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1、数学教案平行四边形的判定_八年级数学教案 _模板教学建议1.重点平行四边形的判定定理重点分析 平行四边形的判定方法涉及平行四边形元素的各方面，同时它又与平行四边形的性质联系， 判定一个四边形是否为平行四边形是利用平行四边形性质解决其他问题的基础，所以平行四边形的判定定理是本节的重点2.难点 灵活运用判定定理证明平行四边形难点分析 平行四边形的判定方法较多，综合性较强，能灵活的运用判定定理证明平行四边形，是本节的难点3.关于平行四边形判定的教法建议本节研究平行四边形的判定方法，重点是四个判定定理，这也是本章的重点之一1教科书首先指出，用定义可以判定平行四边形然后从平行四边形的性质定理的逆命题出发
2、， 来探索平行四边形的判定定理因此在开始的教学引入中，要充分调动学生的情感因素，尽可能利用形式多样的多媒体课件，激发学生兴趣，使学生能很快参与进来2素质教育的主旨是发挥学生的主体因素，让学生自主获取知识本章重点中前三个判定定理的顺序与它的性质定理相对应，因此在讲授新课时，建议采用实验式教学模式或探索式教学模式： 在证明每个判定定理时，由学生自己去判断命题成立与否，并根据过去所学知识去验证自己的结论，比较各种方法的优劣，这样使每个学生都积极参与到教学中，自己去实验，去探索，去思考，去发现，在动手动脑中得到的结论会更深刻 同时也要注意保护学生的参与积极性3平行四边形的判定方法较多，综合性较强， 能
3、灵活的运用判定定理证明平行四边形，是本节的难点 因此在例题讲解时， 建议采用启发式教学模式， 根据题目中具体条件结合图形引导学生根据分析法解题程序从条件或结论出发， 由学生自己去思考， 去分析， 充分发挥学生的主体作用，对学生灵活掌握熟练应用各种判定定理会有帮助教学设计示例1教学目标 通过本节课教学,使学生训练掌握平行四边形的各条判定定理, 并能灵活地运用平行四边形的性质定理和判定定理及以前学过的知识进行有关证明,培养学生的逻辑思维能力。教学过程（）一、准备题系列1.复习旧知识：前面我们学习了平行四边形的性质，哪位同学能叙述一下。（答对者记分，答错的另点同学补充）2.小实验：有一块平行四喧形的
4、玻璃片，假如不小心碰碎了解部分（如图所示），同学们想想看，有没有办法把原来的平行四边形重新画出来？（让学生思考讨论，再各自画图，画好后互相交流画法，教师巡回检查。对个别差生稍加点拨，最后请学生回答画图方法）学生可能想到的画法有：分别过 A 、C 作 DC、DA的平行线，两平行线相交于B； 过 C 作 DA 的平行线，再在这平行线上截取CB=DA ，连结 BA ； 分别以 A 、C 为圆心， 以 DC、DA 的长为半径画弧，两弧相交于B，连结 AB 、CB 。还有一种一法， 学生不易想到， 即由平行四边形对角线的特性，引导学生得出连结 AC ，取 AC 的中点 O，再连结 DO，并延长 DO 至
5、 B，使 BO=DO ，连结 AB 、 CD。二、引入新课上面作出的四边形是否都是平行四边形呢？请同学们猜一猜。生答后师指出这就是今天所要不得研究的问题 “平行四边形的判定”（板书课题） 。三、尝试议练1.要判定我们刚才画出的四边形是不是平行四边形，应当加以证明。第一种画法，由平行四边形的定义可知，它是平行四边形（定义可作性质也可作判定）。2.现在我们来看看第二种画法，这就是平行四边形判定定理一（翻开课本看它的文字叙述）。请想想，一组对边平行且相等的四边形究竟是不是平行四边形呢？这里已知是什么？求证是什么？请写出。自学课本上的证明过程， 看后提问： 这个证明题不作辅助线行不行？为什么？ （因为
6、要证平行线，一般要证两角相等，或互补，要证两角相等，一般要证全等三角形，而这里没有三角形，要连一对角线才有三角形）3.再看第三种画法，在两组对边分别相等的情况下是不是平行四边形？教师写出已知、求证，请两位学生上台证明，其余在课堂练习本上做。（注意考虑要不要添辅助线）完成证明后提问哪些学生是用判定定理一落千丈证明的？哪些是用定义证明的？（解题后思考）四、变式练习1.再看看第四种画法，可知，已各条件是四边形的对角线互相一平分，这种情况下它是不平行四边形？阅读课本上的判定定理之后，要求学生思考用什么方法求证最简便？（应该用判定定理一）2.变式题两组对角分别相等的四边形是不是平行四边形？为什么？（练习
