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1、第一章直角三角形的边角关系锐角三角函数（第 2 课时）教学设计说明深圳市宝安区塘尾万里学校陈武惠一、学生知识状况分析1、学生已经知道的：学生在前一节课学习了有关正切的知识，学会了用直角三角形中两条直角边的关系来描述梯子的倾斜度（即倾斜角的正切）2、学生想知道的：直角三角形中边与角之间是否还存在着其他的关系呢？是否也能用来刻画梯子的倾斜度呢？3、学生能自己解决的：探索出直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的的比、邻边与斜边的比是随锐角的大小变化而变化的.二、教学任务分析本课是九年级下册第一章第一节的第二课时，是让学生在理解了正切的基础上，进一步通过探究发现直角三角形中直角边与斜边之间存在的关系.
2、同时发现，可以用其它的方式来刻画梯子的倾斜程度，从而拓展了学生的思维和视野 . 在导学探究过程中，不同学生对问题的理解是不一样的， 教师应尊重学生间的差异， 不要急于否定学生的答案，而要鼓励学生发表自己的看法， 培养学生的逻辑思维能力， 培养学生学习数学的自信心 .知识与技能1、能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数 正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系.2、能够用 sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算 .过程与方法1、经历类比、猜想等过程 . 发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点 .2、体会解决问题的策略的多
3、样性，发展实践能力和创新精神.情感与价值观1、积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学.2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯.教学重点： 理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系.教学难点： 体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题.三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：探求新知；第三环节：及时检测；第四环节：归类提升；第五环节：总结延伸；第六环节：随堂小测；第一环节复习引入1、如图， RtABC中， tanA =， tanB=.2、在 Rt ABC中， C90， tanA 3 ， AC10，求 BC,AB的长 .43、
4、若梯子与水平面相交的锐角（倾斜角）为A， A 越大，梯子越；tanA的值越大，梯子越.4、当 Rt ABC中的一个锐角 A 确定时 , 其它边之间的比值也确定吗? 可以用其它的方式来表示梯子的倾斜程度吗？设计意图： 以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用） ，第 4 题的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望 .第二环节探求新知探究活动 1：如图，请思考：B 1（1）Rt ABC 和 Rt ABC 的关系是；1122B 2AC1C2（2） B1C1和 B 2C2 的关系是；AB1AB 2（3）如果改变 B2 在斜边上的位置，则 B1C1和
5、 B 2 C 2 的关系是；AB1AB 2思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值 _，根据是 _.它的邻边与斜边的比值呢？设计意图： 1、在相似三角形的情景中，让学生探究发现：当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的对边与斜边的比值也随之确定了 . 类比学习，可以知道，当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的邻边与斜边的比值也是不变的 .2 、在探究活动中发现的规律，学生能记忆得更加深刻， 这比老师帮助总结， 学生被动接受和记忆要有用得多 .归纳概念：1、正弦的定义：如图，在RtABC中， C 90，我们把锐角 A 的对边 BC与斜边 AB的比叫做
6、A 的正弦，记作 sinA ，即 sinA _.2、余弦的定义：如图，在 Rt ABC中， C90, 我们把锐角 A 的邻边 AC与斜边 AB的比叫做 A 的余弦，记作 cosA，即 cosA=_ _.3、锐角 A 的正弦，余弦，正切和余切都叫做 A 的三角函数 .温馨提示：（1）sinA ，cosA 是在直角三角形中定义的, A 是一个锐角；（2）sinA ，cosA 中常省去角的符号“”. 但 BAC的正弦和余弦表示为 : sinBAC，cos BAC. 1 的正弦和余弦表示为 : sin1，cos1；（3）sinA ，cosA 没有单位，它表示一个比值；（4）sinA ，cosA 是一个
