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1、高三数学专项07-立体几何题怎么解安振平高考立体几何试题一般共有4 道 ( 客观题 3 道 ,主观题 1 道 ),共计总分 27 分左右 , 考查的知识点在20 个以内 .选择填空题考核立几中的计算型问题,而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题,所以 ,二者均应以正确的空间想象为前提.随着新的课程改革的进一步实施 , 立体几何考题正朝着”多一点思考, 少一点计算”的进展. 从历年的考题变化看,以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证, 角与距离的探求是常考常新的热门话题.例 1四棱锥 P ABCD的底面是边长为a 的正方形， PB面 ABCD. 1假设面PAD与面 ABCD所成的二面角为60
2、，求那个四棱锥的体积； 2证明不管四棱锥的高怎么样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90讲解 : 1正方形ABCD是四棱锥PABCD的底面 ,其面积为 a2 , 从而只要算出四棱锥的高就行了.PB面 ABCD,BA是 PA在面ABCD上的射影. 又DAAB， PADA， PAB是面 PAD与面 PAB=60 .ABCD所成的二面角的平面角，而 PB是四棱锥 P ABCD的高， PB=AB tg60 = 3 a,V锥1 3a a 23 a 3 .33 2不论棱锥的高怎么样变化，棱锥侧面PAD与 PCD恒为全等三角形 .作 AE DP，垂足为 E，连结 EC，那么 ADE CDE，AE
3、CE,CED90 ,故 CEA 是面 PAD与面 PCD所成的二面角的平面角 .设 AC与 DB相交于点O，连结 EO，那么 EO AC，2 aOAAEADa.2在 AEC中,cosAECAE 2EC2(2 OA) 2( AE2OA)( AE2OA)2 AEECAE 20.故平面 PAD与平面 PCD所成的二面角恒大于90 .本小题要紧考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力,具有一定的探究性 , 是一道设计新颖 , 特征鲜亮的好题 .例 2 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1 的底面 ABC为等腰直角三角形，0ACB=90， AC=1， C点到 AB1 的距离为 CE=3
4、，D 为 AB的中点 .C12A1B1 1求证： AB1平面 CED； 2求异面直线 AB1 与 CD之间的距离； 3求二面角 B1AC B的平面角 .ECADB讲解 : 1 D 是 AB 中点， ABC为等腰直角三角形，0ABC=90， CDAB 又 AA1平面 ABC， CD AA1. CD平面 A1B1BA CD AB1，又 CE AB1， AB1平面 CDE； 2由 CD平面 A1B1BA CD DE AB1平面 CDE DE AB1 DE是异面直线AB1 与 CD的公垂线段 CE=3 ，AC=1 ,CD=2 .22 DE(CE) 2(CD) 21；2 3连结 B1C，易证 B1C A
5、C，又 BCAC , B1CB是二面角B1 AC B 的平面角 .在 Rt CEA中， CE= 3 ， BC=AC=1,20 B1AC=60 AB112 ， BB1(AB1 ) 2( AB) 22 ,cos602 tg B1CBBB12 , B1CB arctg2 .BC作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提,所以 ,准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石 .例 3 如图是 120的二面角，A，B两点在棱上，=2，D在内，三角形a lABABD是等腰直角三角形，DAB=90， C在内，ABC是等腰直角三角形ACB=900 .（I ）求三棱锥 D ABC的体积； 2求二面角 DACB 的大
6、小； 3求异面直线 AB、CD所成的角 .讲解 :(1)过 D 向平面做垂线，垂足为O，连强 OA并延长至 E.ABAD , OA为 DA在平面上的射影 ,AB OADAE 为二面角al 的平面角 .DAE120 ,DAO60 .ADAB2,DO3 .ABC是等腰直角三角形，斜边=2.S ABC1,又D到平面的距离 DO=3.ABVDABC3 .3 2过O在内作, 交的反向延长线于, 连结. 那么. DMO为OMACACMDMACDM二面 角D AC B的 平面 角 .又 在 DOA中 ， OA=2cos60 =1.且OAMCAE45 ,OM2 .tgDMO6.DMOarctg6.2 3在平在
7、内，过C作 AB的平行线交 AE于 F， DCF为异面直线 AB、 CD所成的角 .AB AF , CF AFCF DF , 又 CAF45 ,即 ACF 为等腰直角三角形， 又 AF等于C到ABABCAFCF1.的距离，即斜边上的高 ,DF 2AD 2AF 22 ADAF cos1207.tgDCFDF7. tgDCF7.CF异面直线 AB,CD所成的角为 arctg7.比较例 2与例 3 解法的异同 ,你会得出怎么样的启发 ? 想想看 .例 4 在边长为 a 的正三角形的三个角处各剪去一个四边形、那个四边形是由两个全等的直角三角形组成的， 同时这三个四边形也全等，如图、 假设用剩下的部分折
