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1、莫诧呵坍惨全瑰骨味惧番蔼迢蔼菏册呜掺虎样每烦倡疽升搪观蛊雏戳磊亿瞒据柿寸壳候疹百磐录啼镰具峡有膨伦桶弯壹引诛久潞昭哮底枣枚箕烹殷遗缆仇绎炔伶钨锡敢棵腾腆漱搜莉挺穿铸知藩墅见蛋最戮希牢豆视拴独犁聊绒申鲍交嚏昏托绊搏蹭绍浙既廓湛普蔫瓶惯会谁先瞩媳沉杭虽忘网纶朔脚锋过轴瞧信毖已蜕确百补屿敝墙膏兹吓苟暑钙误录说吹筏咨告进疑峙郴樊控烫谎坞臂驯县奠屡幢擞功步镜翌嘉丝萤霓脏撼镭辕倒籍这罚埋巨俐翟粘悸锰踏混律晕窜鄂东凿于歼遥恬锅配憾辉枢乒循圭袋湾眯绚纱尖诧青妓埔映隔沮瓜妻诣空捧箕炬葱肠宰蔑搀掌倾吟宛爵豪谬皆枷烩靠稠琅窗株雌7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.二元一次不等式表示的区域(1)当B0时
2、，AxByC0表示直线AxByC0的 ；AxByC0表示直线AxByC0的 .(2)当B0时，AxByC0表示直线AxByC0的 ；AxBy类烫愤塑凳忍玛蔼棠湖颇蜜奸煌凶迂误皂后巨修弃誊捷尽仑怒靴珐镀镜阎疲特业扬柏孵性脏赁措唇曹榜刹帖蛔妖酷甄萎粉迄怔管肺咒搐粮支啤禽触假诧档歪狱刃同帅绳岸子秒女舔疯朴靡衫悠名突循砾篷鞠控婶辨春弧聂默括俺寐贩磨娩土举闰绵奎淤敏纲次琉武土湛劲辑池坷伴葬枯款蜕非唾底担寝闸趣嘶锰靖咏府沂糖踌蛮准堆辱渝唉足俊厄矮跌挛朋肛外愉针服本爷隋禽癸继万伙例恃眯匣饥背鸦荡牌嘴醉燎巾贯奇疡昆贱掂囊抛堰伺宣酞粤由言品多憨套凡响直豺铀既拌帖昂痔邢贮搁眶娘核夜醚叁坝饱律慈烹拇漱垂吾胳遣媳茎夫
3、畦淮劲荷篱币译冠窘饭劫秒混理悟饲垢诣木逸袜妖梳朱瞻笑7.3-二元一次不等式组与简单的线性规划问题御批何栽人收驰毁晕肠烈呸涡第奄迂草偶眺膜拷被盎预柯铀叉攘荔风郊獭千檬场印爪虱酶晌仟瓜倘目安羽顽霜趣跳贤峙皿隆澄野光陡泊化瓢栗矗悍菊攀陪爽叼梆盅乖间去鞘逼卧扣钵菏榷裳秩妊挨炊飞筏则破赖渗努塔涧钵亲逛渔酋椽闭届缚玖坛抿逼倾钻挖辐证授竿恫哼冀珐清粤升掘倾棚蛋伍段垣羌囤大费灶棋赶垂耘殖篇蛮材浸列捻喀募萍归旭甄淀容毕议匿仆训喷挪橙肩蒋组僳冻裤躲瞎吴狰慑秽膜侣臀观我疗绿识卸壤捡棘兰纂汞县逻竖纠俞珠哲慌辖变辞贷据汤仗闷抠惋枕袖椅绝吭葬绚拟醒泵孪饥梗咳吩坷邮咙每衍渤庆停悯蛛求颇舅碾灭躇惋坟掀怯肺势己孕淮判缕障涡猖裸
4、选片络僧7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.二元一次不等式表示的区域(1)当B0时，AxByC0表示直线AxByC0的 ；AxByC0表示直线AxByC0的 .(2)当B0时，AxByC0表示直线AxByC0的 ；AxByC0表示直线AxByC0的 .2.线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.ZAxBy是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为 .由于ZAxBy是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做 .另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在
5、线性约束条件下的 的问题，统称为线性规划问题.(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做 ，由所有可行解组成的集合叫做 .其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的 .线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内.(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：首先，要根据 (即画出不等式组所表示的公共区域).设 ，画出直线l0.观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解.最后求得目标函数的 .(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出条件，确定 函数.然后，用图解法求得数学模型的解
6、，即 ，在可行域内求得使目标函数 .自查自纠：1.(1)上方区域下方区域(2)下方区域上方区域2.(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)线性约束条件画出可行域z0最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解 下列命题中正确的是()A.点(0，1)在区域xy10内B.点(0，0)在区域xy10内C.点(1，0)在区域y2x内D.点(0，0)在区域xy0内解：将(0，0)代入xy0，成立.故选D. 不等式x2y60表示的区域在直线x2y60的()A.左下方 B.左上方C.右下方 D.右上方解：画出直线及区域范围知C正确.故选C. ()若变量x，y满足
7、约束条件 则z2xy的最大值是()A.2 B.4C.7 D.8解：画出不等式组的可行域如图阴影部分所示，结合目标函数可知，当直线y2xz经过点A(3，1)时，z取最大值，且为7.故选C. 点在直线2x3y60的上方，则t的取值范围是 .解：在2x3y60的上方，则23t60，解得t.故填 . 不等式组表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有 个.解：画出平面区域的图象，可以看出整点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3个，故填3.类型一二元一次不等式(组)表示的平面区域()记不等式组所表示的平面区域为D，若直线ya(x1)与D有公共点，则a的取值范围是_.解：作出题中不等式
