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1、广东华南师大附中2019 年高三 5 月综合测试试题（数学理）2018 年华南师大附中高三综合测试数学理科2018.5本试卷共4 页， 21 小题，总分值150 分、考试用时120 分钟、本卷须知1、答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型A填涂在答题卡相应位置上。2、选择题每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答
2、案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5、考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。【一】选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，总分值 40 分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、a 2i1、 ib i ,( a，b R) ，其中 i 为虚数单位，那么a bA. 1B、1C、 2D、32. 假设 an 为等差数列，Sn 是其前 n 项的和，且22，那么 tan a6=S113A、 3 B、3 C、3 D、333
3、. 在 以 下 四 个 函 数 中 ， 满 足 性 质 ：“ 关 于 区 间(1,上 的 任 意x1, x2 ( x1x2)，2 )| f (x1)f (x2 ) | x2x1 | 恒成立”的只有A.1 B. f x| x | C. f ( x) 2x D. f ( x) x2f (x)x4. 设 、 、 为不同的三个平面，给出以下条件：a、 b 为异面直线， a， b ， a ， b ； 内不共线的三点到的距离相等； ， ；那么其中能使 成立的条件是 (). . . . ABCD5.函数fx是 R上的偶函数，且在区间0,上是增函数 . 令a f sin 2f cos 5，那么,b, cf t
4、an 5777A. bac . B. cba C. bca D. abc6. 设二元一次不等式组x2y19所表示的平面区域为0，M，使函数y ax( a0， axy80,2xy1401) 的图象通过区域 M的 a 的取值范围是 ()A.1,3B.2,10 C.2,9D.10 ,97、如图，一环形花坛分成A， B， C，D 四块，现有4 种不同的花供选种，要求在每块里种1 种花，且相邻的2 块种不同的花，那么不同的种法总数为A、96B、84C、60D、488、如图，设点A 和 B 为抛物线 y 24 px( p0) 上除原点以外的两个动点，OAOB ，OMAB ，那么点 M 的轨迹方程为 ()A
5、、x2y2 4 0B、x2y24px 0pxC、x2 y2 4py 0D、x2 y24py 0【二】填空题：本大题共7 小题，考生作答 6 小题，每题5 分，总分值 30分、一必做题9 13 题9.1( ex2 x)dx =_010. 平面向量 a ， b 满足 a3， b2， a 与 b 的夹角为 60 ，假设 (amb )a ，那么实数 m 的值为 _S=41，那么判断框中应填入的11. 假设框图所给的程序运行结果为关于 i 的条件是 _.12. 设 M(x, y) | x | y |1 , N( x, y) | x 2y 2r 2 , r 0 , 假设么 r 的最小值是 _.13. 数组
6、：1,1,2,1,2,3,1,2,3,4, ,1213214321123,n 1 n,记 该 数 组 为 ： (a1 ), (a2 , a3 ), (a4 , a5 , a6 ), 那 么n,22,1n 1n_a2 0 1 2二选做题 请考生在以下两个小题中任选一题做答14. 几何证明选讲选做题如右图，AB 是圆 O 的直径， AB4 ， C 为圆上任意 一 点 ， 过 C 点 做 圆 的 切 线 分 别 与 过A, B 两 点 的 切 线 交 于 P, Q 点 ， 那 么C P C Q _ 、15. 坐标系与参数方程选做题曲线C 的参数方程为x2 cos , 为参数，那么曲ysin线上 C
7、的点到直线 3x 4 y 40 的距离的最大值为_、【三】 解答题： 本大题共 6小题， 总分值 80分、解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤、16 、本 小题总分值 12 分在ABC 中 , a,b,c 分别为 内角 A, B,C 所 对的边，且满足sin A 3cos A2 .( ) 求 A 的大小；( ) 现给出三个条件：a2 ；B4； c3b .试从中选出两个能够确定ABC 的条件，写出你的选择并以此为依据求ABC 的面积.( 只需写出一个选定方案即可, 选多种方案以第一种方案记分)17、本小题总分值 12分2018年 3月 2日，国家环保部公布了新修订的环境空气质量标准 .其中规定
