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1、定积分的近似计算方法与误差估计作者 : 操乐青指导老师 : 邢抱花摘要本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法, 例如插值型求积公式，高斯求积公式等近似计算方法, 在用这些方法计算定积分时, 会产生一些误差, 为了减少误差,可以利用复化求积公式、复化高斯公式等. 本文围绕这些方法, 系统介绍它们的计算公式以及截断误差, 并用例题分析它们产生误差的大小、计算量等.关键词插值型积分高斯积分误差分析近似计算1 引言在计算定积分的值 Ibf ( x) 的一个原函数f (x)dx 时 ,常常根据微积分学基本定理求出aF (x) ,再用牛顿 -莱布尼茨公式求得积分, IbF (b) F (a) . 但这种
2、方法只限于解f (x)dxa决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式,只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是 F (x) 无法用初等函数表示bex2bsin x2 dx 等等 ,这就需要我们用一些近,例如 ,adx ,a似方法来求积分值 .与数值积分一样 , 把积分区间细分 ,在每个小区间上,找到简单函数( x) 来近似代替f ( x) ,bbb( x)dx .且( x)dx 的值容易求的 .这样就把计算复杂的f ( x) dx 转化为求简单的积分值aaa因此 ,定积分的近似计算实质上就是被积函数的近似计算问题.2 定积分的近似计算常见数值方法2.1矩形公式根据定积分的定义，每一个
3、积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即bnf (x)dxf ( i ) xia1i在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度针对不同 i 的取法，计算结果会有不同，常见的取法有：（ 1）左端点法，即xi 1 ,anf ( x) dxf ( xi 1 )xiibi 1xi ,an（2）右端点法，即f ( x)dxf ( xi )xiibi 1xi 1xianxi1xi（ 3）中点法，即i2,f (x)dxf (2)xibi 1例 1用矩形公式近似计算积分1 dx （取 n100 ） .0
4、1x2解对0,1 作 n 等分x0 ax1xiaba ixnb ，由定义知：n1dxnf (i ) xi1 nf (i )0 1xi 1n 1 1(1) 左点法：在区间 xi1 , xi 上取左端点，即取ixi1 ， i 1,2 n1dxnf (i )xi0.78789399673078 ，0 1x2i1理论值1dx，此时计算的相对误差x20 140.7878939967307840.0031784（ 2）右点法：在区间 xi 1 , xi 上取右端点，即取ixi ， i1,2n1dxnf (i )xi0.78289399673078 ，0 1x2i1理论值1dx，此时计算的相对误差0 1x2
5、40.7828939967307840.0031884（ 3）中点法：取在区间 xi 1 , xi 上取中点，即取ixi 1xi ， i1,2 n21dxnf (i )xi0.78540024673078 ，0 1x2i1理论值1dx，此时计算的相对误差0 1x240.7854002467307842.65310 64如果在分割的每个小区间上采用一次或二次多项式来近似代替被积函数，那么可以期望得到比矩形法效果好得多的近似计算公式下面介绍的梯形法和抛物线法就是这一指导思想的产物2.2 梯形公式等分区间x0 a x1xib aixn b ，b aaxnn相应函数值为y0 , y1 , yn （ y
6、if (xi ), i0,1, n）曲线 yf ( x) 上相应的点为P0 , P1, Pn（ Pi( xi , yi ), i0,1, n ）将曲线的每一段弧Pi 1 Pi 用过点 Pi1 ，Pi的弦 Pi1 Pi（线性函数） 来代替， 这使得每个 xi 1 , xi 上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为yi1yix ，i1,2, n 2于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，bnyi 1yixxn( yi 1yi )f (x)dx22 i 1ai 1bbay0yn即f (x)dx(y1yn1)an22称此式为梯形公式例 2 用梯形公式近似计算定积分1dx（取n100） .0 1x2
7、1dxb ay0y1yn 1yn)0.78539399673078 ，解(220 1 x2n1dx，此时计算的相对误差理论值x20 140.7853939967307845.30510 64很显然，这个误差要比简单的矩形左点法和右点法的计算误差小得多.2.3抛物线公式由梯形法求近似 ，当yf ( x) 凹曲 ，它就偏小；当yf ( x) 凸曲 ，它就偏大若每段改用与它凸性相接近的抛物 来近似 ，就可减少上述缺点， 就是抛物 法将 分区 a, b作 2n 等分，分点依次 x0ax1xiaba ix2 nb，xba，2n2n 函数 y0 , y1, y2n （yif (xi), i0,1,2n ）
