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1、龙胜中学 2018 年秋高三上学期第二次月考数学( 理) 试题一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合 A y | y2x , xR, B x | x21 0,则 A B =（）（ A） ( 1,1)（ B） (0,1)（ C） (1,)（ D） (0,)2设复数 z 满足 1z = i ，则 |z|=()1z（A） 1（ B） 2（ C）3（ D） 23已知等比数列an 满足 a1=3，a1 a3a5 =21 ，则 a3a5a7( )A21B 42C 63D 844若将函数 y2sin 2 x的图像向左平移个单位长度，
2、则平移后图象的对称轴为（）12（A） xk(k Z)（B） xk(k Z )2266（ C） xk(k Z )（ D） xk(k Z)2212125若二项式 ( 2xa ) 7 的展开式中1 的系数是 84，则实数 a（）xx3A.2B.54C. 1D.246六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙， 最右端不能排甲， 则不同的排法共有 （）A 192种B 288 种C 240 种D 216种7投篮测试中，每人投 3 次，至少投中2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6 ，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ()（A） 0.648（ B） 0.432（ C
3、） 0.36（ D） 0.3128执行下图的程序框图，如果输入的a4， b6 ，那么输出的 n（）- 1 - / 10（A） 3（ B） 4（ C） 5（ D） 69一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ()A 1B 1C 1D 18765：x2 y23a上一点，10设 1， 2 是椭圆22 1( 0) 的左、右焦点，P为直线x21 是底F FE a ba b2F PF角为 30的等腰三角形，则E 的离心率为 ()1234A. 2B. 3C. 4D. 511若函数 f(x)211 ,是增函数，则实数a 的取值范围是 () x ax 在x
4、2A 1， 0B 5，) C 0 ， 3D3 ，)12在平面内， 定点 A，B，C，D满足 DA = DB = DC ,DADB = DB DC = DCDA =-2 ，=1，=MC2动点 ， 满足APPM，则BM 的最大值是 ( )P M- 2 - / 10（ A） 49（ B） 43（ C） 37 6 3（ D） 37 2 334444二、填空题（本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知向量 a，b 的夹角为 45，且 | a| 1， |2 a b| 10，则 | b| _.14曲线 ye 5 x2 在点0,3 处的切线方程为.15函数 f xsin 4x在0， 的零点个数为
5、 _316过点 M(2 ， 2p) 作抛物线 x2 2py( p0) 的两条切线，切点分别为A， B，若线段 AB 的中点的纵坐标为 6，则抛物线方程为 _三、解答题（共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60 分。17（本小题满分12 分）设数列 an 的前 n 项和 Sn2an a1 ，且 a1, a21,a3 成等差数列 .（ 1）求数列 a 的通项公式；n（ 2）记数列 1 的前 n 项和 Tn ，求使得 |Tn 1|1成立的 n 的最小值 .an100018（本
6、小题满分12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4 个红球、 6 个白球的甲箱和装有5 个红球、 5 个白球的乙箱中，各随机摸出1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖 .（ 1）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；（ 2）若某顾客有3 次抽奖机会，记该顾客在3 次抽奖中获一等奖的次数为X ，求 X 的分布列和数学期望.19（本小题满分12 分）如图 1，在直角梯形CD 中，D/ C ，D，C1， D 2 ，2是 D 的中点，是C 与的交点将沿折起到1的位置，如图 2 - 3 - / 10（
