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1、上海 2019 高中数学竞赛试题【一】填空题 此题总分值 60 分，前 4 小题每题 7 分，后 4 小题每题 8 分1.如图 , 正六边形 A1B1C1 D1E1F1的边长为 1, 它的A16条对角线又围成一个正六边形A2 B2C2 D2 E2F2,如此继续下去 , 那么所有这些六边形的面积和是 .B1A2F1F22. 正整数 a1 , a2 ,满足 : a jB2E2, a103,1 i j10ai2C2D2C1E1那么 a10的最小可能值是 .3.假设，D1tantan17tan6cotcotcot4 , cotcot517，那么.cotcotcotcottan54、关于 x 的方程 l
2、g kx2lgx1 仅有一个实数解，那 AD么实数 k 的取值范围是 .5、如图，AEF 是边长为 x 的正方形 ABCD 的内接三角F形， AEF90 ， AEa, EF b, a b ，那么 x .BEC6、方程 2m3n3n 12m13 的非负整数解 m, n.7、一个口袋里有 5 个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5 个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .用数字作答8、数列 an定义如下：2n1n. 假设a11,a2 2, an 2n2an 1n 2an , n1,2,2011 ，那么正整数 m 的最小值为 .am 22012【二】解答
3、题9、此题总分值14 分如图，在平行四边形ABCD中，ABx，BC，1 角 AC与 BD的 角BOC45 ， 直 AB与 CD的距离 h( x) 、求 h(x) 的表达式，并写出x 的取 范 、DCO10、此 分 14 分 定 数 a1 ，求函数AB(asin x)(4sin x) 的最小 、f ( x)1sin x11、此 分 16 分正 数 x, y, z 足 9xyzxy yz zx4 ，求 ：1yzzx4 ；xy32 xy z2 、12、此 分 16 分 定整数 n(3) ， f (n) 集合 1,2,2 n 1 的 足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小 ：a1A, 2n1A ；b
4、A 中的元素除1 外均 A 中的另两个可以相同元素的和、1求 f (3) 的 ；2求 ： f (100)108 、参考答案：1、 9 3 2、9243、114、,045、a26、 3, 0 , 2, 2a2(ab)27、 2 8、 402559、解由平行四 形 角 平方和等于四条 的平方和得OB2OC 2 1 ( AB 2BC 2 )1 (x2、1)22 2 分在 OBC中，由余弦定理BC 2OB 2OC 22OB OC cos BOC ，所以 OB 2OC 22OB OC 1 ，由，得x21 、OB OC22 5 分所以SABCD4S OBC4 1 OB OC sin BOC22OB OCx
5、21 ，2故AB h(x)x2 1 ，2所以h(x)x21 、10 分2x由可得， x21 0 ，故 x1 、因 OB 2OC 22OB OC ， 合，可得121)x2 1 ，( x2222解得 合 x1 1x21、 上所述，h(x)x21 ，1x21、 14 分2x10、解(asin x)(4 sin x)13( a1)a、f ( x)1sin xsin xsin x21当7 ， 03(a1)2 ，此 1a33(a1)，f (x)123(a1)a2sin xa 21sin x且当 sin x3(a1)11,1 不等式等号成立，故 fmin ( x)2 3(a 1) a 2 、 6 分当7 ，
6、3(a1)2，此 “耐克”函数3(a1) 在 0, 3(a 1)内是a3ytt 减，故此 fmin (x)f (1)23(a1)a5(a1) 、222 上所述，23(a1)a2, 1a7 14 分;f min ( x)35( a1)72,a.311、 1 xyyzzx ，由平均不等式t33xyyz zx3 、xyz3 ( xy)( yz)( zx)223 4 分于是 49xyzxyyzzx9t 33t 2 ，所以23t23t2，3t0而 3t 23t20 ，所以 3t20 ，即2 ，从而t3xyyzzx 2又因 4 、 10 分3( xyz)23( xyyzzx) ，所以 (xyz)24 ，故
7、 x y z 2 、 16 分12、解 集合3，且 A 足 a，b、那么、11,2, ,211 A, 7 AA由于 1, m,7 m 2,3,6 不 足 b，故 A3 、又 1,2,3,7 , 1,2,4,7 , 1,2,5,7 , 1,2,6,7 , 1,3,4,7 , 1,3,5,7 , 1,3,6,7 ,1,4,5,7 , 1,4,6,7 , 1,5,6,7 都不满足 b，故 A4 、而集合 1,2,4,6,7 足 a，b，所以 f (3)5 、 6 分 2首先 明f ( n1)f (n)2,n3,4,、事 上，假 A1,2,2 n1 ， 足a，b，且 A 的元素个数 f ( n) 、令
8、 BA2n 12, 2n 11 ，由于 2n122n1 ，故 Bf (n)2 、又2n 122(2nn 111(2n12)，所以，集合B1,2,2n 1，1), 21且 B 足 a，b、从而f (n1)B、 10 分f (n) 2其次证明：f (2 n)f (n)n1,n 3,4,、事 上， A1,2,2 n1 足 a，b，且 A 的元素个数 f (n) 、令BA2(2n1), 22 (2 n1),2 n (2 n 1),22 n1，由于 2(2 n1)22 (2 n1)2n (2 n1)22n1 ，所以 B1,2,2 2 n1，且 Bf (n)n1 、而2k 1(2 n1) 2k (2 n1)2k (2 n1), k0,1, n1 ，22 n 1 2n (2 n1) (2 n1) ，从而 B 足 a，b，于是f (2 n)Bf (n)n1、 14 分由，得 f (2 n1)f (n)n3、反复利用，可得f (100)f (50) 501f (25)251 51f (12)12377f (6)6 192f (3)3199108、 16 分