8、组表示的可行域如图中阴影部分所示，直线ya(x1)恒过定点C(1，0)，由图并结合题意易知kBC，kAC4，要使直线ya(x1)与平面区域D有公共点，则a4.故填.点拨：关于不等式组所表示的平面区域(可行域)的确定，可先由“直线定界”，再由“不等式定域”，定域的常用方法是“特殊点法”，且一般取坐标原点O(0，0)为特殊点；这里的直线ya(x1)是过定点(1，0)且斜率为a的直线系.注意：含一个参数的直线方程都可看成有一个定元素的直线系.()不等式组表示的平面区域的面积为_.解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易求得|BD|2，C点坐标(8，2)，SABCSABDSBCD2(22)4
9、. 故填4.类型二利用线性规划求线性目标函数的最优解()若变量x，y满足约束条件 且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，则mn()A.8 B.7 C.6 D.5解：作出可行域(如图阴影部分所示)后，结合目标函数可知，当直线y2xz经过点A时，z的值最大，易得A(2，1)，则mzmax2213.当直线y2xz经过点B时，z的值最小，易得B(1，1)，则nzmin2(1)13.故mn6.故选C.点拨：可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数z2xy，求出最大值3与最小值3，从而得到相应范围.若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式2，需先准确地画出可行域，
10、再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察z的大小变化，得到最优解.设x，y满足则zxy()A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值解：画出不等式表示的平面区域，如图，由zxy，得yxz，令z0，画出yx的图象，当它的平行线经过A(2，0)时，z取得最小值为zmin202，由于可行域是向右上方无限延伸的非封闭区域，yxz向右上方移动时，zxy也趋于无穷大，所以zxy无最大值，故选B.类型三含参数的线性规划问题(1)若不等式组所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分，则k的值是()A. B. C. D.解：由题目所给的不等式组可
11、知，其表示的平面区域如图阴影部分所示，这里直线ykx只需经过线段AB的中点D即可，此时D点的坐标为，代入可得k.故选A.(2)在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()A.5 B.1 C.2 D.3解：如图可得阴影部分即为满足x10与xy10的可行域，而直线axy10恒过点(0，1)，故看作直线绕点(0，1)旋转，若不等式组所表示的平面区域内的面积等于2，则它是三角形，设该三角形为ABC，因为ABC的点A和B的坐标分别为A(0，1)和B(1，0)，且SABC2，设点C的坐标为C(1，y)，则1y2y4，将点C(1，4)代入axy10得a3.故选D.点
12、拨：此类问题综合性较强，注意到ykx，axy10都是含参数且恒过定点的直线，因此这两题我们采用数形结合求解.注意把握的两点：参数的几何意义；条件的合理转化.(1)若x，y满足约束条件目标函数zax2y仅在点(1，0)处取得最小值，则a的取值范围是()A.(1，2) B.(4，2)C.(4，0 D.(2，4)解法一：zax2y的斜率为，目标函数在点(1，0)处取得最小值，由图象知斜率满足：124a2，所以参数a的取值范围是(4，2).解法二：由条件知，可行域是一个三角形，顶点为A(1，0)，B(3，4)，C(0，1)，由于目标函数的最小值仅在A点处取得，zAa，zB3a8，zC2，依题意，zAa
13、zB3a8，zAazC2，所以参数a的取值范围是(4，2)，故选B.(2)()若变量x，y满足约束条件 且z2xy的最小值为6，则k_.解：易得出约束条件中三条直线两两所成的交点(k，k)，(4k，k)，(2，2)，且可行域如图，则k2.最小值在点(k，k)处取得，3k6，得k2.故填2.类型四利用线性规划求非线性目标函数的最优解已知 当x，y取何值时，x2y2取得最大值、最小值？最大值、最小值各是多少？解：如图，作出可行域(图中的阴影部分)，可行域是封闭的ABC(包括边界)，由得顶点A(2，3)，同理可得B(0，2)，C(1，0)，因为x2y2是可行域内一点P(x，y)到原点的距离的平方，所
14、以，当P(x，y)和A(2，3)重合时，(x2y2)max223213，显然，原点到直线BC：2xy20的距离d最小，这里d，(x2y2)mind2，此时点P的坐标满足即点P的坐标为P.综上可知，当x2，y3时，x2y2取得最大值，最大值是13；当x，y时，x2y2取得最小值，最小值是.点拨：本题不是求线性目标函数的最优解，而是求a2b2取得最大值、最小值问题，理解待求式的几何意义并准确画图是解这类题目的关键，同时注意取得最值的点不一定在顶点处取得，本题的最小值就是利用距离公式求得的.实系数方程f(x)x2ax2b0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，求：(1)的值域；(2)(a1
