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1、第一章 多项式习题解答1.用 g( x) 除 f ( x) ，求商 q( x) 与余式 r ( x) .1） f ( x) x33x2x 1, g (x) 3x22x13x 22x 1x33x 2x 11 x7x32x21x39337 x 24 x1337 x2 14 x739926 x2991x7,r ( x)26x2q( x)99.392） f ( x) x42x 5, g(x) x2x 2x2x 2 x 40x30 x22 x 5 x 2x 1x4x32x2x32x22xx3x22xx24x5x2x25x7q( x) x2x 1, r ( x)5x 7 .2. m, p, q 适合什么条
2、件时，有1） x2mx 1| x3px qx 2mx 1x30 x2px qx mx3mx2xmx2( p 1) xqm x2m2 xm(m2p1) x ( q m)当且仅当 m2p 1 0, qm 时x2mx1| x3px q .1本题也可用待定系数法求解.当 x2mx1| x3pxq 时，用 x2mx1 去除x3px q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为xq .于是有x3pxq( xq)( x2mx1)x3(mq)x2(mq1) xq .因此有 m2p10, qm .2） x2mx 1| x4px2q由带余除法可得x4px2q ( x2mx 1)( x2mx p 1 m2 ) m
3、(2 p m2 ) x (q 1 p m2 )当且仅当 r ( x)m(2p m2 ) x (q1pm2 )0 时 x2mx1 | x4px2q .即m(2 p m2 ) 0，即m 0,或p m22,q 1 p m20q 1 p,q 1.本题也可用待定系数法求解 .当 x2mx1| x4px2q 时，用 x2mx1 去除x4px2q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为x2axq .于是有x4px2q(x 2axq)( x2mx1)x4(ma) x3(maq1) x2(amq) xq.比较系数可得 ma0,maq1p,amq0.消去 a 可得m0,或pm22,q 1q1.p,3.求
4、g( x) 除 f ( x) 的商 q( x) 与余式 r ( x) .1） f ( x) 2x55x38x , g (x) x 3;解：运用综合除法可得3 20508061839117327261339109327商为 q(x)2x46x313x239 x109 ，余式为 r (x)327.22） f ( x)x3x2x, g( x)x12i .解:运用综合除法得 :12i 111012i42i98i12i52i98i商为 x22ix(52i ) ,余式为 98i .4.把 f ( x) 表成 xx0 的方幂和，即表示成c0c1 ( xx0 )c2 ( x x0 ) 2的形式 .1） f (
5、 x)x5 , x0 1 ；2） f ( x) x42x23, x02;3） f ( x)x42ix 3(1i) x23x7i , x01.分析：假设 f ( x)为 n 次多项式，令f (x)c0c1 (xx0 )c2 ( xx0 ) 2cn ( xx0 )nc0(x x0 ) c1c2 ( x x0 )cn ( x x0 ) n 1 c0 即为 xx0除 f ( x) 所得的余式，商为 q(x)c1c2 ( xx0 )cn ( x x0 )n 1 .类似可得 c1 为 xx0 除商 q( x) 所得的余式，依次继续即可求得展开式的各项系数 .解： 1）解法一：应用综合除法得 .1 1000
6、00111111 11111112341 123451361 13610141 141011 53f ( x) x5( x 1)55( x 1)410( x 1) 310( x 1) 25( x 1) 1 .解法二：把 x 表示成 ( x1)1 ，然后用二项式展开x5( x1)15(x1)55( x1) 410( x1)310( x1) 25( x1)12 ）仿上可得2 1020324482 12241128202 1410242122 1622218f ( x) 11 24( x2)22(x2)28( x2) 3( x2)4 .3）因为i 12i1 i37 ii114ii 1ii475ii0
7、1i 10i5i1i 1i1ii12if ( x)x42ix 3(1i) x23x7i(75i)5( xi ) (1i )( xi ) 22i (x i )3( x i ) 4.5.求 f ( x) 与 g ( x) 的最大公因式1） f ( x) x4x33x24x 1, g( x) x3x2x 1解法一：利用因式分解f (x) x4x33x24x 1 (x 1)( x33x 1),4g (x) x3x2x 1 ( x 1) 2 (x 1).因此最大公因式为 x1.解法二：运用辗转相除法得q2 (x)1x1 x3x2x 1 x4x33x24x 1x q1 ( x)24 x33 x21 xx4
