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1、专题 07 高考数学仿真押题试卷（七）注意事项：1 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3 非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，集合，则 AB ()A (0,)B ( 1,)C 0
2、 ，)D 1 ，)【解析】解：集合，集合，) 【答案】 C 2复数i的共轭复数为 ()1 iA1 1 iB 1 1 iC1 1 iD 1 1 i22222222【解析】解：复数，故它的共轭复数为11i ，22【答案】 C 3设 a ， b ， c 为正数，则“ a222”的 ()b c ”是“ abcA充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件1 / 15【解析】解：a ， b ， c 为正数，当 a2， b2 ， c 3时，满足 a222b c ，但 abc 不成立，即充分性不成立，若 a2b2c2 ，则，即，即，即 abc ，成立，即必要性成立，则“ abc ”是“ a
3、2b2c2 ”的必要不充分条件，【答案】B 4九章算术是我国古代数学成就的杰出代表，弧田是中国古算名，即圆弓形，最早的文字记载见于九章算术方田章如图所示，正方形中阴影部分为两个弧田，每个弧田所在圆的圆心均为该正方形的一个顶点，半径均为该正方形的边长，则在该正方形内随机取一点，此点取自两个弧田部分的概率为()A 2B41C1D 342222【解析】解：设正方形的边长为1，则其面积为1，故在该正方形内随机取一点，此点取自两个弧田部分的概率为1 ，2【答案】 C 5已知 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，若 S1111 ，则 a6 ()3A 1B 2C1D23333【解析】解：由等差数列的性质
4、可得：，解得 a61 3【答案】 A 6已知 F1 ， F2 为双曲线的左、右焦点，P 为其渐近线上一点， PF2x 轴，且，则双曲线 C 的离心率为 ()2 / 15A 2B 5C 2 1D 5 1【解析】解：PF2x 轴，可得 P 的横坐标为 c ，由双曲线的渐近线方程yb x ，a可设 P 的纵坐标为 bc ，a由，可得 bc2c ，a即 b2a ，即有【答案】 B 7执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为4，第二次输入的x 的值为5，记第一次输出的 a 的值为 a1 ，第二次输出的a 的值为 a2 ，则 a1a2()A 0B 1C 1D 2【解析】解：当输入的x 值为 4
5、 时， b2 ，第一次，不满足b2x ，不满足 x 能被 b 整数，故输出 a0；当输入的 x 值为 5 时，第一次，不满足2x ，也不满足 x 能被 b 整数，故 b3 ；b第二次，满足 b 2x ，故输出 a 1 ；即第一次输出的a 的值为 a1 的值为 0，第二次输出的 a 的值为 a2 的值为 1，则【答案】 B 3 / 158如图在直角坐标系xOy 中，过坐标原点O 作曲线 yex 的切线，切点为P ，过点 P 分别作 x ， y 轴的垂线垂足分别为A ， B ，向矩形 OAPB 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为()A e 2B e 1C e 2D e 12e2eee【解析
6、】解：设xP( x0 ， e 0 ) ，x由 y e ，则以点 P 为切点过原点的切线方程为：，又此切线过点 (0,0) ，求得： x0 1 ，即 P(1,e) ，以点 P 为切点过原点的切线方程为：y ex由定积分的几何意义得：，设“向矩形OAPB 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分”为事件A ，由几何概型的面积型可得：P （ A），【答案】 A 4 / 159已知，是不重合的平面，m ， n 是不重合的直线，则m的一个充分条件是()A mn ， nB m / /，C n， n， mDn ， mn【解析】解：当n， m时， m / / n ，当 n时， m，即充分性成立，即 m的一个充分条件