7、完整的符号，不表示“sin ”, “cos”乘以“ A” ；（5）sinA ，cosA 的大小只与 A 的大小有关 , 而与直角三角形的边长没有必然的关系 .设计意图： 1、类比正切的定义，让学生理解正弦和余弦的含义；2、让学生了解：求一个角的三角函数，是指求这个角的正切、正弦和余弦，不是单指某一个值；3、正弦和余弦容易出现一些不规范的表示方法，在这里先进行明确，可以减少日后不必要的错误 .探究活动 2：我们知道，梯子的倾斜程度与 tanA 有关系， tanA 越大，梯子越陡，那么梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 有关系吗？是怎样的关系？设计意图：在探究中进一步让学生理解正弦和余弦的含
8、义，体会正弦和余弦的生活意义，避免数学知识的枯燥无味，通过利用正弦和余弦来描述梯子的倾斜程度拓展了学生思维，感受到从不同角度去解释一件事物的合理性，感受数学与生活的联系.探索发现： 梯子的倾斜程度与sinA,cosA 的关系：sinA 越大，梯子；cosA 越，梯子越陡 .探究活动 3：如图，在 Rt ABC中， C=90 ,AB=20，sinA=0.6 ，求 BC和 cosB.BAC通过上面的计算，你发现 sinA 与 cosB 有什么关系呢 ? sinB 与 cosA 呢？在其它直角三角形中是不是也一样呢？请举例说明 .小结规律：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的.设计意图：在
9、探究中进一巩固正弦和余弦的定义，同时发现直角三角形中两个锐角的三角函数值之间存在一定的关系，拓展学生的知识储备 .第三环节及时检测1、如图，在 Rt ABC中，锐角 A的对边和邻边同时扩大100 倍， sinA 的值（）A、扩大 100 倍B 、缩小 100 倍BC、不变D、不能确定2、已知 A， B 为锐角(1) 若 A= B，则 sinAsinB；(2) 若 sinA=sinB ，则 AB.3、如图， C=90， CD AB，sinB=( )=( )=( )AC设计意图：在练习中检验学生对知识的掌握， 同时体会在不同的直角三角形中， （如 “ 双垂直模型 ”），一个锐角的三角函数可以有不同
10、的表示方法，为日后的知识应用打下基础 .第四环节归类提升类型一：已知直角三角形两边长，求锐角三角函数值例 1、如图，在 Rt ABC中， C=90 , AC=3 ，AB=6，求 B 的三个三角函数值 .类型二：利用三角函数值求线段的长度例 2、如图，在 Rt ABC中， C=90， BC=3，sinA=5，求 AC和 AB.13类型三：利用已知三角函数值，求其它三角函数值3，求 cosA、tanB 的值 .例 3、在 Rt ABC中， C=90， BC=6，sinA=5类型四：求非直角三角形中锐角的三角函数值例 4、如图，在等腰 ABC中， AB=AC=5，BC=6，求 sinB,cosB,t
11、anB.设计意图： 分类型进行演练，有利于学生掌握思路和方法，由特殊（直角三角形）到一般（非直角三角形） ，让学生懂得寻找或构造直角三角形是解决三角函数问题的一般思路 .第五环节总结延伸1、锐角三角函数定义： sinA=，cosA=，tanA=；2、温馨提示：（1）sinA ，cosA，tanA ， 是在直角三角形中定义的， A 是锐角 ( 注意数形结合，构造直角三角形 ) ；（2）sinA ，cosA，tanA 是一个完整的符号，表示A 的正切，习惯省去“”号；（3）sinA ，cosA，tanA 都是一个比值，注意区别 , 且 sinA,cosA,tanA 均大于 0, 无单位；（4）si
12、nA ，cosA，tanA 的大小只与 A 的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然关系；（5）角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等 .3、在用三角函数解决一般三角形或四边形的实际问题中，应注意构造直角三角形.设计意图： 课堂小结，检查学生掌握情况，同时能对知识进行及时梳理，有利于学生归纳和消化，特别对于重要的方法提示和要注意的细节，能再次呈现，使学生印象深刻 .第六环节随堂小测1、如图，分别求 ， 的三个三角函数值 .2、在等腰 ABC中， AB=AC=13，BC=10，求 sinB,cosB.3、在 ABC中， AB=5，BC=13，AD是 BC边上的高，
13、AD=4.求:CD 和 sinC.4、在 RtABC中， BCA=90， CD是中线， BC=8，CD=5.求 sin ACD，cos ACD和 tan ACD.5、在梯形 ABCD中， AD/BC，AB=DC=13，AD=8，BC=18，求 sinB,cosB,tanB.ADBEFC6、如图，在 ABC中，点 D 是 AB的中点， DC AC，且 tan BCD=1/3.求 A 的三个三角函数值 .设计意图： 设计各种题型，可以检验学生的方法掌握情况，同时巩固学生的知识，提高学生的运用能力，若时间不允许该部分也可作为课后作业完成.四、教学反思好的方面：由于上节课学生学习了三角函数中的正切，所以本节课结合初中学生身心发展的特点，运用了类比法教学法，唤起和加深学生对教学内容的体会和了解，很容易就掌握正弦和余弦的概念和意义. 同时，探究活动培养和发展了学生的观察、思维能力 . 本课时贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的基本认识规律，运用了这些直观教学，能使学生学习数学的过程成为积极的愉快的和富有想象的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程 .