第三册完全平方公式_八年级数学教案.docx

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1、第三册完全平方公式_八年级数学教案 _模板一、教材分析：（一）教材的地位与作用本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。 它是在学生学习了代数式的概念、 整式的加减法、 幂的运算和整式的乘法后进行学习的， 其地位和作用主要体现在以下几方面：（ 1）整式是初中代数研究范围内的一块重要内容，整式的运算又是整式中一大主干，乘法公式则是在学习了单项式乘法、 多项式乘法之后来进行学习的； 一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结； 另一方面， 乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识

2、有较大好处。（ 2）乘法公式是后续学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习因式分解、 分式运算的重要基础， 同时也具有培养学生逐渐养成严密的逻辑推理能力的功能。（ 3）公式的发现与验证给学生体验规律发现的基本方法和基本过程提供了很好模式。（二）教学目标的确定在素质背景下的数学教学应以学生的发展为本，学生的能力培养为重，尤其是创新、 创造能力，以及培养学生良好的个性品质等。根据以上指导思想，同时参照义务教育阶段数学课程标准的要求，确定本节课的教学目标如下：1、知识目标：理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会应用公式进行简单的计算。2、能力目标：渗透建模、 化归、

3、换元、数形结合等思想方法，培养学生的发现能力、求简意识、 应用意识、解决问题的能力和创新能力。3、情感目标：培养学生敢于挑战，勇于探索的精神和善于观察，大胆创新的思维品质。（三）教学重点与难点完全平方公式和平方差公式一样是主要的乘法公式， 其本质是多项式乘法， 是学生今后用于计算的一种重要依据，因此，本节教学的重点与难点如下：本节的重点是体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质， 并会运用公式进行简单的计算。本节的难点是从广泛意义上理解公式中的字母含义， 判明要计算的代数式是哪两数的和 （差）的平方。二、教学方法与手段（一）教学方法：针对初一学生的形象思维大于抽象思维， 注意力不能持久等年龄特

4、点， 及本节课实际， 采用自主探索，启发引导，合作交流展开教学，引导学生主动地进行观察、猜测、验证和交流。同时考虑到学生的认知方式、思维水平和学习能力的差异进行分层次教学，让不同层次的学生都能主动参与并都能得到充分的发展。边启发， 边探索边归纳， 突出以学生为主体的探索性学习活动和因材施教原则，教师努力为学生的探索性学习创造知识环境和氛围，遵循知识产生过程，从特殊一般 特殊，将所学的知识用于实践中。采用小组讨论，大组竞赛等多种形式激发学习兴趣。（二）教学手段：利用投影仪辅助教学，突破教学难点，公式的推导变成生动、形象、直观，提高教学效率。（三）学法指导：在学法上，教师应引导学生积极思维，鼓励学

5、生进行合作学习，让每个学生都动口、动手、动脑，自己归纳出运算法则，培养学生学习的主动性和积极性。三、教材处理根据本节内容特点，本着循序渐进的原则，我将以 “边长为 (a+b) 的正方形面积是多少？”这个实际问题引入新课， 关于两数和的平方公式通过实例、推导、 验证几个步骤完成。 关于两数差的平方公式， 我将为学生提供三种不同的思路，由学生自己选择学习、理解，然后再归纳的方法进行，再通过分层次练习，加以巩固。四、教学程序教学过程设计意图一、创设情境，引出课题如图，有一个边长为a 米的正方形广场，则这个广场的面积是多少？a若在这个广场的相邻两边铺一条宽为10 米的道路，则面积是多少？a10引导学生

6、利用图形分割求面积。另一方面：正方形1010a102面积为 (a+10)2, 所以：(a+10)2=a2+20a+102aa210aa10babb2把 10 替换为 b,(a+b)2=a2+2ab+b2aa2ab提出课题ab通过较为简单的几何图形面积计算和较熟悉的整式乖法计算。引入本节学习内容(a+b) (a+b)（根据初一学生年龄特点，采用图形变化来激发学生学习兴趣）问题是知识、 能力的生长点， 通过富有实际意义的问题能激活学生原有认知，地进行探索和思考。促使学生主动对公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 的形式进行初步认识，接触教学过程设计意图二、交流对话，探求新知1、推导两数和的完全平