7、是C ，【答案】 C 10已知双曲线的左焦点为 F (5 ， 0) ，点A 的坐标为 (0,2) ，点 P 为双曲线右支上的动点，且APF 周长的最小值为8，则双曲线的离心率为()A 2B 3C 2D 5【解析】解：由，三角形 APF 的周长的最小值为8，可得 | PA | | PF | 的最小值为5，又 F 为双曲线的右焦点，可得，当 A ， P ， F 三点共线时，| PA | | PF| 取得最小值，且为| AF |3 ，即有 3 2a 5 ，即 a1， c5 ，5 / 15可得 ec5 a【答案】 D ( Sn9 )211各项均为正数的等比数列an 的前 n 项和为 S ，若 aa4
8、， a1 ，则4的最小值为 (n2632an)A 4B 6C 8D 12【解析】解：各项均为正数的等比数列 an 的公比设为 q ， q0 ，若 a2 a64 ， a31 ，则 a1q a1q 54 ， a1q21 ，解得 a1 ， q2 ，14可得，则，当且仅当 n3 时，上式取得等号(Sn9 ) 2则 4 的最小值为 82 an【答案】 C 12 Rt ABC 中，ABC90 ， AB23 ， BC4 ，ABD 中，则 CD 的取值范围()AB (4 ， 232CD6 / 15【解析】解：以AB 为底边作等腰三角形OAB ，使得，以 O 为圆心，以OA 为半径作圆，则由圆的性质可知D 的轨
9、迹为劣弧AB （不含端点），过 O 作 OMAB ，则 M 为 AB 的中点，OM1 ， OA2 ，即圆 O 的半径为 2（ 1）若 O ， C 在 AB 异侧，显然当 O ， C ， D 三点共线时， CD 取得最小值， CD 的最小值为 2 7 2 （ 2）若 O ， C 在 AB 同侧，则当 O ， C ， D 三点共线时， CD 取得最大值此时，CD 的最大值为2 32 【答案】 C 第卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分13已知复数zai ， a R ，若 z 为纯虚数，则 | z |11i【解析】解：是纯虚数，a10，即 a1 zi ，则 | z | 1 故答案为： 114
10、已知三棱锥ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上， 若，则球O 的表面积为37 / 15【解析】解：如图，取 CD 中点 E ，连接 BE ，可得 BE6，2设等边三角形 BCD 的中心为 G ，则 BG6 ，3，设三棱锥ABCD 的外接球的半径为R ，则，即，解得 R3 2球 O 的表面积为故答案为： 3 15 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 定 义 两 点 A( x1， y1 ) ， B( x2， y2 ) 间 的 折 线 距 离 为已知点 O(0,0) ， C( x, y) ， d (O, C)1 ，则 x2y2 的取值范围是22【解析】解：，则故答案为：2 216已知 F
11、 为抛物线 C : x24y 的焦点，过点 F 的直线 l 与抛物线 C 相交于不同的两点A ， B ，抛物线 C 在A ， B 两点处的切线分别是l1 ， l 2 ，且 l1， l2 相交于点 P ，则 | PF |32的最小值是| AB |【解析】解：设直线 l 的方程为： y kx1 ， A(x1 ， y1 ) ， B( x2 ， y2 ) ykx1，联立4 y，化为：x2可得： x1x24k ， x1 x24 ，8 / 15对 x24 y 两边求导可得：y1x，2可得切线 PA 的方程为：，切线 PB 的方程为：，联立解得：， P(4 k, 1) ，令则，可得 t4 时，函数f (t
12、) 取得极小值即最小值f （4）6 当且仅当k3 时取等号故答案为： 6三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在 ABC 中，已知 A， cos B2 5 45（）求 cosC 的值；（）若BC2 5 ， D 为 AB 的中点，求CD 的长【解析】解： （）且 B(0,) ，则；9 / 15（）由（）可得，由正弦定理得BCAB ，即 25AB ，解得 AB6 ，sin Asin C23 10210在 BCD 中，所以 CD5 18设数列 a n 的前 n 项和为 Sn ，已知 a1 1 ，（ 1）设，证明数列 bn 是等比数列；（ 2）求数列 an 的通项公式【解析】解： （
13、1）由 a11 ，及，得，所以由，则当 n2时，有， 得，所以，又，所以，所以 bn 是以 b1 3为首项、以2 为公比的等比数列（ 2）由 (I ) 可得，等式两边同时除以n 1，得an 1an322n 12n4所以数列 an 是首项为1 ，公差为3 的等差数列2n24所以，即19已知椭圆， (a b 0) 的离心率为2 ，其中左焦点 F ( 2,0) 2（）求出椭圆C 的方程；（）若直线 yx m 与曲线 C 交于不同的 A 、 B 两点，且线段 AB 的中点 M 在曲线 x22 y2 上，求 m 的值【解析】解： （）由题意得，c2 ， c 2 ，解得： a22 ， b 2，a210 /
