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1、广东工业大学考试试卷( A)：课程名称 :线性代数试卷满分 100 分名考试时间 :2010年 1 月 5 日 (第 19周 星期二 )姓题 号一二三四五六七八九十总分评卷得分线评卷签名复核得分：复核签名号一、填空题（每小题4 分，共 20 分）：学2x131、函数 f (x)xx1 中, x3 的系数为.21x订1011A102、设 A11.0, A21， A0，则 A30A21023、设 A 是 43 矩阵，且 R( A) 2 ，而 B020 ，则 R( AB ).：1 03业专24、设矩阵 A 与 B3相似，则 | A*E |_ .装311、若2为可逆阵A的特征值，则2的一个特征值为.5
2、3A：二、选择题（每小题4 分，共 20 分）：院1、 下列命题 正确的是（）。学（ A ） 若 ABE ，则 A 可逆且 A 1B（ B）方阵 AB 的行列式阶子式| AB | BA |广东工业大学试卷用纸，共3页，第1 页（ C）若方阵 AB 不可逆，则 A , B 都不可逆（ D）若 n 阶矩阵 A 或 B 不可逆，则 AB 必不可逆2、设 A 为 n 阶矩阵， A* 为其伴随矩阵，则 kA *().（A ） k n An（C） k nn1（ B） k AA（ D） k n 1 A n3、若非齐次线性方程组 Ax b 中方程个数少于未知数个数，那么 ().(A)Axb 必有无穷多解；(B
3、)Ax0必有非零解；(C)Ax0 仅有零解；(D)Ax0 一定无解 .4 、 设 有 向 量 组 (11,- 1,2,4) ， (20,3,1,2)， (33,0,7,14) ， (41,- 2,2,0) 与(2,1,5,10)，则向量组的极大线性无关组是（）5（ A ） ， ， ；(B)， ， ；123124(C) ， ， ；(D) ， ， ， .12512455、设 A 、 B 为 n 阶实对称可逆矩阵，则下面命题错误的是（）（ A ）有可逆矩阵P 、 Q 使得 PBQA （ B）有可逆矩阵P 使得P 1 ABPBA（ C）有可逆矩阵P 使得 P 1B 2 PA2 （ D）有正交矩阵P使得
4、P 1 APP T AP B三、计算行列式（ 6 分）：15131134设 A，计算 A41A42A43A44 的值，其中A4 i (i1,2,3,4) 是代数余子式 .11232234423四、（10 分） 设矩阵 X 满足关系 AXA 2 X ，其中 A110，求 X .123x13 x2x30五、（10 分）设线性方程组为x14 x2a x3b ，问： a 、 b 取何值时，方程组无2 x1x23 x35解、有唯一解、有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。六（10 分）1, 2 , , k 是 Ax0 的一个基础解系， 不是 Ax0 的解，即 A0，、设广东工业大学试卷用纸，共3页，第2
5、 页讨论：向量组,1 ,2 , ,k 线性相关还是线性无关？ .七、（10 分） A460350，问 A 能否对角化？若能对角化， 则求出可逆矩阵 P ，设361使得 P-1 AP 为对角阵 .八、（共 14 分）证明题：1、（6分）若 A 为 n 阶幂等阵（A2A ），求证： r ( A) r ( AEn ) n .2、（8分）设 A 是 mn 实矩阵 ,0 是 m 维实列向量，证明：（1）秩 r ( A)r ( AT A) ；（ 2）非齐次线性方程组 AT AxAT有解 .广东工业大学试卷用纸，共3页，第3 页广东工业大学试卷参考答案及评分标准( A)课程名称 :线性代数。考试时间 : 2
6、010年 1月 5 日 ( 第 19周 星期二 )三、填空题（每小题4 分，共 20 分）：1000010031、 -2;33、2；4、 280；2、015、0040011四、选择题（每小题4 分，共 20 分）：12345DCBBD五、解：A41A42A43A441513113411231111151362106212110611（ 1） 00023060 22 116 （1）2363分5分6分 分 明：本 方法不唯一，但都要求 算必 有 程， 果不 的酌情 分。四、解： 由已知 ( A2E) XA ，2 分100386因 ( A 2E , A)r0102968 分广东工业大学试卷用纸，共3
7、 页，第 4 页0012129386故 X( A2E ) 1 A29610 分2129 分 明：本 方法不唯一，若 果不 的根据步 酌情 出。13101310五、解： A 14ab0111 3 分213500a 2b1当 a2 ，方程 有唯一解5 分当 a2， b1 ，方程 无解 7 分当 a2， b1 ， r (A)r ( A) 2 3 ，方程 有无 多 解 ,其通解 (3,1,0)Tk (2, 1,1)T ， k 任意常数。10 分六、解： 有 x0 , x1, x2 , xk使得x0x1 (1 )x2 (2 )xk (k )0 ，(1)( x0x1x2xk )x11x22xkk0 ,(2
8、) 4 分若 x0x1x2xk0 ， 可由1,2 , k 性表示，是 Ax0 的解 , 与已知矛盾 . 故必有 x0x1x2xk0 ，从而 x11x22xkk0 ，7 分由 1 ,2 ,k 是 Ax0的一个基 解系知1 ,2 , , k 性无关，x1x2xk0 ， x0( x1x2xk ) 0 ，因此向量 ,1 ,2 ,k 性无关 .10 分4602七、解 ：由 AE3502 ，1361得全部特征 ：121,32 ，4 分将 121代入 AE x0 得方程 广东工业大学试卷用纸，共3页，第5 页3x16x20203x16x20解之得基 解系11,20 6 分3x16x2001同理将32 代入A
9、E x0 得方程 的基 解系3(1,1,1)T 7 分201由于1 ,2 ,31010 ，所以 1,2 ,3 性无关，011201100令 P1 ,2 , 3101 ， 有： P 1 AP010 10 分011002八、 (14 分)1、 明：A2A ，A( AEn )0r ( A)r ( AEn )n 3 分又 EnAEnA,n r ( A)r ( En A)r ( A)r ( A En )故 nr ( A)r ( A En ) 6 分2、 明：（ 1）因 若 A0 ， AT AA0 0 ；而当 AT A0 ，由| A |2( A) T AT AT AT 0 0 ，得 A0 。因此 次 性方程 Ax 0 与 AT Ax 0 ，同解，故秩 r ( A)r ( AT A) 。4 分（2）因 秩r ( AT A) r (AT A，AT )r ( AT ( A， ) r ( AT ) r (A) r ( AT A)因此 r (AT A AT) r ( AT A)TAxAT有解。，故非 次 性方程 A8 分广东工业大学试卷用纸，共3页，第6 页广东工业大学试卷用纸，共3页，第7 页