8、，曲 上相 点 P0 , P1 , P2 n （ Pi( xi , yi ), i0,1,2n ） 把区 x0 , x2 上的曲 段yf (x) 用通 三点 P0 ( x0 , y0 ) ， P1 ( x1 , y1 ) ， P2 ( x2 , y2 ) 的抛物 yx 2xp1 (x)来近似代替，然后求函数p1 ( x) 从 x0 到 x2的定 分：x2x2x2x)dx3x03(x222( x2x0 )p1( x)dx(x2)x0 )x0x032x26x0 ( x02x0) ( x22x2)( x0 x2 )22 ( x0x2 ) 4 由于 x1x0x2 ，代入上式整理后得2x2p1( x)d
9、xx2x0 (x02x0)(x22x2)4( x12x1)x06x2x0( y04y1ba( y04 y1y2 )6y2 )6n同 也有x4p (x)dxba ( y24 y3y4 )x226nx2 npn (x)dxb a ( y2 n 2 4 y2ny2n )1x2n 26n将 n 个 分相加即得原来所要 算的定 分的近似 ：bnx2inb a ( y2i 2pi (x)dx4y2i 1f (x)dxx2 iai12i 16n即bf (x)dxb a y0y2n4( y1y3y2n 1 )2( y2 y4a6n这就是抛物线公式，也称为辛卜生（Simpson）公式例 3用抛物线公式近似计算积
10、分1dx(取 n100 ).0 1x21dxba4( y1 y3y2 n 1) 2( y2y4解0 1x2 y0 y2 n6n=0.78539816339745 ，理论值1dx，此时计算的相对误差0 1x240.7853981633974542.82710 1642.4 几种近似计算定积分方法的比较分析及误差估计例 4计算积分21，精确到 0.001.dx ln 21xy2 i ) ，y2 n 2 )y2n 2 )解 方法 (一 ) 利用矩形公式计算 , 因为对于 f (x)1,有 0f( x)22 (如果 1 x 2),xx3所以按照公式a b)dx 0 .0 R 1.( xab2n12n2
11、如果取 n=10,则我们公式的余项的余数得 R1010.8410 3,我们还必须加进由于1200在计算函数值实行四舍五入所产生的误差的界限相差于0.1610 3,为了这个目的只要计算10.00005 就够了 .我们有x的值到四位小数精确到x1 21.05y1 20.9524x3 21.15y3 20.8696x5 21.25y5 20.8x7 21.35y7 20.7407x9 21.55y9 20.6897x13 21.65y13 20.6061x15 21.75y15 20.5714x17 21.85y17 20.5405x19 21.95y19 20.5128Y 的和计算 6.9284故
12、计算结果为6.92840.69284。10方法 (二 )按照梯形公式作同样的计算,在这种情况下 ,作公式Rn10,| Rn |6n21在这儿也试一试取n =10, 虽然此时仅可以证 | Rn |1.7 10 3 ,纵坐标是600x11.1y10.9091x21.2y20.8333x31.3y30.7692x41.4y40.7143x51.5y50.6667x61.6y60.6250x71.7y70.5882x81.8y80.5556x91.9y90.5263y 和计算为 6.187711500故计算结果为（6.1877） 0.69377方法 (三）用抛物线公式做同样的计算Rn(ba)5f(4
13、)( )( ab)作公式180(2n)4Rn0.并且 n =5 时有 | R5| 1.410 5 .实行计算到五位数字,精确到 0.000005y10.83333x1 21.1y1 20.90909x11.2y3 20.76923y20.71429x3 21.3x21.4y5 20.66667y30.62500x5 21.5x31.6y7 20.58824y40.55556x7 21.7x41.8y9 20.52632和5.45636x9 21.9和13.8 3 8 2 0x01.0y01.60000y50.50000x52.0和1.5000010.6 9 3 1 5 2. 5（1.5 0 0
14、 0 0 5.4 5 6 3 6 3.8 3 8 2）030由此可见，用抛物线公式计算得到的值误差最小，计算量相对一般；而用矩形公式计算得到的值误差较大，计算量也比较大；用梯形公式计算的值误差比用矩形公式得到的值要误差小，计算量也是如此.所以我们计算定积分时用抛物线公式往往得到的值误差小，而对没有要求误差大小的，则可以选择抛物线公式或者是梯形公式，因为这两种方法计算量相对较小.3 复化求积公式与高斯公式3.1 复化梯形求积公式将区间 a, b 等分 , 节点为 xibaa ih ( 步长 h), i 0,1,2., n ) 在每个小区间n xi 1, xi 上采用梯形公式得anxin xixi
15、1 ( f ( xi 1 ) f (xi )f ( x)dxf ( x) dxb1xi 1i 12inh f ( xi 1 )f ( xi )i12n 1h f (a) 2f ( xi )f (b)Tn .2i 1anh f (xi 1 ) f (xi ) 为复化梯形公式 .称式f (x)dxbi 12例 5 利用复化梯形求积公式计算积分11I22 dx0 1x设 f ( x)11,2,4,5 时 ,求出相应积分 Tn ,解1 x2 ,分点个数为 n 1n 1Tn( f (a)f (b)fi h,2i 1hba1,n2nf (xi )fi,xiaihih.列表如下 :nhx0x1f0f1T11
