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1、阶段复习课 第一章,【答案速填】分类加法计数原理 分步乘法计数原理 _ _ _ _ _ _,类型一 两个计数原理的应用 1.选择使用两个原理解决问题时应注意的事项 (1)分类加法计数原理的关键是“类”，分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法,(2)分步乘法计数原理的关键是“步”，分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；其次，分步时还要注意满足完成一件事必须并且只有连续完成这n个步骤后，这件事才算完成，只有满足了上述条件，才能用分步乘法计数原理,2.解题
2、时正确区分“分类”与“分步” (1)分类：“做一件事，完成它可以有几类办法”每一类办法中的每一种方法都能将这件事完成分类时，首先根据问题特点确定一个合理的分类标准，在这个“标准”下分类能够做到“不重不漏” 完成这件事的任何一种方法必须属于其中的某一类;(不漏) 分别在不同两类中的两种方法不能相同(不重复),(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务步与步之间要相互独立必须并且只需连续完成这些步骤后，这件事才算最终完成,【典例1】(1)若直线方程axby0中的a,b可以从0,1,2,3,5 这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直 线一共有_条 (2)用6种不同的彩色
3、粉笔写黑板报， 黑板报设计如图所示，要求相邻区 域不能用同一种颜色的彩色粉笔， 该板报有多少种书写方案？,【解析】(1)分两类：第一类，a，b均不为零，a，b的取值共有43=12种方法 第二类：a,b中有一个为0，则不同的直线仅有两条x0和y0. 所以共有不同直线12+2=14条 答案：14,(2)第一步选英语角所用彩色粉笔，有6种不同的选法；第二步选语文学苑所用彩色粉笔，不能与英语角所用颜色相同，有5种不同的选法； 第三步选理综世界所用彩色粉笔，与英语角和语文学苑所用颜色都不能相同，有4种不同的选法； 第四步选数学天地所用彩色粉笔，只需与理综世界的颜色不同即可，有5种不同的选法. 共有654
4、5=600种不同的书写方案.,类型二 排列、组合应用题 1.求解排列与组合应用问题应注意的事项 (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题. (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理. (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏. (4)列出式子计算并作答,2.解排列组合应用题时常用的解题策略 (1)特殊元素优先安排的策略. (2)合理分类和准确分步的策略. (3)排列、组合混合问题先选后排的策略. (4)正难则反、等价转化的策略. (5)相邻问题捆绑处理的策略.,(6)不相邻问题插空处理的策略. (7)定序问题除法处理的策略. (8)分排问题直排处理的策略. (9)“小集团”排列
5、问题中先整体后局部的策略. (10)构造模型的策略,【典例2】(1)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( ) A.504种 B.960种 C.1 008种 D.1 108种,(2)六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ 甲不站两端； 甲、乙必须相邻； 甲、乙不相邻； 甲、乙之间间隔两人； 甲、乙站在两端.,(3)把4个男同志和4个女同志平均分成4组，到4辆公共汽车里参加售票劳动，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同情况 有几种不同的分配方法？ 每个小组必须是
6、一个男同志和一个女同志，有几种不同的分配方法？ 男同志与女同志分别分组，有几种不同的分配方法？,【解析】(1)选C.甲、乙相邻的所有方案有 (种)； 其中丙排在10月1日的和丁排在10月7日的一样多，各有 (种)，其中丙排在10月1日且丁排在10月7日的有 (种)，故符合题设要求的不同安排方案有1 440 2240481 008(种)，故选C.,(2)方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间 4 个位 置上任选 1 个，有 种站法，然后其余 5 人在另外 5 个 位置上全排列有 种站法，根据分步乘法计数原理共有站法 (种). 方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余 5 个人中 选 2 个
7、人站，有 种站法，然后中间 4 人有 种站法， 根据分步乘法计数原理，共有站法 (种).,方法三：若对甲没有限制条件共有 种站法，甲在两端共有 种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求 的站法数，共有 (种). 方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有 种站法，再把甲、乙进行全排列，有 种站法，根据分 步乘法计数原理，共有 (种)站法,方法二：先把甲、乙以外的 4 个人作全排列，有 种站 法，再在 5 个空档中选出一个供甲、乙放入，有 种方 法，最后让甲、乙全排列，有 种方法，共有 =240(种).,因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一 步先让甲、乙以外的 4
8、个人站队，有 种；第二步再将 甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档(含两端)中，有 种，故 共有站法为 (种). 也可用“间接法”，6 个人全排列有 种站法，由知甲、 乙相邻有 种站法，所以不相邻的站法有 =720240480(种),方法一：先将甲、乙以外的 4 个人作全排列，有 (种)，然后将甲、乙按条件插入站队，有 (种)，故共 有 (种)站法 方法二：先从甲、乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲、 乙之间的两个位置上，有 种，然后把甲、乙及中间 2 人看作一个“大”元素与余下 2 人全排列有 种方法， 最后对甲、乙进行排列，有 种方法，故共有 =144(种)站法,首先考虑特殊元素，甲、