7、 I ）证明：CD平面 1C ；（ II ）若平面1平面CD ，求二面角 B A1CD 的余弦值20（本小题满分12 分）已知椭圆 C： x2y21 （ ab 0 ）的离心率为3 ， A(a,0) ， B(0,b) ，O(0,0) ，a2b22OAB的面积为1.（ 1）求椭圆 C的方程；（ 2）设 P 是 椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB与 x 轴交于点 N.求证：ANBM 为定值 .21（本小题满分12 分）已知函数 f ( x) x ln( x a) 的最小值为0，其中 a 0.(1) 求 a 的值；(2) 若对任意的 x 0 ， ) ，有 f ( x) kx
8、2 成立，求实数 k 的最小值。（二）选考题：共10 分，请考生在第22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22 选修 4 4：坐标系与参数方程 （本小题满分10 分）在直角坐标系xOy中，l是过定点(4,2) 且倾斜角为 的直线，在极坐标系( 以坐标原P点 O为极点，以 x 轴正半轴为极轴， 取相同单位长度) 中，曲线 C的极坐标方程为 4cos .(1) 写出直线 l 的参数方程，并将曲线 C的方程化为直角坐标方程；(2) 若曲线 C与直线 l 相交于不同的两点 M、 N，求 | PM| | PN| 的取值范围23 选修 4 5：不等式选讲 （本小题满分10 分）设函
9、数 f ( x) |2 x 1| | x 4|.(1) 解不等式： f ( x)0 ；(2) 若 f ( x) 3| x4| |a 1| 对一切实数 x 均成立，求 a 的取值范围龙胜中学2018 年秋高三上学期第二次月考数学( 理 ) 试题参考答案、- 4 - / 10、 11 、 D 12 、12. 甴已知易得ADCADBBDC120 , DADBDC2. 以 D 为原点，直线 DA 为 x 轴建立平面直角坐标系，则 A 2 , 0, B1,3, C1,3. 设 P x , y,由已知 AP1 ，得 x2y21 ，又2PM MC , Mx 1 , y23 , BMx 1 , y 3 3 ,
10、222x123322yx22y 21 上点x , y 与点 1 , 33BM4，它表示圆1212249 ，故选 BBM3231距离平方的，34max4413.3 214.5x+y-3=0 15.4 16.x2 2y 或 x2 4yxx116. 解析： 设点 A( x1，y1) ，B( x2，y2) ，依题意得， y p，切线 MA的方程是y y1 p ( x x1) ，x12x12x1x122即 y p x2p. 又点 M(2 ， 2p) 位于直线 MA上，于是有 2p p2 2p，即 x1 4x1 4p 0；2224x2的两根，则 x1 x24，x1x22同理有 x24x2 4p 0，因此
11、x1 ，x2 是方程 x4p 04p .x12 22x122 21 216 8 2xxx xp由线段 AB的中点的纵坐标是6 得， y1y2 12，即2p2p 12，2p12，解得 p 1 或 p 2.答案： x2 2y 或 x2 4y17. 【解析】（ 1）由已知 Sn2an a1 ，有 an SnSn12an2an 1( n1) ，即 an 2an 1 (n 1).从而 a22a1, a34a1 .又因为 a1, a21,a3 成等差数列，即 a1a3 2(a2 1) .所以 a1 4a12(2a1 1)，解得 a12.所以，数列 an 是首项为2，公比为 2 的等比数列 .故 an 2n
12、 .- 5 - / 1018. 试题解析：（1）记事件A1从甲箱中摸出的1 个球是红球， A2从乙箱中摸出的1个球是红球B1顾客抽奖1 次获一等奖 ， B2顾客抽奖1 次获二等奖， C顾客抽奖1 次能获奖，由题意，A1 与 A2 相互独立，A1 A2 与 A1 A2 互斥， B1 与 B2 互斥，且B1A1 A2 ，B2A1 A2 A1 A2 ， C B1B2 ， P( A1 )425121110， P( A2 )102， P( B1 ) P( A1 A2 ) P( A1 )P( A2 )2，555P(B2 )P( A1 A2 A1 A2 )P( A1 A2 )P( A1 A2 )P(A1)(
13、1P( A2 ) (1P( A1 ) P( A2 )2 (1 1 ) (1 2)1 1，故所求概率为52522117P(C )P(B1B2 )P(B1)P(B2 )；52101 ，（ 2）顾客抽奖3 次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1 次获一等奖的概率为5X B(3, 1 ) ， 5于是P( X 0)C30 (1 )0 (4 )364，P( X 1) C31 (1)1 ( 4) 248，551255512521 24112 ，P( X2)C3(5)(5 )12531 3401，故X 的分布列为P( X3)C3 (5) (5)125X0123- 6 - / 10P64481211251251