8、x3x2x1232r1 (x)2x 23x18x4q3 ( x)2xx12x22 x33221 x23 x1x1244x133r2 (x)x044因此最大公因式为 x1.2） f ( x) x44x3 1, g( x) x33x2 1 .解：运用辗转相除法得（注意缺项系数补零）32432x4x 0x0 x 1 x 1 q1( x)q2 (x)1x10x3x0x13931 22xx43x30x2xxx33x30x2x110 x 22 x 1x33x20 x 133r1 (x)3x2x210 x210 x2027x4413993x233 x16256r2 ( x)16x11169949x21649
9、 x53916256r3 ( x)27256( f ( x), g( x)1.3） f ( x) x4 10 x21, g (x) x44 2x36x24 2x 1.g (x)f (x) 4 2 (x32 2x 2x)f (x) r ( x) ，1f ( x)(x322x2x)( x22)(x222x1)41r1( x)( x2 2 ) r2 ( x),241 r1 ( x) x32 2x2x x( x22 2x 1)r2 (x) x,2因此(f(x),g()x222x1.x56.求 u( x), v(x) 使 u(x) f ( x)v(x) g( x)( f ( x), g ( x) :1）
10、 f ( x) x42x3x 24x 2, g( x) x4x3x22x 2;解：运用辗转相除法得：q2 ( x) x1 x4x3x22x2 x42x3x24x2 1q1 (x)x42x2x4x3x22x 2x3x22xr1 (x)x32 xxq3 ( x)x32xx32xr2 ( x)x 220因此 ( f ( x), g( x)r2 (x)x22 .且有f ( x) g( x)q1 (x) r1( x) ， g( x) r1( x) q2 ( x) r2 (x), r1 (x)r2 (x)q3( x).于是 r2 ( x) g( x)r1( x)q2 ( x)g(x) f ( x)g( x
11、)q1( x) q2 ( x)q2 (x) f ( x)1q1( x)q2 (x) g(x) .u(x)q2 (x)x 1, v( x) 1 q1( x) q2 ( x) x 2.2） f ( x)4x42x316x25x9, g (x)2x3x25x4;解：运用辗转相除法得：q2 (x)1 x1 2x3x25x 4 4x 42x3 16 x25x 92 x q1 ( x)33 2x3x23x4 x42x3 10 x28x2x22x 4r1 (x)6x 23x 9 6 x 9 q3 ( x)2x2x36x26 xr2 ( x)x 19x99x90因此 ( f ( x), g( x)r2 ( x
12、)x1 .且有f ( x)g( x)q1 (x) r1( x) ， g( x) r1( x) q2 ( x) r2 (x), r1 (x)r2 (x)q3( x).于是 r2 ( x) g( x) r1( x)q2 ( x)g(x) f ( x)g( x)q1( x) q2 ( x)q2 (x) f ( x) 1q1( x)q2 (x) g(x) .u( x)q2 ( x)1 x1 ,v(x)1q1 ( x)q2 ( x)12x( 1 x1 )2 x22 x 1.3333333） f ( x) x4x34x24x 1, g( x) x2x 1.6解：运用辗转相除法得：q2 (x) x 1 x2
13、x1x4x34x 24x1x2 3 q1( x)x 22xx4x3x2x13x24x1x23x23x3r2 (x)1r1 (x)x2因此 ( f ( x), g( x)r2 ( x) 1. 且有f ( x)g( x)q1 (x) r1( x) ， g( x) r1( x) q2 ( x) r2 (x), r1 (x)r2 (x)q3( x).于是 r2 ( x)g( x)r1( x)q2 ( x)g(x) f ( x) g( x)q1( x) q2 ( x)q2 (x) f ( x)1 q1( x)q2 (x) g(x) .u( x)q2 ( x)x 1, v( x) 1 q1 ( x)q2
14、( x) 1 ( x23)( x 1) x3x23x 2.7.设 f ( x)x3(1t ) x22x2u, g( x)x3txu 的最大公因式是一个二次多项式，求 t, u 的值 .解：运用带余除法有f ( x)x3(1 t) x22x2u( x3tx u) 1(1t )x 2(2t) xu g (x) r1( x),由题意可得， r1( x) 即为 f (x), g (x) 的最大公因式 .因此有 1t0 .进一步g( x)r1( x)1xt22 r2 (x),1 t(1 t )r2 ( x)t(1 t) 2u(1t )(2t)2xu1t2 .(1t) 2(1 t )2要使 r1 (x)
15、为 f ( x), g ( x) 的最大公因式的充要条件是 r2 ( x)0. 即t (1t) 2u(1t )(2t )20,u(1t) 2(t2)0,解得u0,u 0,u711i ,u711i ,13i111i111it4;t;tt222.8.证明：如果 d( x) | f (x), d( x) | g( x), 且 d ( x) 为 f( x) 与 g( x) 的一个组合，那么7d ( x) 是 f (x) 与 g(x) 的一个最大公因式 .证明：由 d ( x) | f ( x), d ( x) | g( x) 可知 d( x) 是 f (x) 与 g (x) 的一个公因式 .下证f (
