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1、iicc物 体 的 重 心 及 形 心 教 案授课日期年月 日 节年 月 日 节年 月 日 节授课班级课 题 与 主 要物体的重心及形心内容装订教 学 目 的 了解物体重心坐标的一般公式及均质物体、平面图形的形心坐标公 与 要 求 式。学会计算平面组合图形的形心。教学重、难点 积分法求解形心位置（难点）布 置 作 业 4-11（a）(b)教 学 内 容 与 方 法 步 骤 附 记4 物体的重心一、重心概念 本节重点平行力系的合力的大小即为物体的重量，合力的作用点即为物体的重心。 掌握组合线二、物体重心坐标公式1、重心坐标的一般公式截面形心的计算2、 均质物体重心（形心）坐标公式3、 均质薄壳重
2、心（形心）坐标公式DA x DA y x = y =DA DAi i三、物体重心与形心的计算i根据物体的具体形状及特征，可用不同的方法确定其重心及形心的位置。1、对称法（1） 具有一根对称轴的简单物体及图形，其形心必在对称轴上；（2） 具有两根或两根以上对称轴的物体及图形，其形心在对称轴的交 点上；（3） 中心对称的简单物体及图形，其对称中心便是重心或形心。 2、积分法若将平面图形分割成无穷多个微分面积 dA ，在极限情况下用积分公式 3、组合法工程实际中，有些物体的截面是由若干个简单图形组成的，这种图形n称为组合图形，这些截面称为组合截面。由于简单图形的面积及形心一般 是已知的，因此计算组合
3、截面的形心时可以利用这些已知结果。教 学 内 容4 物体的重心在工程中，物体重心的位置具有重要意义。例如挡土墙、重力坝、起重机的抗倾覆稳定性问题，都与它们的重心位置有关，高速运转部件的重心如果不在轴线上，将引起机械的剧烈震动，因此必须了解重心的概念和 重心位置的求法。一、重心概念在地球表面附近的物体，它的每一部分都受到地球引力的作用，这些引力汇交于地球的中心，形成一个空间汇交力系，但由于我们所研究的物体其尺寸与地球的直径相比要小得多，因此可以近似地将物体上这部分力系看作是空间平行力系，这个平行力系的合力的大小即为物体的重量，合 力的作用点即为物体的重心。二、物体重心坐标公式1、重心坐标的一般公
4、式将物体分成许多微小部分 n 份教学方法与手段平行力系重心、形心、重心对于物体的相对位置的不变性等概念要阐述清各微小部分所受到的地球引力（重力）以DFG1DFG 2DF Gn表示楚各微小部分作用点坐标为( x y z ) ( x y z ) (xy z ) 1 1 1 2 2 2 n n n则物体的重量为F =FDFGi=DFGin =1重心的坐标用（x ，y ，z ）表示，根据空间力系的合力矩定理，对 xC C C轴取矩，则M ( DF ) =DF y +DF y +DFy=DF y x G G1 1 G 2 2 Gn n Gii因M ( F ) =DF y =F yx G G c GF y
5、 =DF y c c GiicGiGiGiiiiii i则yc=DF yGiFGi=DF y DFGii同理x =cDF xGiFGi=DF x DFGiiz =cDF zGiFGi=DF z DFGii物体连同坐标轴转 90 度，而使坐标面 oxz 成为水平面，由重心的概念 知，此物体重心的位置不变，再对 x 轴应用合力矩定理求 Z 。c体积为 V。假想把物体分割成许多微小体积 V ，每个微小体积所受的i重力为 F = V ，其作用点坐标为（x ，y ，z ）。整个物体所受的重力 Gi i i i i为 F =F 。应用合力矩定理可以推导出物体重心的近似公式G Gi2、均质物体重心（形心）坐
6、标公式对于均质物体（常把同一材料制成的物体称为均质物体），其容重 为V常量（物体每单位体积的重量），各微小部分的体积为 整个物体的体积为DV DV DV 1 2n，则有DFG1F =F=DV g1DFGiDFC 2=Vg=DV gDF Gn=DV gn得xc=DV gx DV gii=DV xDViy =cDV gy DV gii=DV yDVizc=DV gzi iDV gi=DV zDV由上可知：均质物体重心完全决定于物体的几何形状，而与物体的重量无关。由物体的几何形状及尺寸所决定的物体的几何中心，称为形心，上式也是物体形心的坐标公式。对于均质物体来说，形心与重心重 合。3、均质薄壳重心（
7、形心）坐标公式由于薄壳的厚度远小于其它两个方向尺寸，可忽略厚度不计，则DV =DA t DV =DA t DV=DAt 1 1 2 n ni iiii iiDV =DAti i故形心公式为xc=DV xDV=DAt x DAtii=DA xDAiiy =cDV yDV=DAt y DAtii=DA y DAii三、物体重心与形心的计算根据物体的具体形状及特征，可用不同的方法确定其重心及形心的位 置。1、对称法对于形状比较规则的物体及图形，其重心及形心可根据对称性直接判 断。（1） 具有一根对称轴的简单物体及图形，其形心必在对称轴上；（2） 具有两根或两根以上对称轴的物体及图形，其形心在对称轴的
8、交 点上；（3） 中心对称的简单物体及图形，其对称中心便是重心或形心。2、积分法若将平面图形分割成无穷多个微分面积 dA ，在极限情况下，上式写成：xdAydAx =CAdAy =CAdAAA3、组合法工程实际中，有些物体的截面是由若干个简单图形组成的，例如梯形可以认为是由两个三角形（或一个矩形、一个三角形）组成的，T 形截面是由两个矩形组成的，这种图形称为组合图形，这些截面称为组合截面。由nnCnn于简单图形的面积及形心一般是已知的，因此计算组合截面的形心时可以 利用这些已知结果。x =CA x +A x +LL +A x 1 1 2 2 n nA +A +LL +A1 2 n=A xii
9、=1Aiii =1A y +A y +LL +A y y = 1 1 2 2 n nA +A +LL +A1 2 n=A yi ii =1Ai着重说明i =1例 1：求图示槽形形心的位置。 解： x =0C组合法求形心位置yC=15 7.5 3.75 -10 5 2.5 15 7.5 -10 2.5=4.75cm说明：1、辅助坐标的建立 2、负面积法例 2、求图示 T 形形心的位置。解：xC=0y =cy =c10 60 5 +40 20 3010 6 +40 20 10 60 0 +40 20 2510 60 +40 20=19.3cm=14.3cmy =c40 20 20 +60 10 45 10 60 +40 20=30.7 cm