8、成一个无盖的正三棱柱形容器，如图、那么当容器的高为多少时，可使那个容器的容积最大，并求出容积的最大值、图图讲解 :设容器的高为x、那么容器底面正三角形的边长为a2 3x,V (x)3x(a23x) 2 (0xa3)423143x(a23x)( a23x)4431 ( 4 3x a 2 3x a 2 3 x )3a 3.16354当且仅当43xa23x,即x3a时 ,Vmaxa3.1854故当容器的高为3 a 时，容器的容积最大，其最大容积为a 3.1854对学过导数的同学来讲，三次函数的最值问题用导数求解是最方便的，请读者不妨一试.另外，此题的深化大概与 2002 年全国高考文科数学压轴题有关
9、，还请做做对比 . 类似的问题是 :某企业设计一个容积为V 的密闭容器， 下部是圆柱形， 上部是半球形， 当圆柱的底面半径 r 和圆柱的高h 为何值时，制造那个密闭容器的用料最省即容器的表面积最小.例 5 三棱锥 P ABC中， PC底面 ABC， AB=BC，D、 F 分别为 AC、 PC的中点， DE AP 于 E、 1求证： AP平面 BDE； 2求证：平面 BDE平面 BDF； 3假设 AEEP=1 2，求截面 BEF分三棱锥P ABC所成两部分的体积比、讲解 :(1 PC底面 ABC， BD平面 ABC， PC BD、由 AB=BC， D 为 AC的中点，得 BD AC、又 PC A
10、C=C， BD平面 PAC、 又 PA 平面、 2由 BD平面 PAC，DE 平面 PAC，得 BDDE、由 D、F 分别为 AC、PC的中点，得 DF/AP 、由， DE AP， DE DF. BD DF=D， DE平面 BDF、又 DE 平面 BDE，平面 BDE平面 BDF、 3设点 E 和点 A 到平面 PBC的距离分别为 h1 和 h2、那么h1 h2=EP AP=2 3,VP EBFVE PBF1h1S PBF213VP ABC VA PBC13 2.h2SPBC33故截面 BEF分三棱锥 PABC所成两部分体积的比为1 2 或 2 1值得注意的是,“截面 BEF分三棱锥P ABC
11、所成两部分的体积比”并没有说明先后顺序 , 因而最终的比值答案一般应为两个, 希不要犯这种”会而不全”的错误.例 6 圆锥的侧面展开图是一个半圆， 它被过底面中心 O1 且平行于母线 AB的平面所截，假设截面与圆锥侧面的交线是焦参数焦点到准线的距离为 p 的抛物线 . 1求圆锥的母线与底面所成的角； 2求圆锥的全面积、讲解 : 1设圆锥的底面半径为R，母线长为 l ，由题意得：l2 R ,即 cos ACO1R1 ,l2因此母线和底面所成的角为600. 2设截面与圆锥侧面的交线为MON，其中 O为截面与AC的交点，那么 OO/AB 且 OO11AB.12在截面 MON内，以 OO所在有向直线为
12、 y 轴， O为原点，建立坐标系，那么O为抛物的1顶点，因此抛物线方程为x2= 2py，点 N的坐标为 R， R，代入方程得R2=2p R，得 R=2p， l =2R=4p.圆锥的全面积为Rl R 28 p 24 p 212 p 2 .下问题 :一圆柱被一平面所截，截口是一个椭圆、椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截后几何体的最短侧面母线长为 1，那么该几何体的体积等于、例 7 如图，几何体 ABCDE中， ABC是正三角形， EA和 DC都垂直于平面 ABC，且 EA=AB=2a，DC=a，F、 G分别为 EB和 AB 的中点 . 1求证： FD平面 ABC； 2求证： AF BD；(3) 求
13、二面角 B FC G的正切值 .讲解 : F、 G分别为 EB、 AB的中点，1 FG=EA，又 EA、 DC都垂直于面ABC,FG=DC，2四边形FGCD为平行四边形，FDGC，又 GC面 ABC， FD面 ABC. 2 AB=EA，且 F 为 EB中点， AF EB又 FG EA， EA面 ABC FG面 ABCG为等边 ABC， AB边的中点， AGGC. AFGC又 FD GC， AF FD由、知AF面 EBD，又 BD面 EBD， AFBD. 3由 1、2知 FG GB， GCGB， GB面 GCF.过 G作 GH FC，垂足为 H，连 HB， HB FC. GHB为二面角B-FC-
14、G 的平面角 .易求 GH3 a,tg GHBa2 3.233a2例 8 如图，正方体ABCDA B C D 的棱长为1， P、 Q分别是线段 AD 和 BD上的点，且11111D1P PA=DQ QB=512.(1) 求证 PQ平面 CDD1C1；(2) 求证 PQ AD；(3) 求线段 PQ的长 .讲解 : 1在平面 AD1 内，作 PP1 AD与 DD1交于点 P1，在平面 AC内，作QQ1BC交 CD于点 Q1，连结 P1Q1. D1PDQ 5 , PP1 / QQ1.PAQB 12由四边形 PQQ1P1 为平行四边形 , 知 PQ P1 Q1而 P1Q1 平面 CDD1C1，因此 P
15、Q平面 CDD1C1 2 AD平面 D1DCC1， AD P1Q1 又 PQ P1Q1， AD PQ. 3由 1知 P1Q1 / PQ,DQ1DQ515 . 同理可求得 P1D=12 .Q1CQB12，而棱长 CD=1. DQ=1717在 Rt P1DQ中，应用勾股定理 , 立得125213P Q=2212P1 DDQ.11171717做为此题的深化 , 笔者提出如此的问题:P,Q 分别是 BD, AD1 上的动点 , 试求 PQ 的最小值, 你能够应用函数方法计算吗?试试看 . 并与如下2002 年全国高考试题做以对比, 你会得到什么启发 ?如图，正方形 ABCD、ABEF的边长基本上1, 而且平面 ABCD、ABEF互相垂直。点M在 AC上移动，点N在BF上移动，假设a(0a2).CM=BN=（ 1） 求 MN的长；（ 2） 当 a 为何值时， MN的长最小；（3）当 MN长最小时，求面MNA与面 MNB所成的二面角的大小。立体几何知识是复课耗时较多, 而考试得分偏底的题型. 只有放底起点, 依据课本 , 熟化知识 , 构建空间思维网络, 掌握解三角形的差不多工具, 严密规范表述, 定会突破解答立几考题的道道难关 .