 D0.84（1+2x ）（1+x） 的展开式中 x 的系数为A12 B16 C20 D245已知各项均为正数的等比数列a 的前 4 项和为 15，且 a =3a +4a ，则 a
3、=n 5 3 1 3A16 B8 C4 D26已知曲线y =aex+x ln x在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则Aa =e，b =-1Ba=e，b=1 C a =e-1， b =1D a =e-1，b =-1e s7函数 y =2 x 32x +2-x在-6,6的图像大致为ABCD8如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则A BM=EN，且直线 BM，EN 是相交直线B BMEN，且直线 BM，EN 是相交直线C BM=EN，且直线 BM，EN 是异面直线D BMEN，且直线 BM，EN 是异面直线9
4、执行下边的程序框图，如果输入的 为 0.01，则输出 的值等于ff1 3 222 34f1 22 33f32232 2 3f3f22 3f3 124wA2 -12 4B2 -125C2 -12 6D2 -12 7x 2 y 210双曲线 C： -4 2=1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若PO = PF，则PFO 的面积为A3 24B3 22C 2 2D 3 211设f (x)是定义域为 R 的偶函数，且在(0,+)单调递减，则Af（log ） （ - ） （ - 3 2）Bf（log ） （ - 4） （ - ） 2C f （ - ） f （ -21 ） （
5、log ）4D （ -）f（ - ） （log ）2 312设函数f (x)=sin（wx +p5）(w0)，已知f (x)在0,2p有且仅有5个零点，下述四个结论：f (x)在（0,2 p）有且仅有 3 个极大值点f (x)在（0,2p）有且仅有 2 个极小值点f (x)在（0,p10）单调递增 的取值范围是12 29， )5 10其中所有正确结论的编号是ABCD10 =二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知 a，b 为单位向量，且 ab=0，若 c =2a - 5b ，则cos a , c =_.14记 S 为等差数列a 的前 n 项和，n na 0，a =3
6、a 1 2 1S，则 _.S515设F ，F1 2为椭圆 C:x2 y 2+ =136 20的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限.若MF F1 2为等腰三角形，则 M 的坐标为_.16学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD -A B C D1 1 1 1挖去四棱锥 OEFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，AB = BC = 6 cm , AA = 4 cm1，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证
7、明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个 试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A，B两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子 的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P（C）的估计值 为 0.70（1） 求乙离子残留百分比
8、直方图中 a，b 的值；（2） 分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） 18（12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知a sinA +C2=b sin A（1） 求 B；（2） 若ABC 为锐角三角形，且 c=1，求ABC 面积的取值范围19（12 分）图 1 是由矩形 ADEB， ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1，BE=BF=2， FBC=60，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2.（1） 证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCG
9、E；（2） 求图 2 中的二面角 BCGA 的大小.20（12 分）已知函数f ( x) =2 x3 -ax 2+b.（1）讨论f ( x )的单调性；（2）是否存在 a , b ，使得 f ( x )所有值；若不存在，说明理由.在区间 0,1 的最小值为 -1且最大值为 1？若存在，求出 a , b 的M221已知曲线 C：y=x 221，D 为直线 y= - 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B.2（1）证明：直线 AB 过定点：（2）若以 E(0， 的面积.52)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE（二）选考题：共 10 分。请
10、考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）如图，在极坐标系 Ox 中， A(2,0) ，B ( 2,p 3p ) ，C ( 2,4 4)，D (2, p)，弧AB， BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，p(1, )2，(1,p)，曲线M1是弧 AB ，曲线 是弧 BC ，曲线M3是弧 CD .（1）分别写出 M ， M ， M 的极坐标方程；1 2 3（2）曲线 M 由 M ， M ， M 构成，若点 P 在 M 上，且 | OP |=1 2 33 ，求 P 的极坐标.23选修 45：不等式选讲（10 分）设x,
