《2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国卷Ⅰ高考真题(附答案).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国卷Ⅰ高考真题(附答案).docx（21页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。1已知集合 M = x -4 x 2，N = x x2-x -6 0，则MN=Ax -4 x 3Bx -4 x -2Cx -2
2、 x 2Dx 2 x 32设复数 z 满足z -i =1，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则A( x +1) 2 +y 2 =1B( x -1)2 +y 2 =1Cx 2 +( y -1)2 =1Dx 2 +( y +1)2 =13已知 a =log 0.2，b =220.2，c =0.20.3，则Aa b cBa c bCc a bDb c 0, b 0) a2 b 2的左、右焦点分别为 F ，F ，过 F 的直线与 C 的两条渐近线1 2 1分别交于 A，B 两点若F A =AB ， F B F B =0 1 1 2，则 C 的离心率为_三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证
3、明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17(12 分)2ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设(sin B -sin C ) 2 =sin 2 A -sin B sin C（1）求 A；（2）若18（12 分）2a +b =2c，求 sinC如图，直四棱柱 ABCD A B C D 的底面是菱形，AA =4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是 BC，1 1 1 1 1BB ，A D 的中点1 1（1）证明：MN平面 C DE；1（2）求二面角 AMA N 的正弦值1
4、19（12 分）已知抛物线 C：y =3x 的焦点为 F，斜率为（1）若|AF|+|BF |=4，求 l 的方程；32的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P（2）若AP =3PB，求|AB|20（12 分）已知函数f ( x) =sin x -ln(1+x )，f (x)为f ( x )的导数证明：（1）f(x)在区间p( -1, )2存在唯一极大值点；（2）f ( x )有且仅有 2 个零点21（12 分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一
5、只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 -1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 -1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ，一轮试验中甲药的得分记为 X的分布列；（1）求 X（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，p (i =0,1, ,8) i表示“甲药的累计得分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效 ” 的概
6、率，则p =00，p =18，p =ap +bp +cp (i =1,2, i i -1 i i +1,7)，其中a =P ( X =-1) ， b =P ( X =0) ， c =P ( X =1) 假设 a =0.5 ， b =0.8 (i)证明：p -p (i =0,1,2, ,7) i +1 i为等比数列；(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 1 -t 2x = ， 1 +t 2在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方
7、程为 （t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴的4ty = 1 +t 2正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2rcosq+ 3rsinq+11 =0（1） 求 C 和 l 的直角坐标方程；（2） 求 C 上的点到 l 距离的最小值 23选修 45：不等式选讲（10 分）已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明：（1）1 1 1+ + aa b c2+b2+c2；（2）( a +b )3+(b +c )3+( c +a )3242019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案2 2 2 2 2 2( )=一、选择题1C 2C 3B 4B 5D 6A 7B 8
8、A 9A 10B 11C 12D 二、填空题13y=3x141213150.18 162三、解答题17解：（1）由已知得sin B +sin C -sin A =sin B sin C ，故由正弦定理得 b +c -a =bc由余弦定理得cos A =b2+c 2 -a 2 1 =2bc 2因为0 A 180，所以 A =60（2）由（1）知B =120-C，由题设及正弦定理得 2 sin A +sin (120-C)=2sinC，即6 3 1 2 + cos C + sin C =2sin C ，可得 cos C +60 =-2 2 2 2由于0C 0, g ( ) 0 ；当 x a ,p2
9、 时， g ( x ) 0.a ) 单调递增，在 a , 单调递减，故 g ( x ) 在 -1, 存在唯一极大值点， 2 2 即 f ( x ) 在 -1, 存在唯一极大值点. 2 （2） f ( x ) 的定义域为 ( -1, +).（i）当 x ( -1,0时，由（1）知， f ( x) 在 ( -1,0) 单调递增，而 f (0) =0 ，所以当 x ( -1,0)时， f ( x ) 0 ，所以当 x 0, 时， f ( x ) 0 .从而， f ( x )在 0,2222p p 2p p p ，f 0 ；当 x b, 2 时，f ( x) 0 .故 f ( x) 在 (0, b)
10、单调递增，在 b, 单调递减. 2 又 f (0)=0 ， f没有零点.p p p p （iii）当 x , p 时， f ( x ) 0 ， f ( p) 1 ，所以 f ( x)0，从而 f ( x )在 ( p,+)没有零点.综上， f ( x) 有且仅有2个零点.21解：X 的所有可能取值为 -1,0,1.P ( X =-1) =(1-a)b，P ( X =0) =ab+(1-a)(1-b)， P ( X =1) =a(1-b)，所以 X的分布列为（2）（i）由（1）得 a =0.4, b =0.5, c =0.1.因此p =0.4 p +0.5 p +0.1 p i i -1 i i
11、 +1，故0.1(pi +1-p )=0.4(p-pi i i -1)，即p -p =4 i +1 i(p -pi i -1).又因为p -p = p 0 ，所以 p1 0 1 i +1-p (i=0,1,2, ,7) i为公比为 4，首项为 p 的等比数列112222 ( )22 1 +t2 （ii）由（i）可得p =p -p +p -p + 8 8 7 7 63p =1由于，故 p =8184-1+p -p +p =(p-p )+(p-p)+1 0 0 8 7 7 6 ，所以+(p-p1 0)=48-13p1.p =(p-p )+(p-p)+(p-p)+(p-p4 4 3 3 2 2 1
12、1 0)=44 -1 1p = .3 257p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治 4愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为 p =4常小，说明这种试验方案合理.12570.0039 ，此时得出错误结论的概率非22 解：（ 1 ）因为-11 -t1 +t221，且y 1-t 4tx 2 + = + =1 1 +t 2，所以 C 的直角坐标方程为y 22x+ =1(x -1).4l的直角坐标方程为 2 x + 3 y +11 =0.x =cos a,（2）由（1）可设C的参数方程为 （y =2sin aa为参数，- a ）.C上的点到 l 的距离
13、为 4cos a- +11| 2cos a+2 3 sin a+11| 3 =7 7.当a =-2 3时， 4cos a - +11 3 取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.23解：（1）因为a2+b22 ab , b2+c22bc , c2+a22 ac，又abc =1，故有a2+b2+c2ab +bc +ca =ab +bc +ca 1 1 1= + +abc a b c.所以1 1 1+ + aa b c2+b2+c2.（2）因为 a , b, c为正数且abc =1，故有( a +b )3+(b +c )3+( c +a )33 3( a +b )3(b +c )3( a +c )3=3(a +b )(b + c)(a + c )3 (2 ab ) (2 bc ) (2 ac ) =24.所以( a +b )3 +(b +c ) 3 +( c +a ) 324.