7、第1 题）（口述证明，不要示书面证明） （问要不要添辅助线？）一组对边平行，一组对角相等的四边形是不是平行四边形？（教师补充）一组对边相等，一组对家相等及一组对边相等，另一组对边相等的四边形是不是平行四边形？ （引导学生在草稿纸上画图思考，然后回答不是平行四边形。因为边角不能证全等三角形）自学课本例1 思考：此例证明中， 什么地方用了平行四边形的“性质 ”？什么地方用“判定”定理？观察下图：平行四边形ABCD 中， A 、 C 的平行线分别交对边于E 和 F，求证： AE=FC （怎样证最简便？）五、课堂小结1.今天这节课我们学了什么？平行四这形的判定有哪些方法？试列举之。2.这些平行四边形的
8、判定方法中最基本的是哪一条？3.平行四边形的判定定理和性质有什么关系？同一个证明题中应注意什么地方用判定，什么地方性质？教学设计示例运用公式法 完全平方公式 (1)教学目标1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.3进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力4通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会 “把一个代数式看作一个字母 ”的换元思想。教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式.难点：灵活运用完全平方公式公解因式.教学过程设计一、复习1.问：什么叫把一个多项式因式分
9、解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法.2.把下列各式分解因式：(1)ax4 ax2(2)16m4 n4.我们学过的因式解 (1) ax4 ax2=ax2(x2 1)=ax2(x+1)(x 1)(2) 16m4 n4=(4m2)2 (n2)2 =(4m2+n2)(4m2 n2) =(4m2+n2)(2m+n)(2m n).问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?答：有完全平方公式请写出完全平方公式.完全平方公式是：.(a+b)2=a2+2ab+b2,(a b)2=a2 2ab
10、+b2.这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2 ；a22ab+b2=(a b)2.这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去 )这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和(或者差 )的平方 .式子 a2+2ab+b2 及 a22ab+b2 叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式 .运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式.问：具备什么特征的多项是完全平方式?答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数 )的平方，并且这两部分的符
11、号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数 ) 的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.问：下列多项式是否为完全平方式?为什么 ?(1)x2+6x+9 ；(2)x2+xy+y2 ；(3)25x4 10x2+1 ；(4)16a2+1.答： (1)式是完全平方式.因为x2与9 分别是x 的平方与3 的平方，6x=2x3，所以x2+6x+9=(x+3) .(2) 不是完全平方式 .因为第三部分必须是 2xy.(3) 是完全平方式 .25x =(5x ) ， 1=1 ，10x =2 5x 1，所以25x 10x +1=(5x 1) .(4) 不是完全平方式 .因为缺第三部分 .请同学们用