16、0.50.00.51.00.80.45nhx0x1x2f 0f1f2T220.250.000.250.501.000.9417650.800.460294nhx0x1x2x3x440.1250.000.1250.250.3750.50f0f1f2f3f 4T41.000.98461540.94117650.8767120.800.462813nhx0x1x2x3x4x550.10.00.10.20.30.40.5f0f1f2f3f4f 5T51.00.9900990.96153850.917430.8620690.80.4631143.2 复化抛物线求积公式在每个小区间 xi , xi 1 上
17、 , hbn 1 hf ( x)dx f ( xi )ai 0 6h f (a)n 146i 0上式中 , x1 为 xi , xi 1 的中点i2ba,由抛物线公式得n4 f ( xi 1 )f ( xi 1)2n 1f (xi1 )2f ( xi ) f (b)2i 1,即 x1xi1 h .i22ah f (a)n 1n 14f ( x) 2 f ( xi ) f (b) 称为复化抛物线公式 .公式 f (x)dx1b6i 0i2i 1例 6 利用复化抛物线求积公式计算11I2dx .0x2 1h f a f bm 1m 1S2m2 f2 i4 f2 i 1,3i 11 01nba ,解
18、 设,=1,2, 3,2mf ( x)取 mx21时 公式f afa, fbf 2if (x2i ), f 2ix2ia2ih ,x2i1a(2if (b),1f ( x2i 1 ),1)h.当 m =1,2,3 时结果如下表所示mhf (0.0)f (0.25)f (0.5)S210.251.00.94117650.800.463725mhf (0.0)f (0.125)f (0.025)f (0.35)f (0.5)S420.1251.00.98461540.94117650.87671230.800.463653mhf (0.0)f (0.08333)f (0.16667)f (0.35
19、)f (0.33333)f (0.14166667)f (0.5)S430.8331.00.9931030.9729730.941170.90.852070.80.46346363.3高斯求积公式bf (x)F (b)F (a)知 ,插值型求积公式的代数精度与求积节点的个数有关,具由定理a有 n1个节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度 .不仅如此 ,代数精度与节点的选取有关 ,在构造牛顿 - 科茨求积公式时 ,为了简化处理过程 ,限定用等分节点作为求积节点,这样做 ,虽然公式确实得到简化,但同时也限制了公式的代数精度.设积分上限 a1积分下限 b1 ，本段讨论如下求积公式1n1 f (x
20、 )Ai f x(i )i 0Ai1(x), i1,2, , n.任意积分区间 a, b ,通过变 xb a tab1 ( x xk ) , (xk )22可以转换到区间 1,1 上,这时bba1ba abf ( x) dxf (t)dta2122此时 ,求积公式写为bba nabbaf (x)dxAi f (ti )a2i 022若一组节点 x0 , x1.xn1,1 使插值型求积公式bb anab ba1 次代数精度 ,则称此组节点为高斯点,并af ( x)dxAif (ti ) 具有 2n2i 022称此公式为高斯求积公式 .bnf( n2)( )b2R f Ak f ( xk )(x)
21、 dxf ( x) dx(2n2)!ak 0a为高斯求积公式的余项，其中( x)(xx0 )( xx1 ).(xxn ), a,b ,且不依赖于x .1 dx例 7 利用高斯求积公式计算.0 1 x解 令 x11 dx1dt, 取 n=5,则(1 t)则1 3,用高斯求积公式计算20 1 xt1 dtnAi f (t i )A1 f (t1 )A5 f (t5 ) 0.69314719 .1 3 t1结 束 语本文只讨论了一些一维数值积分方法及其它们的应用 ,误差分析等有关内容 .其中最常用的方法是插值型积分以及复化方法、高斯积分方法 ,并讨论了相关求积方法的代数精度和误差分析 ,并给出了一些
22、例题 ,分析各种方法的近似值 ,得出误差分析最小的近似方法 .由于篇幅有限 ,对于高维数值积分方法本文便不再讨论.参考文献1华东师范大学数学系，数学分析（第一版）M ，北京 :高等教育出版社 ,2001.2李庆阳 ,关治 ,白峰杉，数值计算原理（第二版）M ，北京 : 清华大学出版社 , 2008.3肖筱南，现代数值计算方法（第一版）M ，北京 : 北京大学出版社 , 1999.4菲赫金格尔茨，微积分学教程（第三版）M ，北京 :高等教育出版社 , 2005.5裴礼文，数学分析中的典型问题与方法（第一版）M，北京 : 北京大学出版社 ,2004.6 刘证，关于定积分的几种近似计算的误差估计J,鞍山科技大学学报， 26： 4（2003），314-316.7 候为波，关