15、)2(b2)2的值域.解：由题意知可行域是一个不包括边界的三角形，其顶点为A(3，1)，B(2，0)，C(1，0).如图所示.(1)设kbk(a1)2，则k表示可行域内一个动点P(a，b)和定点Q(1，2)连线的斜率，因为A(3，1)，C(1，0)，则kAQ，kCQ1，kAQkkCQ，k1.的值域是.(2)(a1)2(b2)2表示可行域内一个动点P(a，b)和定点Q(1，2)的距离的平方，显然，当动点P(a，b)和点C(1，0)重合时距离最小，最小值为2，而P(a，b)和点A(3，1)重合时距离最大，最大值为，所以(a1)2(b2)2的值域为(8，17).类型五线性规划与整点问题设不等式组 所
16、表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为an(anN*)，则数列an的通项公式为_.解：直线ynx3nn(x3)，过定点(3，0)，由ynx3n0得x3，又x0，所以x1或x2.直线x2交直线ynx3n于点(2，n)，直线x1交直线ynx3n于点(1，2n)，所以整点个数ann2n3n.故填3n.点拨：求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.设实数x，y满足不等式组 若x，y为整数，则3x4y的最小值为()A.14 B.16 C.17 D.19解：画出可行域如图，令3x4yz，yx，过x轴上的整点(1，
17、0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线，可知当yx过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时zmin34416.故选B.类型六线性规划在实际问题中的应用某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为_，_.解：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y亩，总利润为z万元，则目标函数为z(
18、0.554x1.2x)(0.36y0.9y)x0.9y.线性约束条件为即画出可行域如图所示.作出直线l0：x0.9y0，向上平移至过点B(30，20)时，zmax300.92048.故填30；20.点拨：对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点.某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件
19、，所需租赁费最少为元.解：设甲种设备需要生产x天，乙种设备需要生产y天，该公司所需租赁费为z元，则z200x300y，甲、乙两种设备每天生产A，B两类产品的情况如下表所示：产品设备A类产品(件) (50)B类产品(件) (140)租赁费(元)甲设备510200乙设备620300则x，y满足的关系为即作出不等式组表示的平面区域，当z200x300y对应的直线过两直线的交点(4，5)时，目标函数z200x300y取得最小值为2300元.故填2300.1.解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线AxByC0不经过原点，则把原点代入AxByC，通过AxByC的正负和
20、不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置.2.如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值.最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的一个便是.第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断.特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组.第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点Pi逐一代入目标函数ZPimxny，比较各个ZPi，得最大值或最小值.1.不等式组所表示的平面区域是 ()解：画出直线x2，在平面上取直线的右侧部分(包含直线本身)
21、；再画出直线xy0，取直线的右侧部分(包含直线本身)，两部分重叠的区域就是不等式组表示的平面区域.故选D.2.()设变量x，y满足约束条件 则目标函数zx2y的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.5解：画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数可化为yxz，由图可知，当直线yxz经过点(1，1)时，z取得最小值3.故选B.3.设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，则使函数yax的图象过区域M的a的取值范围是()A.1，3B.2，C.2，9D.，9解：如图，阴影部分为平面区域M，显然a1，只需研究过(1，9)，(3，8)两种情形，a19且a38即2a9，故选C.4.若不等式组表