14、 15所以椭圆 C 的方程为： x2y21 84（）设点A ， B 的坐标分别为(x1 ， y1) ， ( x2 ， y2 ) ，线段 AB 的中点为 M ( x0 ， y0 ) ，x2y21 ，消去 y 得由 84，yxm由，解得，所以，因为点M ( x0 ， y0 ) 在曲线 x22 y 2 上，所以，即20已知函数 f (x)eaxx 1（ 1）当 a 1 时，求曲线 f (x) 在 (0 ， f (0) 处的切线方程；（ 2）求函数 f (x) 的单调区间【解析】解：当a1时，( )ex，则f xx 1又，所以 f (x) 在 (0 ， f (0) 处的切线方程为，即 y2x 1 ；（
15、 2）由函数 f (x)eaxx，得：1当 a0时，又函数的定义域为 x | x 1，所以 f (x) 的单调递减区间为( ,1) ， (1,) 当 a0时，令 f ( x)0 ，即，解得 xa 1 ，a当 a0a11 ，时， xa所以 f (x) ， f ( x) 随 x 的变化情况如下表11 / 15x(,1)1a1a 1a 1)(1,)(,aaaf ( x)无定义0f ( x)减函数减函数极小值增函数所以 f (x) 的单调递减区间为(,1) ， (1,a 1) ，a单调递增区间为a1) ，(,a当 a 0 时， xa1，1a所以所以 f( x) ， f (x) 随 x 的变化情况如下表
16、x(,a 1a1a11(1,)a(,1)aaf ( x)0无定义f ( x)增函数极大值减函数减函数所以 f (x) 的单调递增区间为(a1,) ，a单调递减区间为( a1 ,1) ， (1,) a21袋中装有黑色球和白色球共7 个，从中任取2 个球都是白色球的概率为1 现有甲、乙两人从袋中7轮流摸出1 个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，摸后均不放回， 直到有一人摸到白色球后终止每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的，用X 表示摸球终止时所需摸球的次数（ 1）求随机变量 X 的分布列和均值 E( X ) ；（ 2）求甲摸到白色球的概率【解析】解：设袋中白色球共有x 个，*且 x2 ，则依题意知
17、Cx21C72xN7，x( x1)所以211，即 x2x 60 ，解得 x3( x 2 舍去）76721（ 1）袋中的7 个球， 3白 4 黑，随机变量X 的所有可能取值是1， 2， 3， 4， 5，12 / 15，随机变量X 的分布列为X12345P3263177353535所以（ 2）记事件 A 为“甲摸到白色球” ，则事件 A 包括以下三个互斥事件：A1“甲第 1 次摸球时摸出白色球” ；A2“甲第 2 次摸球时摸出白色球” ；A3“甲第 3 次摸球时摸出白色球” 依题意知，所以甲摸到白色球的概率为P （ A）请考生在第22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目计分，作
18、答时请写清题号. 选修4-4 ：坐标系与参数方程22已知直线l 的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2 5 sin（ 1）求圆 C 的直角坐标方程；（ 2）设圆 C 与直线 l 交于点 A 、 B ，若点 P 的坐标为 (3,5) ，求 | PA | PB | 【解析】解： （ 1）由 xcos， ysin， x2y22 ，圆 C 的极坐标方程为2 5 sin，即为，即为；（ 2）将 l 的参数方程代入圆的方程可得，13 / 15，即有，判别式为，设 t1 ， t2 为方程的两实根，即有 t1t232 ， t1t24 ，则 t1 ， t2
19、 均为正数，又直线 l 经过点 (3, 5) ，由 t 的几何意义可得， 选修 4-5 ：不等式选讲23已知（ 1）当 a1 时，求不等式f (x)1 的解集；（ 2）若 x(0,1) 时不等式f ( x)x 成立，求 a 的取值范围【解析】解： （ 1）当 a1时，由 f ( x)1，2 x1或21 ，剟x11x 1解得 x1，2故不等式 f ( x)1的解集为 (1 ，) ，2（ 2）当 x(0,1) 时不等式 f ( x)x 成立，即，即 | ax1|1 ，14 / 150 ax 2 ，x (0,1) ，a0，0x2，a2ax2，2x0 a, 2 ，故 a 的取值范围为 (0 ， 2 15 / 15