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1、第14讲 数列求和及数列的综合应用 P82一、选择题 1.设函数f(x)xmax的导函数f(x)2x1,则数列(nN*)的前n项和是( C )A. B.C. D.解析：因为f(x)2x1,所以f(x)x2x,易求得其和为C. 2.若正项数列an满足lg an11lg an,且a2001a2002a2003a20102013,则a2011a2012a2013a2020的值为( A )A.20131010 B.20131011C.20141010 D.20141011解析：由lg an11lg an,可得lg 1,10,a2011a2012a2013a2020(a2001a2002a2003a20
2、10)101020131010. 3.设某商品一次性付款的金额为a元,以分期付款的形式等额地分成n次付清,若每期利率r保持不变,按复利计算,则每期期末所付款是( B )A.(1r)n元 B.元C.(1r)n1元 D.元解析：设每期期末所付款是x元,则各次付款的本利和为x(1r)n1x(1r)n2x(1r)n3x(1r)xa(1r)n,即xa(1r)n,故x.二、填空题 4.(原创题)已知数列an满足a11,nN*,anan12,其前n项和为Sn,则S2017 2015 .解析：S2017a1(a2a3)(a4a5)(a2016a2017)122015. 5.(2016湖南十三校联考)已知数列a
3、n的前n项和为Sn,且Sn2nan,则数列an的通项公式an 2()n1 .解析：当n1时,a11；当n2时,anSnSn1,所以2anan12,则2(an2)an12,所以an2(a12)()n1,an2()n1.三、解答题 6.(2016山西太原市二模)数列an的前n项和记为Sn,a1t,点(Sn,an1)在直线y3x1上,nN*.(1)当实数t为何值时,数列an是等比数列；(2)在(1)的结论下,设bnlog4an1,cnanbn,Tn是数列cn的前n项和,求Tn.解析：(1)因为点(Sn,an1)在直线y3x1上,所以an13Sn1,an3Sn11(n1,且nN*),an1an3(Sn
4、Sn1)3an,所以an14an,n1,a23S113a113t1,所以当t1时,a24a1,数列an是等比数列.(2)在(1)的结论下,an14an,an14n,bnlog4an1n,cnanbn4n1n,Tnc1c2cn(401)(412)(4n1n)(14424n1)(123n).7.(2016甘肃兰州高三实战)等差数列an中,已知an0,a1a2a315,且a12,a25,a313构成等比数列bn的前三项.(1)求数列an,bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Tn.解析：(1)设等差数列的公差为d,则由已知得：a1a2a33a215即a25,又(5d2)(5d13)100,解
5、得d2或d13(舍),a1a2d3,所以ana1(n1)d2n1,又b1a125,b2a2510,所以q2,所以bn52n1.(2)因为Tn5352722(2n1)2n1,2Tn532522723(2n1)2n,两式相减得Tn532222222n1(2n1)2n5(12n)2n1,则Tn5(2n1)2n1.8.(2016武汉联考)设数列an的前n项和为Sn,a110,an19Sn10.(1)求证：lg an是等差数列；(2)设Tn是数列的前n项和,求Tn；(3)求使Tn(m25m)对所有的nN*恒成立的整数m的取值集合.解析：(1)证明：依题意,得a29a110100,故10.当n2时,an19Sn10,an9Sn110,两式相减得an1an9an,即an110an,10,故an为等比数列,且ana1qn110n(nN*),所以lg ann.所以lg an1lg an(n1)n1,即lg an是等差数列.(2)由(1)知,Tn33(1).(3)因为Tn3,所以当n1时,Tn取最小值.依题意有(m25m),解得1m6,故所求整数m的取值集合为0,1,2,3,4,5.