12、箭头表示完全平方公式中的a， b 与多项式9x2+6xy+y2 中的对应项，其中a=?b=?2ab=?答：完全平方公式为：其中 a=3x， b=y， 2ab=2(3x) y.例 1 把 25x4+10x2+1 分解因式 .分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“25x4”是 (5x2) 的平方，第三项“1是” 1 的平方，第二项 “10x2”是 5x2 与 1 的积的 2 倍 .所以多项式 25x4+10x2+1 是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式 .解 25x4+10x2+1=(5x2)2+25x21+12=(5x2+1)2.例 2把 1 m+ 分解因式 .问：请同学分析这个多项式的
13、特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法 ?答：这个多项式由三部分组成， 第一项 “1是” 1 的平方， 第三项 “ 是” 的平方， 第二项 “m”是 1 与 m/4 的积的 2 倍的相反数，因此这个多项式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式 .解法 1 1 m+ =1 21+（ ） 2=（ 1 ） 2.解法 2 先提出，则1 m+ = (16 8m+m2)= (42 24m+m2)= (4 m)2.三、课堂练习 (投影 )1.填空：(1)x2 10x+ （） 2=（(2)9x2+ （） +4y2= （(3)1（） +m2/9= （）2；）2；）2.2.下列各多项式是不是完全平方式
14、?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多项式改变为完全平方式.(1)x2 2x+4 ；(2)9x2+4x+1 ；(3)a2 4ab+4b2；(4)9m2+12m+4 ；(5)1 a+a2/4.3.把下列各式分解因式：(1)a2 24a+144；(3)19x2+2xy+9y2 ；(2)4a2b2+4ab+1 ；(4)14a2 ab+b2.答案：1.(1)25， (x 5) 2；(2)12xy ， (3x+2y) 2 ；(3)2m/3，（ 1m3） 2.2.(1)不是完全平方式，如果把第二项的“ 2x”改为 “ 4x”，原式就变为x24x+4 ，它是完全平方式；或把第三项的“4”为改 1，原
15、式就变为x2 2x+1 ，它是完全平方式.(2)不是完全平方式，如果把第二项“4x改”为 “6x，”原式变为9x2+6x+1 ，它是完全平方式.(3) 是完全平方式， a2-4ab+4b2=(a 2b)2.(4) 是完全平方式， 9m2+12m+4=(3m+2) 2.(5) 是完全平方式， 1a+a2/4=（ 1 a2） 2.3.(1)(a 12) 2；(2)(2ab+1) 2 ；(3)(13x+3y) 2 ；(4) （12a b）2.四、小结运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：1.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再
16、运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解.2.在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2 ；如果是负号，则用公式a2 2ab+b2=(a b) 2.五、作业把下列各式分解因式：1.(1)a2+8a+16 ；(2)1 4t+4t2 ；(3)m2 14m+49 ；(4)y2+y+1/4.2.(1)25m2 80m+64；(2)4a2+36a+81 ；(3)4p2 20pq+25q2 ；(4)16 8xy+x2y2 ；(5)a2b2 4ab+4；(6)25a4 40a2b