14、25125X 的数学期望为E( X ) 3 13.5 519. 试题解析：（I ）在图 1 中，因为C 1，D 2 ，是D 的中点，D，所以C2即在图 2中，1 ，C , OA1 OCO ,从而平面 AOC1又CD/，所以CD平面1.AOC(II) 由已知，平面 A1BE平面CD，又由（ I ）知，OA1 ，C所以AOC1为二面角 A1-BE-C 的平面角，所以A1OC.2如图，以 O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz ，因为 A1B=A1E=BC=ED=1 ， BC/ED所以 B( 2 ,0,0), E( -2 ,0,0), A 1(0,0,2 ),C(0,2 ,0),222222,0),
15、A1C(0,22) ， CD = BE = (-2,0,0) .得 BC( -, -2222设平面 A1BC 的法向量 n1= (x1, y1 , z1) ，平面 A1CD 的法向量 n2 = (x2 , y2 , z2 ) ，平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角为，n1BC0x1y10则，得y1z1，取 n1 = (1,1,1)，n1AC001- 7 - / 10n2CD0x20(0,1,1)，得，取 n2n2AC10y2z20从而 cos n1 , n2226 ，设二面角 BA1C D 的平面角为，由 n1 ,n2 的方向知33cos6B A1CD 的余弦值为6，所以二面角33c 3 ,
16、a 220. 试题解析：（1）由题意得1 ab1, 解得 a 2,b 1.2b2c2 ,a22所以椭圆 C 的方程为xy21.4（ 2）由（）知，A(2,0), B(0,1) ，设 P( x0 , y0 ) ，则 x024 y024 .y0当 x00时，直线 PA 的方程为 y( x2) .x02令 x0 ，得 yM2 y0. 从而 BM1 yM2 y0.12x0 2x0直线 PB 的方程为 yy01 x1.x0令 y0 ，得 xNx0. 从而 AN 2 xNx0.y0 121y0所以ANBM2x012 y0y0x0 21x024y024x0 y04x08y044x0 y04x08y084 .
17、x0 y0x02 y02x0 y0x02 y02当 x00时， y01， BM2, AN2,所以ANBM4.- 8 - / 10综上，ANBM 为定值 .21. 解： (1) f ( x) 的定义域为 ( a， ) 1x a 1( ) 1.fxx ax a由( ) 0，得x1 .fxaa当 x 变化时， f (x) ， f ( x) 的变化情况如下表：x( a, 1a)1 a(1 a，)f (x)0f ( x)极小值因此， f ( x) 在 x 1a 处取得最小值，故由题意 f (1 a) 1 a 0，所以 a 1.(2) 当 k0时，取 x1，有 f (1) 1 ln2 0，故 k0不合题意
18、当 k 0 时，令 g( x) f ( x) kx2，即 g( x) xln(x21) kx .( ) x -2kx x2 kx 2k.gxx1x 11212k令 g(x) 0，得 x 0， x 2k 1.11 2k在 (0 ， ) 上恒成立，因此g( x) 在 0 ， ) 上单当 k 2时，20，g(x) 0k 0，即 f ( x) kx2 在 0 ， ) 上恒调递减，从而对任意的x 0 ， ) ，总有 g( x) g(0)1成立，故 k 2符合题意11 2k1 2k1 2k当 0 k 2时， 2k 0, 对于 x 0， 2k， g(x) 0，故 g( x) 在 0， 2k内12k) g(0
19、)2100，k000单调递增， 因此当取 x2时，g( x 0，即 f ( x ) kx 不成立， 故 0 k 2不合题意综上， k 的最小值为12.22. 解： (1)直线 l的参数方程：x 4t cos( t 为参数 ) y 2t sin 4cos ， 24 cos ， ：x2y2 4 .Cx(2)直线 l 的参数方程：x 4 t cos( t 为参数 ) ，y 2 t sin代入 x2 y2 4x，得 t 2 4(sin cos ) t 4 0， cos2 160，t 1t 2 cos，t 1t 2 4，sin cos 0，又 0 ， 0，且 t 10， t 20.2- 9 - / 10
20、|PM| | PN| |t 1| | t 2| | t 1 t 2|4(sin cos ) 4 2sin， 4由 0， ，得 ， 3，2444220 ，当 x 4 时，不等式化为 12x x 40，解得 x0当 4 0 ， 解 得x 1 ， 即 不 等 式 组x2x1 4x2的解集是 x| 4x01当 x 时，不等式化为 2x 1 x 40，解得 x5， 2x1即不等式组2的解集是 x| x5 综上，原不等式的解集为 x| x0 1，或 x5 (2) f ( x) 3| x 4| |2 x 1| 2| x 4| |1 2x| |2 x8| |(1 2x) (2 x 8)| 9.由题意可知 | a1| 9，解得 8 a10，故所求 a 的取值范围是 a| 8 a10 - 10 - / 10