7、方公式计算 (a+b)2解： (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b22、理解公式特征算式：两数和的平方积：两个数的平方和加上这两个数积的2 倍3、语言叙述(a+b)2=a2+2ab+b2 用语言如何叙述4、公式 (a-b)2=a2-2ab+b2 教学利用多项式乘法(a-b)2=(a-b)(a-b)利用换元思想(a-b)2=a+(-b)2利用图形ba(a-b)ba5、学生总结、归纳：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2这两个公式叫做完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的 2 倍。6、公式

8、中的字母含义的理解。（学生回答）(x+2y)2 是哪两个数的和的平方？(x+2y)2=()2+2()()+()2(2x-5y)2 是哪两个数的差的平方？(2x+5y)2=()2+2()()+()2变式(2x-5y)2 可以看成是哪两个数的和的平方？利用多项式乘法推导公式，使学生了解公式的来源以及理解乘法公式的本质。组织学生小组讨论，使学生明确公式特征，加深对公式表象的理解。由学生对公式(a+b)2=a2+2ab+b2 进行口头语言叙述。(1) 说明：教师提供三种模式，由学生选择一种去解决。培养学生学习的主动性，开阔学生的思路。 (2) 同时对渗透数形结合思想、换元思想，也是分散、分步突破本节的

9、难点的第一个层次； (3)体会辩证统一的唯物主义观点； (4) 正确引导学生学习时知识的正迁移。使学生学会对公式的正确表述，有利于学生正确用于计算之中，此时也可以让学生对两个公式特点进行讨论归纳，适当总结一定的口诀：“头平方，尾平方，两倍的乘积中间放。”加深学生对公式中的字母含义的理解，明确字母意义的广泛性教学过程设计意图三、整理新知形成结构1、完全平方公式并分析公式左右的特征。2、换元的基本想法四、应用新知，体验成功1、例 1 教学：用完全平方公式计算(1)(a+3)2(2)(y- )2(3)(-2x+t)2(4)(-3x-4y)2学生直接运用公式计算，教师板演， 讲评时边口述理由,针对第

10、(4) 题 (-3x-4y)2与 4y 差的平方，也可以看成-3x 与 -4y 和的平方提出以下问题：可以看成是-3x（ 1）可否看成两数和的平方，运用两数和的平方公式来计算？（ 2）可否看成两数差的平方，运用两数差的平方公式来计算？（ 3）能不能进行符号转化？如 (-3x-4y)2=(3x+4y)22、公式巩固（ 1）同桌同学互相编一道用完全平方公式计算题目，然后解答。（ 2）下列各式的计算，错在哪里？应怎样改正？ (a+b)2=a2+b2 (a-b)2=a2-b2 (a-2b)2=a2+2ab+2b23、练习：运用完全平方公式计算：(学生板演 )(a+5)2 (3+x)2(y-2)2 (7

11、-y)2(2x+3y)2 (-2x-3y)2 (3- )2 (- - )24、例 2，运用完全平方公式计算：(1)1012 (2)9825、练习：运用完全平方公式计算(1)912(2)7982(3)(10 )26、讨论： (1-2x)(-1-2x), (x-2y)(-2y+1)如何计算五、公式拓展，鼓励探究1、 a2+b2=(a+b)2-_a2+b2+ _=(a+b)2a2+b2+ _ =(a-b)22、 (a+b)2-(a-b)2=_3、 (a+b+c)2=_4、提出思考题：(a+b)3=?(a+b)4=?5、已知求 的值。6、已知：，求， 的值。6. 已知 ，求 x 和 y 的值。(1)

12、遵循及时巩固原则。 (2)针对初一学生注意力不能持久的特点。 (3)形成知识网络，有利于学生进一步学习公式的运用(1) 直接运用公式进行计算。 (2) 进一步帮助学生掌握换元法。 (3)进行符号转化的变换，加深学生对公式理解的深度，也为进一步学习其它知识打好基础。 几个式子的辨析目的在于防止学生 以前学 的如(ab)2=a2b2 的公式的 迁移作用 合(1) 合作学 ，四人小 （教 逐步引 到运用完全平方公式 算）学生 自己解 的想法和步 ，培养 言表达能力。 (2)体会公式 运用作用，增加学 趣 一步辨析完全平方公式与平方差公式的区 公式 形利于各种 算提出一个 ，引 学生用学 研究完全平方