17、2+16b4.3.(1)m2n 2mn+1 ；(2)7am+1 14am+7am 1；4.(1) x 4x ；(2)a5+a4+ a3.答案：1.(1)(a+4)2 ；(2)(1 2t)2；(3)(m 7) 2；(4)（ y+12） 2.2.(1)(5m 8) 2；(2)(2a+9) 2 ；(3)(2p 5q) 2；(4)(4 xy) 2 ；(5)(ab 2) 2；(6)(5a2 4b2) 2.3.(1)(mn 1) 2；(2)7am 1(a 1) 2.4.(1) x(x+4)(x 4)；(2)14a3 (2a+1) 2.课堂教学设计说明1.利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习
18、了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上， 采取启发式的教学方法， 引导学生积极思考问题， 从中培养学生的思维品质 . 2.本节课要求学生掌握完全平方公式的特点和灵活运用公式把多项式进行因式分解的方法 .在教学设计中安排了形式多样的课堂练习，让学生从不同侧面理解完全平方公式的特点 .例 1 和例 2 的讲解可以在老师的引导下，师生共同分析和解答，使学生当堂能够掌握运用平方公式进行完全因式分解的方法.（第二课时）一、教学目标1使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用.2使学生掌握三角形一边平行线的
19、判定定理.3已知线的成已知比的作图问题.4通过应用，培养识图能力和推理论证能力.5通过定理的教学，进一步培养学生类比的数学思想.二、教学设计观察、猜想、归纳、讲解三、重点、 点l 教学重点：是平行 分 段成比例定理和推 及其 用2教学 点：是平行 分 段成比例定理的正确性的 明及推 用四、 安排1 课时五、教具学具准 投影 、胶片、常用画 工具六、教学步 【复 提 】叙述平行 分 段成比例定理（要求： 合 形，做出六个比例式）.【 解新 】在黑板上画出 ， 察其特点：与 的交点 A 在直 上，根据平行 分 段成比例定理有： （六个比例式）然后把 中有关 擦掉，剩下如 所示， 即可得到：平行于的
20、 BC 的直 DE 截 AB 、 AC ，所得 段成比例在黑板上画出左 ， 察其特点：与 的交点A 在直 上，同 可得出：例式），然后擦掉 中有关 ，得到右 ， 即可 到：平行于的 BC 的直 DE 截 BA 、 CA 的延 ，所以 段成比例（六个比 上所述，可以得到：推 ：（三角形一 平行 的性 定理）平行于三角形一 的直 截其他两 （或两 的延 ），所得的 段成比例如 ，（六个比例式） 此推 是判定三角形相似的基 注：关于推 中“或两 的延 ”，是指三角形两 在第三 同一 的延 ，知 ， DE 是截 ， 个推 包含了下 的各种情况如果已 个推 不包含下 的情况后者，教学中如学生不提起，可不
21、必向学生交待（考 改用投影 或小黑板）例 3已知：如 ，求： AE 教材上采用了先求CE 再求 AE 的方法，建 在列比例式 ，把CE 写成比例第一 ，即：. 学生思考，是否可直接未出【小 】1知道推 的探索方法AE （找学生板演） 2重点是推 的正确运用七、布置作 （ 1）教材 P215 中 2（ 2） 作教材 P222 中 B 组 1八、板 教学建议1教材分析（ 1）知识结构：（ 2）重点和难点分析：重点：四边形的有关概念及内角和定理.因为四边形的有关概念及内角和定理是本章的基础知识，对后继知识的学习起着重要的作用.难点：四边形的概念及四边形不稳定性的理解和应用.在前面讲解三角形的概念时，
22、因为三角形的三个顶点确定一个平面，所以三个顶点总是共面的，也就是说， 三角形肯定是平面图形， 而四边形就不是这样，它的四个顶点有不共面的情况，又限于我们现在研究的是平面图形， 所以在四边形的定义中加上“在同一平面内 ”这个条件， 这几个字的意思学生不好理解，所以是难点.2教法建议（ 1）本节的引入最好使用我们提供的多媒体课件，通过这个课件，使学生认识到这些四边形都是常见图形，研究它们具有实际应用意义，从而激发学生学习数学的兴趣.（ 2）本节的教学，要以三角形为基础，可以仿照三角形，通过类比的方法建立四边形的有关概念，如四边形的边、顶点、内角、外角、内角和、外角和、周长等都可同三角形类比，要结合