16、 x) 与 g( x) 的任意一个公因式是d ( x) 的因式 .由 d ( x) 为 f (x) 与 g(x) 的一个组合可知，存在多项式u(x), v( x) ，使得d( x)u( x) f (x)v(x) g( x) .设( x) 是 f (x) 与 g( x) 的任意一个公因式，则(x) | f ( x),( x) | g ( x) .故(x) |u( x) f ( x)v( x) g( x)即 (x) | d (x). 因此 d( x) 是 f (x) 与 g (x) 的一个最大公因式 .9.证明： ( f (x)h( x), g (x) h( x)( f (x), g( x)h(x
17、)( h( x) 的首项系数为 1）.证明：存在多项式u(x), v( x) ，使得( f ( x), g ( x)u( x) f (x)v(x) g( x) .所以有 ( f (x), g (x) h( x)u( x) f (x)h(x)v( x) g(x)h(x) .即 ( f (x), g (x) h( x) 是f ( x)h(x) 与 g( x) h( x) 的一个组合 .显然有( f (x), g( x) | f ( x), ( f ( x), g( x) | g(x) .从 而 ( f ( x), g( x)h( x) | f ( x)h(x), ( f ( x), g( x)h(
18、 x) | g( x) h( x) . 由 第8题 结 果( f (x), g (x)h( x) 是 f (x)h( x) 与 g( x)h( x) 的一个最大公因式.又 h(x) 是首项系数为1 的，因此 ( f ( x) h( x), g ( x) h(x) ( f ( x), g( x)h(x).f ( x),g ( x)10.如果 f ( x) ， g ( x) 不全为零，证明 () 1 .( f ( x), g( x)( f (x), g( x)证明：由 f ( x) , g ( x) 不全为零可得其最大公因式不为零多项式，即( f (x), g (x)0.又存在多项式 u( x),
19、 v( x) ，使得( f ( x), g ( x)u( x) f (x)v(x) g( x) .于是81f (x)v( x)g(x)u(x).( f ( x), g( x)( f ( x), g ( x)f ( x)g (x) 1 .因此 (,( f ( x), g (x)( f (x), g (x)11.如果 f ( x) ， g( x) 不全为零，且u(x) f ( x)v(x) g( x)( f (x), g( x) ，那么 (u( x), v( x)1 .证明：由 f ( x) , g( x) 不全为零可得 ( f (x), g (x)0.由u(x) f ( x)v( x) g(x)
20、( f ( x), g( x)有f ( x)v( x)g(x)u( x)1.( f ( x), g( x)( f ( x), g ( x)于是 (u( x), v( x) 1 .12.证明：如果 ( f (x), g( x)1, ( f ( x), h(x)1, 那么 ( f ( x), g( x)h( x) 1.证法一、由条件 ( f (x), g (x)1, ( f ( x), h(x)1可得存在多项式 u1 ( x), v1( x) ；u2 (x), v2 ( x) 使得u1 (x) f ( x)v1 ( x) g(x)1， u2 ( x) f ( x)v2 ( x) h( x)1 .两
21、式相乘得 u1 (x)u2 (x) f ( x)u2 ( x)v1 (x) g( x)u1( x)v2 (x)h( x) f (x)v1 (x)v2 ( x) g(x)h( x)1.因此有 ( f (x), g (x)h(x)1.证法二、反证法证明 .显然 ( f ( x), g(x)h(x)0.若 ( f ( x), g( x)h( x)1, 则存在不可约多项式p( x) ，使得 p( x) 为 f ( x) 与 g( x)h(x) 的公因式 .因此有 p( x) | f ( x) 且p( x) | g( x)h(x) .由 p(x) 的不可约性有p( x) | g(x) 或 p( x) |
22、 h( x) .若 p( x) | g( x) ，则p( x) 为 f ( x) 与 g (x) 的一个公因式，与( f ( x), g( x)1 相矛盾 .若 p( x) | h( x) ，则p( x) 为 f ( x) 与 h( x) 的 一 个 公 因 式 ， 与 ( f( x), h( x) 1 相 矛 盾 . 因 此9( f (x), g (x)h( x)1不成立，即有 ( f ( x), g( x) h(x)1.13.设 f1 ( x), f 2 ( x), f m (x), g1 (x), g2 ( x),gn ( x) 都是多项式，而且( fi ( x), g j ( x)1, (i1,2, m; j1,2, n).求证： ( f1 ( x) f2 ( x)fm ( x), g1 ( x)g2 ( x)gn ( x)1.证明：由 ( f1 ( x), g j ( x)1( j1,2, n) ，反复利用第12 题结果可得( f1 ( x), g1 ( x)g2 (x)gn ( x)1 .类似可得( fi (x), g1 (x)g2 ( x)gn ( x)1, i2, m.再反复利用 12 题结果可得 ( f1( x) f2 ( x)f m ( x), g1 (x)g2 ( x)gn ( x)1.14.证明：如果 ( f (x), g( x)1, 那么 ( f (