13、公式的方法去研究公式的拓展 形 。如：三 式的平方，两 式的立方、四次方等，培养学生的 的治学 度和 研精神。教学过程 意 六、小 提高，知 升 1、两个公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b22、两种推 方法：多 式乘法 出； 形面 出3、 元法与 化七、作 布置，分 落 1、 教材6.17 内容2、 省 作 本6.173、 (a+b)2,(a+b)3的展开式从 数、系数方面 行研究由学生自己小 本 所学知 、方法等。教 根据学生回答情况作出 充。(1) 作 1 主要以培养学 良好的学 目的。(2) 合学生 情况， 面向全体学生，因材施教原 。作 2 要求全体学都

14、能完成。作 3 做 ， 部分学有余力的学生可 做。在减 学生的 担同 ，注重人本思想，以学生的能力 展 重。也能 足不同 次学生的不同要求。附：板 与 大致安排屏幕课题公式 例 学生板演本 的 大致安排：引入 3分 左右， 探求新知15 分 左右， 整理新知2 分 左右， 用新知15 分 左右，公式拓展5分 左右，小 作 布置 5 分 。设 计 说 明本 的教学 注重体 以教 主 、学生 主体， 以 展学生 本的思想。遵循初一学生的心理特点（形象思 大于抽象思 ）和 知 律（从特殊到一般）。 合学生 学 情况 （已 熟 掌握多 式乘法，并且本 之前也已 学 了平方差公式） 行本 的。下面就 作

15、几点 明：1、完全平方公式的本 是多 式乘法，它的推 方法与平方差公式推 方法是一 的，根据乘方的意 与多 式乘法法 ，就可以推 出完全平方公式。因此在两数和的平方公式推 中，采取先由学生自己 算(a+b)2，然后教 点 的方式，再加上引 已 由几何 形面 的 算得出的 (a+b)2=a2+2ab+b2 ，学生是容易接受的。 在两数差的平方公式推 中，更 一步，由学生自主 一种模式解决、 ，增加了数学 堂的开放性。2、充分 学生自主学 、探究的能力。 从引入 形 的教 启 引 ，到公式 、推 的学生自主探索， 再到学生与学生之 的合作交流学 ， 都突出了学生是探索性学 活 的主体。 在公式拓展

16、中 提出了思考 (a+b)3= ？ (a+b)4=？ (a+b+c)2= ？培养学生 的治学 度和 研探索的精神。同 学生明确本 不 要学会完全平方公式，更加要学会完全平方公式的推 方法，即授学生以 ， 学生学会学 。3、在 与作 布置中都体 了分 次教学的要求， 不同 次的学生都能主 的参与并都能得到充分的 展。同 也遵循了面向全体与因材施教相 合的教学原 。4、充分挖掘本 教材中的 含的各种数学思想，在教学中渗透如建模思想、数形 合思想、 元思想、化 思想，注重培养学生的 、解决 的能力、求 意 、 用意 、 新能力等各方面能力。5、公式 (a-b)2=a2-2ab+b2 可以作 (a+b

17、)2=a2+2ab+b2 的一个 用， 两个公式便 一 一个公式， 做有助于学生的 和理解， 但作 用， 践表明 是把它 分开来用的好。因此，教学中在公式 (a-b)2=a2-2ab+b2 的推 程就有意 的安排与 (a+b)2=a2-2ab+b2 一，但又它与 (a+b)2=a2+2ab+b2 同等的 待。 最后在小 ， 于两者的 系再加以 明， 学生 会到数学中的 一思想。第六章一次函数4 确定一次函数的表达式教学目标(一 )教学知识点1了解两个条件确定一个一次函数；一个条件确定一个正比例函数2能由两个条件求出一次函数的表达式，一个条件求出正比例函数的表达式，并解决有关现实问题(二 )能力

18、训练要求能根据函数的图象确定一次函数的表达式，培养学生的数形结合能力(三 )情感与价值观要求能把实际问题抽象为数字问题， 也能把所学知识运用于实际， 让学生认识数字与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用教学重点根据所给信息确定一次函数的表达式教学难点用一次函数的知识解决有关现实问题教学方法启发引导法教具准备小黑板、三角板教学过程（）导入新课师 在上节课中我们学习了一次函数图象的定义，在给定表达式的前提下，我们可以说出它的有关性质 如果给你有关信息，你能否求出函数的表达式呢？这将是本节课我们要研究的问题讲授新课一、试一试（阅读课文P167 页）想想下面的问题。某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v