23、三角形、四边形的图形，对比着指给学生看，让学生明确这些概念.（ 3）因为在三角形中没有对角线，所以四边形的对角线是一个新概念，它是解决四边形问题时常用的辅助线，通过它可以把四边形问题转化为三角形问题来解决.结合图形，让学生自己动手作四边形的一条对角线，并观察四边形的一条对角线把它分成几个三角形？两条对角线呢？使学生加深对对角线的作用的认识.（ 4）本节用到的数学思想方法是化归转化的思想和类比的思想，教师在讲解本节知识时要渗透这两种思想方法，并且在本节小结中对这两种数学思想方法进行总结，使学生明白碰到复杂的、未知的问题要转化为简单的、已知的问题.一、素质教育目标（一）知识教学点1使学生掌握四边形
24、的有关概念及四边形的内角和外角和定理2了解四边形的不稳定性及它在实际生产，生活中的应用（二）能力训练点1通过引导学生观察气象站的实例，培养学生从具体事物中抽象出几何图形的能力2通过推导四边形内角和定理，对学生渗透化归思想3会根据比较简单的条件画出指定的四边形4讲解四边形外角概念和外角定理时，联系三角形的有关概念对学生渗透类比思想（三）德育渗透点使学生认识到这些四边形都是常见的， 研究他们都有实际应用意义， 从而激发学生学习新知识的兴趣（四）美育渗透点通过四边形内角和定理数学，渗透统一美，应用美二、学法引导类比、观察、引导、讲解三、重点 难点 疑点及解决办法1教学重点：四边形及其有关概念；熟练推
25、导四边形外角和这一结论，并用此结论解决与四边形内外角有关计算问题2教学难点：理解四边形的有关概念中的一些细节问题；四边形不稳定性的理解和应用3疑点及解决办法：四边形的定义中为什么要有“在平面内 ”，而三角形的定义中就没有呢？根据指定条件画四边形，关键是要分析好作图的顺序，一般先作一个角四、课时安排2 课时五、教具学具准备投影仪、胶片、四边形模型、常用画图工具六、师生互动活动设计教师引入新课， 学生观察图形， 类比三角形知识导出四边形有关概念；师生共同推导四边形内角和的定理， 学生巩固内角和定理和应用； 共同分析探索外角和定理， 学生阅读相关材料第一课时七、教学步骤【复习引入】在小学里已经对四边
26、形、长方形、平形四边形的有关知识有所了解，但还很肤浅，这一章我们将比较系统地学习各种四边形的性质和判定分析它们之间的关系，并运用有关四边形的知识解决一些新问题【引入新课】用投影仪打出课前画好的教材中P119 的图师问：在上图中你能把知道的长方形、正方形、平行四边形、梯形找出来吗？（启发学生找上述图形，最后教师用彩色笔勾出几个图形）【讲解新课】1四边形的有关概念结合图形讲解四边形，四边形的边、顶点、角，凸四边形，四边形的对角线（同时学生在书上画出上述概念） ，讲解这些概念时：（ 1）要结合图形（ 2）要与三角形类比（ 3）讲清定义中的关键词语如四边形定义中要说明为什么加上 “同一平面内 ”而三角
27、形的定义中为什么不加 “同一平面内 ”（三角形的三个顶点一定在同一平面内， 而四个点有可能不在同一平面内，如图 42 中的点 我们现在只研究平面图形，故在定义中加上 “在同一平面内 ”的限制）（ 4）强调四边形对角线的作用，作为四边形的一种常用的辅助线，通过它可以把四边形问题转化为三角形来解 （渗透化归思想） ，并观察图 43 用对角线分成的这些三角形与原四边形的关系（ 5）强调四边形的表示方法，一定要按顶点顺序书写四边形如图4 1（ 6）在判断一个四边形是不是凸四边形时，一定要按照定义的要求把每一边都延长后再下结论如图 4 4，图 4 52四边形内角和定理教师问：（ 1）在图 4 3 中对角
28、线 AC 把四边形ABCD 分成几个三角形？（ 2）在图 4 6 中两条对角线 AC 和 BD 把四边形分成几个三角形？（ 3）若在四边形 ABCD 如图 4 7 内任取一点 O，从 O 向四个顶点作连线，把四边形分成几个三角形我们知道，三角形内角和等于180，那么四边形的内角和就等于： 2180 360如图 4 6； 4180 360 360如图 4 7例 1 已知：如图 4 8，直线 于 B 、 于 C求证：（ 1） ; （ 2） .本例题是四边形内角和定理的应用， 实际上它证明了两边相互垂直的两个角相等或互补的关系，何时用相等，何时用互补，如果需要应用，作两三步推理就可以证出【总结、扩展】1四边形的有关概念2四边形对角线的作用3四边形内角和定理八、布置作业教材 P128 中 1（ 1）、 2、 3九、板书设计四边形（一）四边形有关概念四边形内角和例 1十、随堂练习教材 P122 中 1、 2、 3.