11、y , z R，且x +y +z =1.（1）求( x -1)2 +( y +1)2 +( z +1) 2的最小值；（2）若( x -2)2 +( y -1)2 +( z -a) 213成立，证明：a -3或 a -1.2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题1A 2D 3C 4A 5C 6D 7B 8B 9C 10A 11C 12D二、填空题1323144 15 (3, 15)16118.8三、解答题17解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35 b=10.050.150.70=0.10（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.15+30
12、.20+40.30+50.20+60.10+70.05=4.05 乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.00 18解：（1）由题设及正弦定理得sin A sinA +C2=sin B sin A因为sinA0，所以sinA +C2=sin B由A +B +C =180，可得sinA +C B B B B =cos ，故 cos =2sin cos2 2 2 2 2因为cosB B 1 0 ，故 sin =2 2 2，因此B=60（2）由题设及（1）知ABC的面积SABC=34a由正弦定理得c sin A sin (120-
13、C) 3 1 a = = = +sin C sin C 2 tan C 2由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90，由（ 1）知A+C=120，所以30C90，ABC8 2故12a 2，从而3 3S 0 ；当 x 0,33 -, ,(0, +)单调递增，在 ,033=- 1令 f(x) =0，得 x=0 或 x =a3.若 a0，则当 x ( -,0)a a 时， f (x) 0故 f ( x)在a a ( -,0), , + 单调递增，在 0,3 3 单调递减；若 a=0， f ( x)在 ( -,+)单调递增；若 a0 ；当 x ,0 时， f 3 (x) 0 故 f ( x )在 a
14、 a （2）满足题设条件的 a，b 存在.单调递减.（i）当 a0 时，由（1）知，f ( x )在0，1单调递增，所以 f ( x)在区间0，l的最小值为 f (0)= b ，最大值为 f (1) =2 -a +b b =-1.此时 a，b 满足题设条件当且仅当b =-1， 2 -a +b =1，即 a=0，（ii）当 a3 时，由（1）知，f ( x)在0，1单调递减，所以 f ( x )在区间0，1的最大值为 f (0)= b，最小值为 f (1) =2 -a +b此时 a，b 满足题设条件当且仅当2 -a +b =-1，b=1，即 a=4，b=1（iii）当 0a3 时，由（1）知，
15、f ( x)在0，1的最小值为fa a3 3 27+b，最大值为 b 或2 -a +b若-a327+b =-1，b=1，则a =3 3 2，与 0a3 矛盾.若-a327+b =-1， 2 -a +b =1 ，则 a =3 3 或 a =-3 3或 a=0，与 0a3 矛盾综上，当且仅当 a=0，b =-1或 a=4，b=1 时， f ( x )在0，1的最小值为-1，最大值为 121解：（1）设 D t, -12,A (x, y )，则x 21 1 1=2 y .1由于 y =x ，所以切线DA的斜率为 x ，故11y +2x -t1=x .1 3整理得 2 tx -2 y +1=0.1 1
16、设 B (x, y )，同理可得 2tx -2 y +1=0 .2 2 2 2故直线AB的方程为 2tx -2 y +1 =0 .1所以直线AB过定点 (0, ) .2（2）由（1）得直线AB的方程为 y =tx +12. 1y =tx + 2由 ，可得 x x 2y = 22-2tx -1 =0 .于是 x +x =2t , x x =-1, y +y =t (x+x )+1=2t2+1， 1 2 1 2 1 2 1 2| AB |= 1 +t2x -x = 1 +t 1 22(x +x1 2)2-4 x x =2 (t 1 22+1).设 d , d 分别为点D，E到直线AB的距离，则 d
17、 = t 2 +1, d =1 2 1 2| AB | (d+d )=(t2+3)t2+1. 1因此，四边形ADBE的面积 S =1 221 2设M为线段AB的中点，则 M t , t+ .2 t22 +1.由于 EM AB ，而 EM =(t,t2-2)，AB 与向量 (1, t ) 平行，所以 t +(t2-2)t=0.解 得t=0或 t =1.当 t =0时，S=3；当 t =1时， S =4 2 .因此，四边形ADBE的面积为3或 4 2 .q22.解：（1）由题设可得，弧 r=-2cos.AB, BC, CD所在圆的极坐标方程分别为 r=2cos q， r=2sin q，所 以M1的
18、 极 坐 标 方 程 为r=2cosq 0 q 4，M2的 极 坐 标 方 程 为 3r=2sin q q4 4 3， M 的极坐标方程为 r=-2cos q q 4.或 3, 或 3, 或 3,336 （2）设 P (r,q)，由题设及（1）知若 0 q ，则 2cos q = 3 ，解得 q=4 6； 3 2 若 q ，则 2sin q = 3 ，解得 q= 或 q =4 4 3 3；若3 5 q ，则 -2cos q = 3 ，解得 q =4 6.综上，P的极坐标为 3,6 2 5 .23解：（1）由于( x -1) +( y +1) +( z +1)2=( x -1)2+( y +1)
19、2+( z +1)2+2( x -1)( y +1) +( y +1)( z +1) +( z +1)( x -1)3 (x -1)2 +( y +1)2 +( z +1)2 ，故由已知得( x -1)2 +( y +1)2 +( z +1)2 43，当且仅当x=5 1 1，y= ， z =- 时等号成立 3 3 3所以( x -1)2 +( y +1)2 +( z +1)2的最小值为43.（2）由于( x -2) +( y -1) +( z -a )2=( x -2)2+( y -1)2+( z -a )2+2( x -2)( y -1) +( y -1)( z -a ) +( z -a )( x -2)3 (x -2) 2 +( y -1)2 +( z -a ) 2 ，故由已知 ( x -2) 2 +( y -1)2 +( z -a ) 2 (2 +a )32，当且仅当x =4 -a 1 -a 2 a -2， y = ， z = 时等号成立 3 3 3因此( x -2) 2 +( y -1)2 +( z -a ) 2的最小值为(2 +a )32由题设知(2 +a ) 2 1 ，解得 a -3或 a -1 3 3