《高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学(43).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学(43).docx（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1、用比较判别法判（或极限形式的比较判别发）定下列级数的敛散性11）1 nn 1 ln解：因为111 1 ，而级数1 1发散，所以1发散。ln 1 n1 n 2 nn 1 2 nn 1 ln 1 n12）3n 1 n 2ln n解：11，而级数1收敛，所以1收敛。3333n 2 ln n n 2n 1 n2n 1 n2ln n3）1a 0ann 1 1解：当a 1111时，ana1 an敛。n1，因为级数n 1an收敛，所以1a 0收ann 1 1当 a1 时，11111an2an2an11n1，因为级数发散，所以a 0n 1 2aann 1 1发散。2、用比值判别法判定下列级数的敛散性n1
2、!1）n 12nn2 !n1 !2n 1解：因为 lim1 ，所以级数n发散。n1 !2nn 12n2n n!2）nnn 12n 1n1 !nn 1222n n!解：因为 lim1lim1，所以级数收敛。2nn!1nennnnn 1nn1n3）nnna0an 1 n!n1n 1an 1nn1 !lim 11解：因为 limna eannannnn!1） 当2） 当a1时， ea1，级数nn ana0收敛；en 1n!a1时， ea1，级数nnana0发散；en 1n!3） 当 a11，级数为nn时， ea，比值判别法无法判别en 1 en n!（注： 判别正项级数nn的敛散性。n 0 en n
3、!解：利用 拉贝判别法，因为nn 11en 1n 1 !lim n 1nnnen n!所以正项级数nn发散。n 0 enn!（1） 用 x 替换 1 ，则 n时， xn1e11 x x1 x xlimlimxex0x01n11lim n 1n1ne20ln 1x1x2x 1xelimln 1x1lim1 xln 1x xx2x 1 xx21xx0x0ln 1 x1 ln 1xln1 xlimxlim2lim2 3xx0 2x 3xx02 3xx 01x12所以n1nn111n 1n 1 !1lim n 1ennlim n 1nnne2enn!（2）拉贝判别法对于正项级数un，如果 lim n
4、1 un1r ，则当n1nun（1） r1时，正项级数un 收敛；n 1（2） r1 时，正项级数un 发散；n 1（3） r1时，不能确定正项级数n 1un 的敛散性。证明：我们证明2）如果 lim n 1un 1r1nun取0 使得 r1 ，由极限的定义，存在自然数N 00 ，当 nN0 时，有n 1 un 1rrn 1un 1r1ununun 1111nunn1n1因为1 发散，再利用第二节习题16 题，有un 发散。）n 1 nn 13、用根式判别法判定下列级数的敛散性n1n1）2n1n 1n1nn1解：因为 lim n1，级数1n 1 2n1n2n12ann2）a0n1n 1n收敛。
5、n解：因为 lim nanan 1nann1） 当 0a1时，级数a0 收敛n 1n 1n2） 当 a1时，级数ana 0发散1n 1 nnn13） 当 a1时，因为 limlimn1nnn11n1ann，级数a 00n 1 n 1e发散4、用适当的方法判定下列级数的敛散性n11）2n 1 n nn1解：因为 limn n2lim n 11，级数1发散，由比较判别法n 1 发散。n1nn 2n 1 nn 1 n n 2n2）n 1 2n sin 3n解：因为 2n sin n 2nn2n，而级数2n收敛，所以级数2n sin n 收333敛。an 1( a0 为常数）3）ann 1 1n 13
6、n 13解：当 a1 时，显然不满足必要条件，级数an 1n 1 1an 发散。当 0a 1时，an 1an1，级数an 1an 1收敛。1an收敛，由比较判别法ann 1n 1 1an 111an 1当 a1时，limnlima0 ，不满足收敛必要条件，n 发1anan 1 1 ann11a散。5、证明题1）设 un 0 n1, 2, L 且数列nun有界，证明：级数un2 收敛。n 1证明：因为数列nun 有界，且 un0n1, 2, L，所以存在一正数M ，使得nun M22M22M 2nununn2因为级数M 2 收敛，由比较判别法级数un2收敛。n 1n2n 12）设级数an 和级数
7、bn 都收敛且 an cnbn ，是证明级数cn 收敛。n 1n 1n 1证明：因为级数an和级数bn 都收敛，所以级数bnan收敛，由ancnbnn 1n 1n 1有 bn ancn an 0 ，所以级数bn an 和级数cn an ，由比较判别法，级n 1n 1数cn an 收敛。因此级数cncn an an 收敛。n 1n 1n 16、判定下列级数的敛散性arctan 11）nnn 1arctan111nnarctan13 收敛，所以级数arctan解：因为 limlimn1 ，级数n 收敛。n1n1n 1n 2n 1n3nn 22）1 cosn 1n1cos122122 n2解：因为 limnlim2，级数收敛，所以级数1cos 收敛。n1n1n1 nn1nn2n27、设 an 0 , bn0 ，且 an 1bn 1，试证明：当bn收敛时，an 也收敛。anbnn1n1证明：因为a2b2a3b3a4b4, Lanbna1b1,b2,b3,bn 1a2a3an 1所以有anbna1b1当bn 收敛时，级数1 bn收敛，由比较判别法级数1 an收敛，因此an 也收敛。n 1n 1 b1n 1 a1n 1