19、(米 /秒 )与其下滑时间t(秒 )的关系。(1) 写出 v 与 t 之间的关系式；(2) 下滑 3 秒时物体的速度是多少？分析：要求 v 与 t 之间的关系式，首先应观察图象，确定它是正比例函数的图象，还是一次函数的图象，然后设函数解析式，再把已知的坐标代入解析式求出待定系数即可师请大家先思考解题的思路，然后和同伴进行交流生 因为函数图象过原点，且是一条直线， v=kt ，由图象可知 (2， 5)在直线上，所以把所以这是一个正比例函数的图象，设表达式为t=2 ，v=5 代入上式求出k，就可知v 与 t 的关系式了解：由题意可知v 是 t 的正比例函数设 v=kt (2 ， 5)在函数图象上

20、2k=5 k= v 与 t 的关系式为v=t(2) 求下滑3 秒时物体的速度，就是求当t 等于3 时的v 的值解：当t=3时v=3=7 5(米 /秒 )二、想一想师请大家从这个题的解题经历中，总结一下如果已知函数的图象，怎样求函数的表达式大家互相讨论之后再表述出来生第一步应根据函数的图象，确定这个函数是正比例函数或是一次函数；第二步设函数的表达式；第三步根据表达式列等式，若是正比例函数，则找一个点的坐标即可；若是一次函数， 则需要找两个点的坐标，把这些点的坐标分别代入所设的解析式中，组成关于k， b 的一个或两个方程第四步解出 k， b 值第五步把 k， b 的值代回到表达式中即可师由此可知，

21、确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？生确定正比例函数的表达式需要一个条件，确定一次函数的表达式需要两个条件三、阅读课文P167 页例一，尝试分析解答下面例题。例在弹性限度内，弹簧的长度y(厘米 )是所挂物体的质量 x(千克 )的一次函数、 当所挂物体的质量为1 千克时， 弹簧长 15 厘米；当所挂物体的质量为 3 千克时，弹簧长 16 厘米写出 y 与 x 之间的关系式， 并求出所挂物体的质量为4 千克时弹簧的长度师请大家先分析一下，这个例题和我们上面讨论的问题有何区别生没有画图象师在没有图象的情况下，怎样确定是正比例函数还是一次函数呢？生因为题中已告诉是一次函数师对这

22、位同学非常仔细，大家应该向这位同学学习，对所给题目首先要认真审题，然后再有目标地去解决，下面请大家仿照上面的解题步骤来完成本题生解：设y=kx+b ，根据题意，得15=k+b ，16=3k+b 由得 b=15 k由得 b=16 3k 15 k=16 3k即 k=0 5把 k=0 5 代入，得 k=14 5所以在弹性限度内y=0 5x+14 5当x=4时y=0 54+14 5=165(厘米 )即物体的质量为4 千克时，弹簧长度为16 5 厘米师 大家思考一下，在上面的两个题中，有哪些步骤是相同的，式的步骤你能否总结出求函数表达生它们的相同步骤是第二步到第四步求函数表达式的步骤有：1设函数表达式2

23、根据已知条件列出有关方程3解方程4把求出的k， b 值代回到表达式中即可四课堂练习(一 )随堂练习P168 页(题目见教材 )解：若一次函数y=2x+b 的图象经过点 A( 1，1)，则 b=3，该图象经过点 B(1 ， 5)和点 C( ， 0)(题目见教材 )解：分析直线l 是一次函数 y=kx+b 的图象由图象过（ 0， 2），（3， 0）两点可知：当 x=0时， y=2；当 x=3 时， y=0 。分别代入y=kx+b 中列出两个方程，解法如上面例题。五课时小结本节课我们主要学习了根据已知条件，如何求函数的表达式其步骤如下：1设函数表达式;2根据已知条件列出有关k，b 的方程 ;3解方程