8、：居民区中的 PM2.5 年平均浓度不得超过 35微克 / 立方米， PM2.5的24小时平均浓度不得超过 75微克 / 立方米 . 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的 PM2.5 的 24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：组别PM2.5 微克 / 立方频率频数天米第一组(0,1540.1第二组(15,30120.3第三组(30,4580.2第四组(45,6080.2第五组(60,7540.1第六组(75,90)40.1( ) 写出该样本的众数和中位数不必写出计算过程；求该样本的平均数，并依照样本可能总体的思想，从PM2.5 的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明
9、理由；将频率视为概率，关于去年的某2 天，记这2 天中该居民区PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列及数学期望E、18、本小题总分值14分如图，在五面体ABCDEF 中， ABFEBADC DC ，BAD， CD AD2 ，四边形 ABFE 为平行四边形， FA平面 ABCD ，2FC3, ED7 、求：直线 AB 到平面 EFCD 的距离；二面角 FADE 的平面角的正切值、19、本小题总分值14 分设椭圆中心在坐标原点，A(2，0) B(0，1) 是它的两个顶点，直线与AB相交于点 ，与椭圆相交于、F两点、ykx(k0)DE假设 ED6DF ，求 k 的
10、值；求四边形AEBF 面积的最大值、20、本小题总分值14分设不等式x0,所表示的平面区域记为D n ，并记 D n 内y0,ynx3n的格点 x ， y x 、 y Z的个数为f ( n) n N.求 f (1)，f(2)， f(3) 的值及 f (n) 的表达式；记f (n) f ( n1) ，假设关于任意 n N，总有 Tn m 成立，求实数m的取值Tn2n范围；设 Sn 为数列 bn 的前 n 项和，其中bn 2 f (n ) ，问是否存在正整数n 、 t ，使Sntbn 1成立？假设存在，求出正整数n ， t ；假设不存在，请说明理由 .Sn 1tbn11621、本小题总分值14分设
11、函数1x.f ( x)1(nN ,且 n 1, x R)n( ) 当 x=6 时 , 求1x 的展开式中二项式系数最大的项；1n( ) 对任意的实数x, 证明 f (2x) f (2) f ( x)( f ( x)是 f ( x)的导函数 );2( ) 是否存在 a N , 使得 an nk (a1) n 恒成立 ?假设存在 , 试证明你的结论11k 1k并求出 a 的值；假设不存在, 请说明理由 .2018 年华南师大附中高三综合测试三理科数学参考答案一、选择题1、解 : 因为 a 2ibi1, 因此 a1,b2 , 故 a b 3, 选 D.23 . 选 B.2. 解：S1111(a1a1
12、1 )11a6a6= 3，因此 tan a623. 解：若1,则1211| x2x1 |，因12f ( x)| f ( x )f (x ) |x2|1x2,1 x 2,xx1x1 x2得1 x1 x211，故| f ( x1 ) f (x2 ) | | x2x1 |4x1 x2144. 解：由可推出 ；由推不出 ；由推不出 ，选 A.5. 解：cos 2，bf (cos(2)f ()f (cos 2 )777c f (tan(2 )f (tan 2)f (tan 2)777c ，选 A、因为2，因此2sin212，因此 ba4720cos77tan76. 解：通过画图知，平面区域M是以三点 A
13、 1， 9、 B 2， 10、 C 3， 8为顶点的三角形边界及其内部，函数的图象分别过1， 9、 3， 8时，求得=9 或a=2, 依yaxACa条件知，其他函数的图象夹在x 与x 之间，故2a9, 选 .y2y9C7、解：分三类：种两种花有A42 种种法；种三种花有2 A43 种种法；种四种花有种种法 . 共有. 选 .423484BA4A42 A4A4另 解 ： 按 A B C D 顺 序 种 花 ， 可 分 A、C 同 色 与 不 同 色 有4 3 (1 32 2)84 ，选 B.8、解：设 A( x1， y1) ， B( x2， y2) ， M( x， y) ， AB与 x 轴交于
14、N( m,0) ，设直线 AB的方程为 x ky m，代入 y2 4px 得 y24pky 4pm 0.y1y2 y1y2p2p164y1y2 4pm， k k x1 x2 y1 y2 y1y 2 m 1，OAOB22p4p4m 4p. 即直线 AB过定点 N(4 p,0) 、又 OM AB， OM NM，又 (，) ， (x 4 ，) ，(x4p) y20故所求的轨迹方程为x224 OM xyNMp yxypx0. 选 B.二. 填空题9. 解：1(ex2x)dx (exx2 ) |1=( e+1) 1 e.0010.解 : 因 为(a - mb) a， 因 此2, 解 得(a - m b)
