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1、1.1.1 正弦定理,第一章 解三角形,1,数学正弦定理人教A版必修5,一、新课引入,A,B,C,b,c,三角形中的边角关系,1.角的关系: 2.边的关系: 3.边角关系:,大边对大角，小边对小角,a,一般地，把三角形的三个角 A,B,C和它们的对边a,b,c叫做 三角形的元素,2,数学正弦定理人教A版必修5,小强师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如下图所示的部分，测量出A=47, C=80, AC长为1m,想修好这个模型，但他不知道AB和BC的长度是多少好去截料，你能帮师傅这个忙吗？,A,B,a,b,c,C,一、新课引入,3,数学正弦定理人教A版必修5,试借助三角形的高来寻找三角形的边与角之
2、间的关系？,（1）锐角三角形：,（2）直角三角形：,二、新课讲解,作CD垂直于AB于D，则可得,作AE垂直于BC于E， 则,4,数学正弦定理人教A版必修5,试借助三角形的高来寻找三角形的边与角之间的关系？,二、新课讲解,（3）钝角三角形：（C为钝角）,C,A,B,a,b,c,作CD垂直于AB于D，则可得,作BE垂直于AC的延长线于E，则,5,数学正弦定理人教A版必修5,正弦定理:,在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。,（1）从结构看：,（2）从方程的观点看：,三个方程，每个含有四个量，知其三求其一。,各边与其对角的正弦严格对应，体现了数学的和谐美。,即:,二、新课讲解,B,C,A,a
3、,b,c,应用正弦定理解三角形 题型一:已知两角和任意一边，求出其他两边和一角 题型二:已知两边及其中一边对角，求出其他一边和两角,6,数学正弦定理人教A版必修5,三、例题讲解,例1 在ABC中，A=32.0，B=81.5，a=42.9，解此三 角形（精确到0.1cm）,解:根据三角形的内角和定理：,C=180-(A+B)=66.2,由正弦定理可得,由正弦定理可得,应用正弦定理解三角形 题型一:已知两角和任意一边，求出其他两边和一角,7,数学正弦定理人教A版必修5,三、例题讲解,解:由正弦定理可得,C=180-(A+B)76,(1),C=180-(A+B)24,(2)当B116时，,题型二:已
4、知两边和其中一边的对角，求出三角形的另一边和另外两个角.,例2.在ABC中，a=20cm，b=28cm, A=40，解此三角形,8,数学正弦定理人教A版必修5,例3.在ABC中，A=45， ，解此三角形,三、例题讲解,解:由正弦定理可得,由ba，A=45o,可知BA,C=180-(A+B)107,题型二:已知两边和其中一边的对角，求出三角形的另一边和另外两个角.,例2.在ABC中，a=20cm，b=28cm, A=40，解此三角形,9,数学正弦定理人教A版必修5,若已知a、b、A的值，则解该三角形的步骤如下： （1）先利用 求出sinB，从而求出角B； （2）利用A、B求出角C=180o-(A
5、+B)； （3）再利用 求出边c.,三、例题讲解,题型二:已知两边和其中一边的对角，求出三角形的另一边和另外两个角.,注意：求角B时应注意检验！,10,数学正弦定理人教A版必修5,例3 在ABC中,A=45， ,这样的三角形有_个,三、例题讲解,1.画PAQ=45,2. 在AP上取AC=b=4,3.以C为圆心,a=6为半径画弧,弧与AQ的交点为B,B,2个,1个,0个,1个,0个,1,11,数学正弦定理人教A版必修5,已知两边和其中一边的对角时，解斜三角形的各种情况,ab 一解,bsinAab 两解,bsinA=a 一解,bsinAa 无解,(一)当A为锐角,(二)当A为钝角,ab 一解,ab
6、 无解,三、例题讲解,(三)当A为直角,12,数学正弦定理人教A版必修5,若已知三角形的两条边及其中一边的对角（若已知a、b、A的值），则可用正弦定理求解，且解的情况如下,A为钝角或直角,A为锐角,ab,ab,absinA,a=bsinA,bsinAab,一解,无解,无解,一解,两解,ab,一解,13,数学正弦定理人教A版必修5,2.在ABC中,由已知条件解三角形,下列有两解的是( ) Ab=20, A=45, C=80 Ba=30, c=28, B=60 Ca=14, b=16, A=45 Da=12, c=15, A=120,四、练习,判断已知两边及其中一边对角的三角形解的个数 的基本步骤
7、(适合填空或选择题)： （1）判断已知角A的类型；（钝、直、锐） （2）判断已知两边a、b的大小关系； （3）判断a与bsinA的大小关系.,C,1.在ABC中，A,B,C所对的边分别是a,b,c， 则下列关系一定成立的是 ( ) AabsinA Ba=bsinA CabsinA DabsinA,D,14,数学正弦定理人教A版必修5,五、小结,1.正弦定理:,2.应用正弦定理解三角形 题型一:已知两角和任意一边，求出其他两边和一角,注：若已知边不是对边，先用三角形内角和定理求第三角，再用正弦定理求另两边,题型二: 已知两边和其中一边的对角，求出三角形的另一边和另外两个角.,注意有两解、一解、无解三种情况（求角B时应检验！）,其中，R是ABC的外接圆的半径,3.利用图形判断：已知两边和其中一边的对角时解斜三角形的各种情况（注意已知角的分类）,15,数学正弦定理人教A版必修5,16,数学正弦定理人教A版必修5,