9、乙先站两端，有 种，再让其他 4 人在中间位置全排列，有 种，根据分步乘法计数原理， 共有 (种)站法,(3)男女合在一起共有8人，每个车上2人，可以分四个步骤 完成，先安排2人上第一个车，共有 种，再上第二车共有 种，再上第三车共有 种，最后上第四车共有 种，按 分步乘法计数原理有 (种),要求男女各1人，因此先把男同志安排上车，共有 种不 同方法，同理，女同志也有 种方法，由分步乘法计数原 理，车上男女各1人的不同分配方法为 (种) 男女分别分组，4个男的平分成两组共有 (种),4个女 的分成两组也有 (种)不同分法，这样分组方法就有33 9(种)，对于其中每一种分法上4辆车，又有 种上法
10、，因 而不同分配方法为 (种).,【互动探究】题(2)若条件不变，那么甲不站左端，乙不站右 端有多少种不同的站法？ 【解析】方法一：甲在左端的站法有 种，乙在右端的站法 有 种，且甲在左端而乙在右端的站法有 种，甲不站左 端，乙不站右端的站法共有 种站法 方法二：以元素甲分类可分为两类：甲站右端有 种， 甲在中间 4 个位置之一，而乙不在右端有 种，故 共有 种站法,类型三 二项式定理的应用二项式定理应用的四个方面 (1)近似求值利用二项式定理进行近似计算，关键在于构造恰当的二项式(pq)n(其中|q|1)，并根据近似要求，对展开式的项合理取舍 (2)解决整除问题通常把底数化为两数的和或差的形
11、式，且这种转化形式与除数有密切的关系，再利用二项式定理展开，只考虑前面或后面的一两项就可以,(3)求和求二项展开式系数和的基本方法是赋值法在解决有些数列求和的问题时，要注意对问题实施转化，为应用二项式定理创造条件 (4)解不等式或证明组合恒等式用二项式定理证明不等式时，通常表现为二项式定理的正用或逆用，再结合不等式的证明方法论证而证明组合恒等式的关键在于构造不同的二项式，比较系数进行证明,【提醒】解决二项式定理问题，特别是涉及求二项展开式的通项的问题，关键在于抓住通项公式，还要注意区分“二项式系数”与“项的系数”,【典例3】(1) 的展开式中x的系数是( ) A.4 B.3 C.3 D.4 (
12、2)已知(a21)n展开式中各项系数之和等于 的展 开式的常数项，而(a21)n的展开式的二项式系数最大的项的 系数等于54，求a的值,【解析】(1)选B.方法一： 的展开式中x的一次 项为： 所以 的展开式中x的系数是3. 方法二：由于 的展开式中x的 一次项为： 所以 的展开式中x的系数是3.,(2)由 得， 令Tr1为常数项，则205r0， 所以r4，所以常数项,又(a21)n展开式的各项系数之和等于2n， 由题意得2n16，所以n4. 由二项式系数的性质知，(a21)n展开式中二项式系数最大 的项是中间项 所以 所以,【跟踪训练】 1已知1，2Z1，2，3，4，5，满足这个关系式的集
13、合Z共有 ( ) A.2个 B.6个 C.4个 D.8个 【解析】选D.由题意知集合Z中必有元素1，2，另外，从3， 4，5中可以不取，取1个，取2个，取3个，故共有 (个),2.(2013广州高二检测)5人站成一排，甲乙之间恰有一个人的站法有( ) A.18种 B.24种 C.36种 D.48种 【解析】选C.首先把除甲乙之外的三人中随机抽出一人放在甲乙之间，有3种可能，甲乙之间的人选出后，甲乙的位置可以互换，故甲乙的位置有2种可能，最后，把甲乙及其中间的那个人看作一个整体，与剩下的两个人全排列是3216，所以3232136(种)，故答案为C.,3二项式(a2b)n展开式中的第二项系数是8，
14、则它的第三 项的二项式系数为 ( ) A.24 B.18 C.16 D.6 【解析】选D. 所以2n8，n4， 所以,4.某校园有一椭圆型花坛，分成如图 四块种花，现有4种不同颜色的花可供 选择，要求每块地只能种一种颜色， 且有公共边界的两块不能种同一种颜 色，则不同的种植方法共有( ) A.48种 B.36种 C.30种 D.24种,【解析】选A.由于相邻两块不能种同一种颜色，故至少应当 用三种颜色，故分两类第一类，用4色有 种，第二类， 用3色有 种，故共有 种,5. 展开式中常数项为_. 【解析】展开式的通项为 由124r=0，得r=3，所以常数项为 答案：4,6.世博会上某国展出了5件
15、艺术作品，其中不同书法作品2 件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5 件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品 不能相邻，则该国展出这5件作品不同的方案有_种 (用数字作答),【解析】将两件书法作品排在一块看作“一件”作品与标志 性建筑设计一块排好，有 种排法，在上述“两件”作 品形成的三个空档中插入绘画作品，有 种插法 所以共有不同展出方案 (种) 答案：24,7.(2013盐城高二检测)从0到9这10个数字中任取3个数字组 成一个没有重复数字的三位数，能被3整除的数有_个. 【解析】一个数能被3整除的条件是它的各位上的数字之和能 被3整除.根据这点，分为如下
16、几类： (1)三位数各位上的数字是1，4，7或2，5，8这两种情况，这 样的数有 个.,(2)三位数的各位上只含0，3，6，9中的一个，其他两位上的 数则从(1，4，7)和(2，5，8)中各取1个，这样的数有 个，但要除去0在百位上的数，有 个，因而 有216-18198个. (3)三位数的各位上的数字是0，3，6，9中的3个，但要去掉0 在百位上的，这样应有33218个，综上所述，由0到9这 10个数字所构成的无重复数字且能被3整除的3位数有12+198+ 18228个. 答案：228,8.一个小组有10名同学，其中4名男生，6名女生，现从中选出3名代表， (1)其中至少有一名男生的选法有几种？ (2)至多有1名男生的选法有几种？,【解析】(1)方法一：(直接法) 第一类：3名代表中有1名男生，则选法种数为 种； 第二类：3名代表中有2名男生，则选法种数为 种； 第三类：3名代表中有3名男生，则选法种数为 种； 故共有60364100种.,方法二：(间接法) 从10名同学中选出3名同学的选法种数为 种 其中不适合条件的有 种 故共有 种,(2)第一类：3名代表中有1名男生，则选法为 种； 第二类：3名代表中无男生，则选法为 种； 故共有602080种,