15、 a | a|m a b 9 6 mc o s 6 00m3 .11. 解： i6 ?. 即 S124711164112. 解：集合 M是以四点 A1， 0， B 0， 1， C 1， 0， D 0， 1为顶点的正方形外部的点组成的区域包括正方形的边界，而集合 N是以原点为圆心， 1为半径的圆内的点组成的区域 包括边界，假设 MN，当圆 x 2y2r 2 与正方形 ABCD四边相切时 r 最小，可求得最小值是2213. 答案： 60 也可表示成15。由排数的规律得.n(n1)，计算得41 2 3n20122n 63，第 63 组最后一项为哪一项63 ，60 .a2016a20124114. 解
16、：依条件有 . 过P点作的垂线，构造直角三角形，且有22+BQ AP CQ CPBQPQABBQ AP2 BQ+AP 2 42+ BQ AP 2CP CQ4。22到直线 3x 4y0 的距离是15. 解：曲线C 的一般方程为( x 2) +y =1，圆心 C(2 ， 0)4 3 2 4 0+4|=2 ，故曲线C上的点到直线的距离的最大值为 3。d32+ 423x4 y 4 0三、解答题16. 解 : ( ) 依题意得, 即2sin( A3) 2sin( A)13 0 A, A4, , A33A2336( ) 方案一： 选择 .由正弦定理ab，得,a2sinsin Asin Bbsin B422
17、sin Asin6AB C,sin Csin( AB)sin Acos B26cos Asin B41 ab sin C1 226.S2 231224方案二： 选择由余弦定理 b2c22bc cos Aa2 , 有 b23b23b24 , 那么 b 2 , c2 3 ,因此111.S2 2 33bc sin A222说明 : 假设选择 , 由 c3b 得，3 sin B6, 不成立 , 如此的三角形不存sin C21在 .17. 解： ( ) 众数约为 22.5 微克 / 立方米 , 中位数约为 37.5 微克 / 立方米、去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为7.50.122.5 0.337
18、.5 0.252.5 0.267.5 0.182.5 0.140.5微克 / 立方米、因为 40.535 ，因此去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进、记事件 A表示“一天 PM2.5的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准”，那么9 .P(A)10随机变量的可能取值为0,1,2.且 9 .B(2,)10因此k) C2k ( 9 )k (1，P(9 )2 k (k 0,1,2)1010因此变量的分布列为012p1188110010010011 18 281天或nP 2 9天 .E 01.8E1.81001001001018. 解法一 : AB D
19、C，DC 平面 EFCD , AB 平面 EFCD， AB平面 EFCD， AB 到面 EFCD 的距离等于点 A 到面 EFCD 的距离。 FA平面ABCD， AB 平面 ABCD， FA AB. 又由, 得 ADFEBAD2GAB，而 AF， AD 平面 ADF， AFAD A， AB平面 ADF。，平面，而CD平面，平面BCD ABCDADFCDEFCDFEA平面 ADF，且平面 CDFE平面 ADF FD。过点 A 作 AGFDCD于 G，那么 AG平面 CDEF，即 AG长为点 A 到平面 EFCD的距离. 由上述证明知，为直角三角形， 由=2,=3=5 , 又在直角中，CD DFC
20、DFCDFCFDFAD由 AD 2 AF 1AG 25 ，即直线AB 到平面 EFCD 的距离为 2 5 。55由己知，FA平面ABCD，得FA，又由，知ADAB，而，ADBADAB2AF 平面 ABFE，故 AD平面 ABFE DAAE ，因此FAE 为二面角 FADE 的平面角，记为 .在Rt AED中 ,AEED 2AD2743, 在平行四边形中，又ABFEEFABBA平面 ADF， EF平面 ADF，又 AF 平面 ADF， EF AF。在直角 EFA中，由 AE3 ， 1cos=1tan=2 .AF3解法二 :以 A 点为坐标原点 , AB, AD , AF 的方向为x, y, z
21、的正方向建立空间直角坐标系 , 如图 .那么 A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),设 F (0,0, z0 )( z00)zFEG可得C (, 由| FC | 3. 即F2 , 0 2z ,),xBA2222z023解得 F (0,0,1)AB DC ， DC面 EFCD ,因此 AB平面 EFCD，故直线 AB到面 EFCD 的距CDy离等于点 A到面 EFCD 的距离。 平面 CDF的法向量 n( x1 , y1 , z1 ) , 那么 n CD 且 n DFn CD 0, 又，故得取 y1=1, 得CD(2,0,0)DF(0,2 y1z10n DF 02,1) ，2 x10, 那么点Ad| AD n |2=2 5到平面的距离是=n (0,1,2)CDFE| n |55 因四 形 ABFE 平行四 形 , 那么可 E( x0 ,0,1)( x00) ,ED(x 2, 1) . 由0| ED |7 得x22217, 解得 x 02 . 即 E(2,0,1) . 故 AE(2,0,1)0