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1、第一章三角形的证明角平分线（二）河南省郑州八中刘正峰一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：通过上节的学习，学生对于角平分线性质定理和逆定理均有一个很深的了解和理解，在此基础上本节主要是通过例题来巩固定理和逆定理的应用，提高学生证明推理能力。二、教学任务分析本节课的教学目标是：1知识目标：（1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论（2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用2能力目标：（1）进一步发展学生的推理证明意识和能力（2）培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力（3）提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力3情感与价值观要求能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知
2、欲在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心4教学重点、难点重点三角形三个内角的平分线的性质综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题难点角平分线的性质定理和判定定理的综合应用三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：设置情境问题，搭建探究平台；第二环节：展示思维过程，构建探究平台；第三环节：例题讲解；第四环节：课时小结 ;第五环节：课后作业。第一环节：设置情境问题，搭建探究平台问题 l习题 18 的第 1 题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么发现的结论一定正确吗？?能证明自己于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点”当然学生可能会提到折纸证
3、明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明。第二环节：展示思维过程，构建探究平台已知：如图，设 ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P，证明： P 点在 BAC 的角平分线上A证明：过 P 点作 PDAB，PFAC，PE BC，其中 D、DMNFE、 F 是垂足PBM 是 ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，CBEPD=PE( 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)同理： PE=PFPD=PF点 P 在 BAC 的平分线上 (在一个角的内部， 且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ) ABC 的三条角平分线相交于点P在证明过程中，我们除证明了三角形的三条
4、角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢 ?（PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等）于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理锐角三角形三边垂直平分线交于三角形内一点三条角平分线三角形钝角三角形直角三角形交于三角形外一点交于斜边的中点交于三角形内一点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等问题 2如图：直线 l1、l2、l 3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你
5、如何发现的 ?l1ACl 2Bl3要求学生思考、交流。实况如下：生 有一处在三条公路的交点A、B、 C 组成的 ABC 三条角平分线的交点处因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等这一点刚好符合生 我找到四处 (同学们很吃惊 )除了刚才同学找到的三角形 ABC 内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点作 ACB 、ABC 外角的平分线交于点 P1(如下图所示 )，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点 P1 在 CAB 的角平分线上，且到 l 1、l 2、l3 的距离相等同理还有 BAC 、BCA 的外角的角平分线的交点 P
6、3；因此满足条件共 4 个，分别是 P、P1、 P2、P3Al 1CPl 2Bl3教师讲评。第三环节：例题讲解P1例 1如图，在 ABC 中 AC=BC ， C=90，AD 是 ABC 的角平分线， DEAB ，垂足为 E(1)已知 CD=4 cm，求 AC 的长；(2)求证： AB=AC+CD A分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、 掌握这些知识和方法，E并能综合运用它们解决问题第 (1)问中，求 AC 的长，需求出BC 的长，而 BC=CD+DB ，CD=4 cIn ，而 BD 在等腰直角三角形CDBDBE 中，根据角平分线的性质， D
7、E=CD=4cm ，再根据勾股定理便可求出DB 的长第 (2)问中，求证 AB=AC+CD 这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE ，所以需证 AC=AE ，CD=BE(1)解： AD 是 ABC 的角平分线，C=90，DEAB DE=CD=4cm( 角平分线上的点到这个角两边的距离相等) AC=BC B=BAC( 等边对等角 ) C=90，1 B=2 90=45 BDE=904545BE=DE( 等角对等边 )在等腰直角三角形BDE 中BD=2DE 2.=4 2 cm(勾股定理 )，AC=BC=CD+BD=(4+42)cm (2)证明：由 (1)的求解过程可知，Rt
8、 ACD RtAED(HL 定理 )AC=AE BE=DE=CD ，AB=AE+BE=AC+CD 例 2已知：如图，P 是么 AOB 平分线上的一点， PCOA ，PDOB，垂足分别为 C、D求证： (1)OC=OD；(2)OP 是 CD 的垂直平分线CAOEPDB证明： (1)P 是 AOB 角平分线上的一点， PCOA ，PDOB，PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)在 RtOPC 和 RtOPD 中，OP=OP， PC=PD， RtOPC RtOPD(HL 定理 ) OC=OD(全等三角形对应边相等 )(2)又 OP 是 AOB 的角平分线，OP 是 CD 的垂直平分线 (等腰三角形 “三线合一 ”定理 )思考：图中还有哪些相等的线段和角呢?第四环节：课时小结本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题第五环节：课后作业习题 110 第 1、2 题四、教学反思本节对学生能力的要求很高，如例1 中问题作为教师要善于利用这个典型例题，加以发挥，使例题的功能得以体现，达到以点带线，以线带面的功效。如果课堂时间允许还可以将该题加以改变，用多种方法证明和求解。