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1、第一章1、简述量子力学基本原理。答：QM原理一描写围观体系状态的数学量是Hilbert空间中的矢量, 只相差一个复数因子的两个矢量， 描写挺一个物理状态。QM原理二 1 、描写围观体系物理量的是Hillbert空间内的厄米算符?；2、物理量所能取的值是相应算符?( A )A 的本征值； 3、一个任意态?Ci ai , Ciai；而物理量A 在总可以用算符 A 的本征态 ai 展开如下：iCi2xi中出现的几率与成正比。原理三一个微观粒子在直角坐标下的位置算符? 和相应的正则动量算符?有如下对易关系：?0?iijpixi, x j0 ， pi, p j， xi, p j原理四在薛定谔图景中，微观
2、体系态矢量t 随时间变化的规律由薛定谔方程给it?t在海森堡图景中，一个厄米算符? Ht的运动规律由海森堡HAt方程给出：d ? Ht1 ? H?AA, H原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在dtiHillbert空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。2、薛定谔图景的概念？答：x, tx |t来自t而 x 来自 x式中态矢随时间而变而x 不含 t，结果波函数x， t 中的宗量t，这叫做薛定谔图景.3、 已知1,0(1) 请写出Pauli 矩阵的3 个分量；(2) 证明 x 的本征态0.1| Sx111().1224、已知：
3、P 为极化矢量， P=，其中 =C 1+C2 ，它的三个分量为：求证：答案：设： C1=x 1 +iy 1,C 2=x 2+iy 2则： Px=2(x 1x2+y 1y2)Py =2(x 1y2-x2 y1 )P z=x 1 2+y 12-x2 2-y22P2=P x2 +Py 2+P z2=4(x 1 x2 +y 1 y2 )2+4(x 1y2-x2y1)2+(x 12 +y 12 -x22 -y22) 2=4(x 12x22 +y 1 2y2 2+x 12y22+x 2 2y12)+(x 1 4-2x 12x2 2-2x 12 y22-2x 22y12 -2y 1 2y22 -2x 2 2
4、y22+y 14 +x 24 +y 24 )=(x 14+2x 12x2 2+2x 12 y2 2+2x 22 y1 2+2y 12y22+2x 2 2y22 +y 14 +x 24+y 24 )=(x 12+y 12 +x 2 2+y 2 2)2=(| C 1| 2+|C 2| 2)25、6、证明不确定关系.答案 :对于两个可观测量A 和 B 成立不等式：（ 1）先证明一个引理-schwarz 不等式：对于两个态矢 |和 |，必有：（ 2）此不等式类似于对实欧式空间的两个矢量a,b，必有：（ 3）对任意复常数，我们有：（4）|取，代入上式可得（2） .现在证明（ 1）式：取|（ 5）这里用态
5、 | 来强调对任何ket 矢量都适用，于是（2）式给出：（6）因：（7）其中对易子A ,BA,B 是一个反厄米算符，它的平方值恒为纯虚数，而反对易子A,B 是厄米算符，它的平方值恒为实数，于是：的模的平方等于。7、证明：幺正算符的本征态互相正交.解: 设 |n ? 是幺正算符 S 的一个本征态 , 本征值为n, 则?n| S|n ? = n = ?n| S= ?n|n= S+|n ? = n+|n ?即|n ? 也是 S+的本征态，而H = S + S+ 是厄米算符，H|n ? = (n + n+)|n ?故|n ? 也是 H 的本征态，而厄米算符的本征态相互正交, 所以幺正矩阵的本征态相互正
6、交.8、试证明：若体系在算子变换Q 下保持不变，则必有H,Q=0 。这里 H 为哈密顿算符，变换Q 不显含时间，且存在逆变换Q-1。9、论述态矢 ,波函数与图景,表象的关系 ,并说明薛定谔图景和海森堡图景的区别.答案 :态矢与图景有关而与表象无关,波函数作为态矢在基态上的投影却与表象有关和图SH景无关。海森堡图景 ,态矢 | （ t）依赖时间 t 而基矢 |x 不含 t, 而对于海森堡图景而言， |不含 t，于是时间依赖性完全转移到|x,t H 中去了。10、求证11、请写出一维谐振子的经典哈密顿量12222答：一维谐振子的经典哈密顿量：H( Pm w q )12、产生 ,湮灭算符的定义,为什
7、么把它们叫产生湮灭算符?答案 : 产生 ,湮灭算符的定义如下：定义粒子数算符可以得到：?由此可知 a | n和 a| n分别是 N 的本征值为（n+1）和（ n-1）的本征态。故称其为产生湮灭算符。13、证明谐振子在激发态中xpn2h2证明： xha a, p i mha a21222m22222x 0,p0Vxxxx2222同理：V pppp222h22ha aa a a aa a 1 2 a ax2m2m222mhaa12aap22h2mh对于激发态nx2np2n112m22212xpnh2214、请构造相干态.解 : 相干态为最小不确定态，同时是的本征态，记为在N表 象 中 解 此 方
8、程 ， 展 开 ：由得又有，所以由归一化条件得：15、简述：从经典力学过渡到量子力学的三种途径薛定谔的表述形式，即波动力学，它重视描述粒子“波粒二重性”运动的波函数。（ 1） 海森波的矩阵力学， 它重视可观察量。 把可观察量和算符间建立了一一的对应关系，研究算符的运动方程，它包含有对易关系的运算。（ 2） 第三种是狄拉克和费曼发现的，他们着眼于经典作用量和量子力学中相位之间的关系，重视“传播函数”或“传播子”的作用。16、由最小作用量原理推导拉格朗日方程。第二章17、势散射：两粒子的相互作用，可以是能用二者的相互作用势能V (r1r2 ) 表达的引力或斥力，这时的散射称为势散射.18、证明 S
9、 算符是么正的证明：因为s s( )( ) ( )( )且所以所以算符 S 是么正的第三章19、试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。rrr?h轨道角动量；Lrp Lx , L y i Lzrrrrrr自旋角动量?i hSzS； Sx, Sy L , S0 JL S 仍为角动量 J x , J y L xSx , L yS y 证： L x , L y S x , Sy i h Lzi h S zi hJ zrrrrr一般地若两角动量满足 J1, J 2 0则 JJ1J2 也是角动量进一步：任意个两两对易的角动量算符之和仍为角动量算符rrr设 JnJmihJn nm即 Jnx , Jmy i hJnz nmrkrk?则对于 JJ nJx, y, zJ n ;n1n 1kkkk J x , J y Jnx ,J my Jnx , Jmy n 1m 1n1 m1kkki hJn nmi h J nz i hJ zn 1 m 1n 1