24、，求k， b;4把 k， b 代回表达式中，写出表达式六、布置作业：P169 页 1、2（一）教学过程（）【复习提问】1同类二次根式的定义2二次根式加减法的法则3加减运算中注意的问题【例题】例 1判断：（ 1） ；（）（ 2） ；（）（ 3） ；（）（ 4） ；（）（ 5） （）（要求学生找出错误的原因，能进行加减运算的，要加以改正 ）例 2 计算：（ 1） 解：（ 2） 解：（ 3） 解：（ 4） 解：小结：二次根式加减运算的步骤：（ 1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号（ 2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简（ 3）合并同类二次根式例 3 当 ， 时，求代数式 的值解：当 时，时，原

25、式例 4 已知 ，求下列各式的近似值（精确到 0.01）：（ 1） ；（ 2） 解：（ 1） 当 时，原式 （ 2）当 时，原式 注意：求值时，一般应对代数式先化简，再代入数值（二）随堂练习计算：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）已知 ， ，求式子 的近似值（精确到 0.01）（三）总结、扩展正确地进行二次根式的加减法运算，需解决好几个环节：同类二次根式，合并的方法等可通过例题加以说明去括号， 化简二次根式， 确定练习：教材P191 中 2（6）、（ 7）， 3； P194 中 7（四）布置作 教材 P193 中 3（ 7）、（ 8）、（ 9）、（ 10）；教材 P194 中 4（ 5）、（6）

26、， 5（五）板 标题1例 例 12 3小 例 2例 3八、背景知 与 外 二次根式的加减法法 与乘除法法 的区 运算二次根式乘除法同 二次根式的加减法系数系数相乘除系数相加减被开方数被开方数相乘除被开方数不 化 把最后 果化成最 二次根式可先化成最 二次根式再运算一、教学目 1理解成比例 段以及 、比例外 、比例内 、第四比例 、比例中 等的概念2掌握比例基本性 和合分比性 3通 通 的 用，培养学 的 算能力4通 比例性 的教学，渗透 化思想5通 比例性 的教学，激 学生学 趣二、教学 先学后做，启 引 三、重点及 点1教学重点比例性 及 用2教学 点正确理解成比例 段及 用四、 安排1 课

27、时五、教具学具准 股影 、胶片、常用画 工具六、教学步 【复 提 】1什么是 段的比？2已知 两条 段的比是 ， 什么？【 解新 】1比例线段：见教材P203 页。如：见教材P203 页图 5 2。又如：即 a、b、 c、 d 是成比例线段。注：已知 问这四条线段成比例吗？（答：成比例。 ，这里与顺序无关） 。若已知a、 b、 c、 d 是成比例线段，是指不能写成（在说四条线段成比例时，一定要将这四条线段按顺序列出，这里与顺序有关）。板书教材 P203 页比例线段的一些附属概念。2比例的性质：（ 1）比例的基本性质：如果，那么。它的逆命题也成立，即：如果，那么。推论：如果，那么。反之亦然：如果

28、，那么。基本性质证明了“比例式 ”和 “等积式 ”是可以互化的。由，除可得到外，还可得到其它七个比例式。即由一个等积式，可写成八个不同的比例式 （让学生试写） 。然后教师教给方法。即：先按左： 右右：左 “写出四个比例式。再由等式的对称性写出另外四个比例式：。注意区别与联系。用比例的基本性质， 可检查所作的比例变形是否正确。 即把比例式化成等积式， 看与原式所得的等积式是否相同即可。等积化比例、 比例化等积是本章一个重要能力， 要使学生达到非常熟练的程度， 以利于后面学习。（ 2）合比性质：如果，那么证明：，即：同理可证：（找学生板演）（ 3）等比性质：如果那么证明：设 ；则等比性质的证明思路及思想非常重要，它是解决数学中连比问题的通法， 希望同学们认真体会，务必掌握。例 1（要求了解即可）（ 1）已知： ，求证： 。证明： ，“通法 ”： ， 即（ 2）已知： ，求证： 。方法一：方法二：（ 1） （ 2）得：【小结】（ 1）比例线段的概念及附属概念。（ 2）比例的基本性质及其应用。八、布置作 （ 1）求（ 2）求下列各式中的x九、板 比例 段（二）1比例 段：教 板 定 比例 段的附属概念2比例的性 （ 1）比例基本性 注意：（ 1）3 堂