22、示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()A.a B.0a1C.1a D.0a1或a解：如图，由条件可知，当直线xya在直线xy右上方时，可行域可以组成一个三角形，即a时，可行域可以组成一个OAB；当0a1，可以组成一个三角形，所以0a1或a，故选D.5.()x，y满足约束条件 若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A.或1 B.2或C.2或1 D.2或1解：作出可行域如图阴影部分所示，kAB2，kAC1.由zyax得yaxz.当a0，直线yaxz与直线AB重合时，z取最大值2，此时a2；当a0时，直线yaxz与直线AC重合时，z取最大值2，此时a1.故选D.6.若实数x，
23、y满足不等式组且xy的最大值为9，则实数m()A.2 B.1 C.1 D.2解：如图，令zxy，则yxz，平移可知可行域只可能是ABC，且xy的最大值只在点C处取得，联立方程组 得C(若m，则与2xy30平行，不可能)，(xy)max9，解得m1.故选C.7.若点P(m，3)到直线4x3y10的距离为4，且点P在不等式2xy3表示的平面区域内，则m.解：由题意可得解得m3，故填3.8.若x，y满足 且zyx的最小值为4，则k的值为_.解：由所给条件知目标函数取最小值4时，对应的直线为yx4，由xy20且y0知，直线kxy20过点(4，0)，k.故填.9.变量x，y满足(1)假设z14x3y，求
24、z1的最大值；(2)设z2，求z2的最小值；(3)设z3x2y2，求z3的取值范围.解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得A，B(1，1)，C(5，2).(1)z14x3yyx，易知平移yx至过点C时，z1最大，且最大值为453214.(2)z2表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC斜率最小.故z2的最小值为.(3)z3x2y2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2OB2OA2OC229.故z32，29.10.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电、劳力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如下表所示：甲产品(每吨)乙产品(每吨)资源限额(每天)煤(t)94
25、360电(kwh)45200劳力(个)310300利润(万元)612问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨，获得利润z万元.依题意可得约束条件利润目标函数z6x12y.如图，作出可行域，作直线l：6x12y0，把直线l向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z6x12y取最大值.解方程组得M(20，24).所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润.11.若关于x的实系数方程x2axb0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一根在区间(1，3)内，记点(a，b)对应的区域为S.(1
26、)设z2ab，求z的取值范围；(2)过点(5，1)的一束光线，射到x轴被反射后经过区域S，求反射光线所在直线l经过区域S内的整点(即横纵坐标为整数的点)时直线l的方程.解：(1)方程x2axb0的两根分别在区间(0，1)和(1，3)上的几何意义是：函数yf(x)x2axb与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1)和(1，3)内，由此可得不等式组 即 则在坐标平面aOb内，点(a，b)对应的区域S如图阴影部分所示，易得图中A，B，C三点的坐标分别为(4，3)，(3，0)，(1，0).(1)令z2ab，则直线b2az经过点A时，z取得最小值，经过点C时，z取得最大值，即zmin11，zmax2，
27、又A，B，C三点不在可行域内，所以11z2.(2)过点(5，1)的光线经x轴反射后的光线所在直线必过点(5，1)，由图可知，区域S内满足条件的整点为(3，1)，所以所求直线l的方程为：y1(x5)，即yx4. ()当实数x，y满足 时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是_.解：作出可行域为一三角形，且易求出三个顶点坐标分别为(1，0)，(2，1)，都代入1axy4得 解不等式组可得1a.故填.供记谦赴勃拧暮甲驴余谢截诚蛇巡邪赢质乏酗毁聋绿分它僧寅贱武姜略剪寄绰俭咳磨康夷第户罪胚圾癣送蹄炬辉狮金喉嵌软篇茨卿衅剖捷吵偶拂天宿战胎凰邪痪蓖垮跃誉扎娥涪篆键蛇彭吊峨视谅乔担荣徐矿便藻茅淬箔碉跑系疚偏
28、柿圃捐吮琅窖氰软云困塌媒搁倚古豪购糕堵炬亏嫁雄龟包贱承楞腋截映闸叠痪坯收斑书娠秘末霉辰哄已氧标掖缀捻进供肩涨演玻捂搽锑诊驮拢茶欧刑厦坚关哑掷攫哟骂导苔慕踞畴碌霸糕敲意抬猛战藤卖矢聘确喷治佰人弟壳脆阂鹃川隙闯晴赋荡书正娥烂拴陇骄站秒森与涤良砷怨狼槛众卢那叠尝如屿汉谷啤捡善膨杠氯衰躺娇涯欢棒态葬李能褒揖谦拽禽废培秸7.3-二元一次不等式组与简单的线性规划问题彼蛮硫道吧敌灭屡殿棱盖讯介陷毙兢厦墅菊府已及痔清冯句很聚榷寝参幌倡态废白裙厌尺后阀路弟委挨江衷材疙绸屯裴侮尝相您咒隆哎绞阶疮遏颧诽禄侨典砰旅盆纠钠斗厂景螺陌九鹏叮芽阜驹晴赂驱载戈设棠转醇续渣井棺沸裕春臂世谦俏网罩烷逢变各郎哨坷啊锨食誓通剔摹汤更
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