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1、xx 年高考数学专项练习及答案 型一、利用 推理求解相关 例 1：如 所示，是某小朋友在用火柴拼 呈 的 形，其中第 1 个 形用了 3 根火柴，第 2 个 形用了 9 根火柴，第 3 个 形用了 18 根火柴， 第 xx 个 形用的火柴根数 _。破 切入点： 察 形的 律，写成代数式 可得。答案： 3021xx解析：由 意，第1 个 形需要火柴的根数 31;第 2 个 形需要火柴的根数 3(1+2);第 3 个 形需要火柴的根数 3(1+2+3);由此，可以推出，第n 个 形需要火柴的根数 3(1+2+3+n) 。所以第 xx 个 形所需火柴的根数 3(1+2+3+xx)=3=3021xx。
2、 型二、利用 比推理求解相关 例 2：如 所示，在平面上，用一条直 截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形， 有勾股定理 c2=a2+b2。空 中的正方体，用一平面去截正方体的一角， 截下的是一个三条 棱两两垂直的三棱 ，若 三个两两垂直的 面的面 分 S1，S2，S3，截面面 为 S， 比平面中的 有 _。破题切入点：由平面图形中各元素到空间几何体中各元素的类比。答案： S2=S+S+S解析：建立从平面图形到空间图形的类比，在由平面几何的性质类比推理空间立体几何的性质时， 注意平面几何中点的性质可类比推理空间几何中线的性质， 平面几何中线的性质可类比推理空间几何中面的性质，平面几何中面的性
3、质可类比推理空间几何中体的性质。所以三角形类比空间中的三棱锥， 线段的长度类比图形的面积， 于是作出猜想： S2=S+S+S。总结提高：(1) 归纳推理的三个特点归纳推理的前提是几个已知的特殊对象，归纳所得到的结论是的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围 ;由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否准确，还需要经过逻辑推理和实践检验， 因此归纳推理不能作为数学证明的工具 ;归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助发现问题和提出问题。(2) 类比推理的一般步骤定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 ;推测，即用一类对象的已知特征去推测另一
4、类对象的特征，从而得出一个猜想 ; ，即 猜想的正确性，要将 比推理运用于 推理之中，在不断的推理中提高自己的 察、 、 比能力。1. 已知 x0， 察不等式 x+2=2，x+=+3=3，由此可得一般 ： x+n+1(nN*) ， a 的 _.答案： nn解析：根据已知， 写一个不等式：x+=+4=4，由此可得 a=nn。2. 在平面内点 O是直 AB外一点，点 C在直 AB上，若 =+， +=1; 似地，如果点O是空 内任一点，点A，B，C，D中任意三点均不共 ，并且 四点在同一平面内，若=x+y+z， x+y+z=_。答案： -1解析：在平面内，由三角形法 ，得=- ，=- 。因 A，B，
5、C三点共 ，所以存在 数 t ，使 =t ，即 -=t(-) ，所以 =-+(+1) 。因 =+，所以 =- ， =+1，所以 +=1。 似地，在空 内可得 =+， +=1。因 =- ，所以 x+y+z=-1 。3. 察下列各式： 55=312556=15625，57=78125，58=390625，59=1953125， 52014 的末四位数字 _.答案： 5625解析：由 察易知55 的末四位数字 3125，56 的末四位数字为 5625，57 的末四位数字 8125，58 的末四位数字 0625，59 的末四位数字 3125，故周期 T=4。又由于 2014=5034+2，因此 520
6、14的末四位数字是5625。4. 察下列各式： a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11， a10+b10=_。答案： 123解析： an+bn=f(n) ， f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11;f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123，即 a10+b10=123。5. 已知正三角形内切 的半径是其高的，把 个 推广到空 正四面体， 似
7、的 是 _。答案：正四面体的内切球的半径是其高的解析： 正四面体的每个面的面 是S，高是 h，内切球半径 R，由体 分割可得： SR4=Sh，所以 R=h。6. 察下列等式：(1+1)=21(2+1)(2+2)=2213(3+1)(3+2)(3+3)=23135照此 律，第 n 个等式可 _。答案： (n+1)(n+2) (n+n)=2n 13 (2n-1)解析：由已知的三个等式左 的 化 律，得第 n 个等式左 为(n+1)(n+2) (n+n) ，由已知的三个等式右 的 化 律，得第 n 个等式右 2n 与 n 个奇数之 ，即 2n13 (2n-1) 。7.(xx湖北 ) 古希腊 达哥拉斯
8、学派的数学家研究 各种多 形数，如三角形数1，3，6，10，第 n 个三角形数 =n2+n， 第 n 个 k 形数 N(n，k)(k 3) ，以下列出了部分k 形数中第 n个数的表达式：三角形数 N(n，3)=n2+n，正方形数 N(n，4)=n2 ，五 形数 N(n，5)=n2-n ，六 形数 N(n，6)=2n2-n可以推 N(n，k) 的表达式，由此 算N(10，24)=_.答案： 1000解析：由 N(n，4)=n2 ，N(n，6)=2n2-n ，可以推 ：当k 偶数 ， N(n，k)=n2+n， N(10，24)= 100+10=1100-100=1000。8. 两点等分 位 ，有相
9、 正确关系 sin +sin( +)=0;三点等分 位 ，有相 正确关系 sin +sin( +)+sin( +)=0. 由此可以推知：四点等分 位 的相 正确关系 _。答案： sin +sin( +)+sin( +)+sin( +)=0解析：由 比推理可知，四点等分 位 ，与+的 互 反向延 ，+与 +的 互 反向延 。9.(xx 西 ) 察下列等式12=1，12-22=-3，12-22+32=6，12-22+32-42=-10，照此 律，第n 个等式可 _。答案： 12-22+32-42+ +(-1)n+1n2=(-1)n+1。解析： 察等式左 的式子，每次增加一 ，故第n 个等式左 有
10、n ，指数都是 2，且正、 相 ，所以等式左 的通 (-1)n+1n2 。等式右 的 的符号也是正、 相 ，其 分 1，3，6，10，15，21， 此数列 an ， a2-a1=2 ，a3-a2=3 ，a4-a3=4，a5-a4=5，an-an-1=n ，各式相加得 an-a1=2+3+4+n，即 an=1+2+3+n=。所以第 n 个等式 12-22+32-42+ +(-1)n+1n2=(-1)n+1。10. 如 1 是一个 1 的正三角形，分 个三角形三 中点，将原三角形剖分成 4 个三角形 ( 如 2) ，再分 2 中一个小三角形三 的中点，又可将原三角形剖分成7 个三角形 ( 如 3)
11、 ，依此 推。 第 n 个 中原三角形被剖分成 an 个三角形， 第 4 个 中最小三角形的 _;a100=_。答案： 298解析：由三角形的生成 律得，后面的每一个 形中小三角形的 均等于前一个 形中小三角形 的， 即最小三角形的 是以 1 首 ， 公比的等比数列， 第 4 个 中最小三角形的 等于 1=，由 a2-a1=a3-a2= =an-an-1=3 可得，数列 an 是首 1，公差 3 的等差数列， a100=a1+993=1+297=298。11. 察下列不等式：1+，1+，1+，照此 律，第五个不等式 _。答案： 1+解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列。第五个不等式为1+。12.(xx陕西 ) 观察分析下表中的数据：多面体面数 (F) 顶点数 (V) 棱数 (E) 三棱柱 5、6、9 五棱锥 6、6、 10 立方体 6、8、12 猜想一般凸多面体中 F，V，E 所满足的等式是_。答案： F+V-E=2解析：观察 F，V，E 的变化得 F+V-E=2。