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1、极坐标与参数方程专练 ( 一 ) 2作业 ( 二十七 )1(20172江西5 市联考三 ) 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线 l 的极坐标方程为 sin( ) 32，曲线 C 的参数方程是x cos ，y 2sin 42( 是参数 ) (1) 求直线 l 的直角坐标方程及曲线 C的普通方程；(2) 求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值3222解析 (1)因为 sin( 4 )2 ，所以2 (2 sin 2 cos ) 3，即 sin cos 3 0，将 x cos ， y sin 代入，得直线 l的直角坐标方程是x y 3 0.x cos ，x c
2、os ，由得y 2 sin y 2sin 所以曲线 C的普通方程是 x2 (y 2) 2 1.(2) 由 (1) 得曲线 C 是以 (0 ， 2)为圆心， 1 为半径的圆，又圆心(0 ， 2) 到直线 l 的距离 d|0 23|22 2，所以直线 l 与曲线 C相交，故曲线C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 12 .22(20172郑州预测三 ) 以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标1系中取相同的长度单位已知直线l 的参数方程为x 2tcos ，(t 为参数， 0 0) 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为 cos(
3、4 ) 2 2.(1) 设 P 是曲线 C 上的一个动点，当 a2 时，求点 P 到直线 l 的距离的最小值；(2) 若曲线 C 上的所有点均在直线 l 的右下方，求 a 的取值范围解析(1) 由 cos( ) 22 ，得2( cos sin ) 22，化成直角坐标422方程，得2 (x y) 2 2，即直线 l 的方程为 x y4 0.依题意，设P(2cost ， 2sint)，则点 P到直线 l 的距离|2cost 2sint 4|22cos （ t 4 ） 4|d22 22 2cos(t4)3当 t 4 2k ，即 t 2k 4 ， k Z 时，dmin 22 2.故点 P 到直线 l
4、的距离的最小值为22 2.(2) 曲线 C 上的所有点均在直线 l 的右下方，对 ? t R，有 acost 2sint 40 恒成立，即 a2 4cos(t ) 4( 其中 tan 2) 恒成立， a a2 40， 0a2 3.故 a 的取值范围为(0 ， 23) x 2 tcos ，5(20172山西5 月联考 ) 在平面直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为y3 tsin (t为参数， 0 ， 3 ) ，以坐标原点O为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的圆心 C 的极坐标为 (2 ， 3 ) ，半径为2，直线 l 与圆 C 交于 M， N 两点(1) 求圆 C
5、的极坐标方程；(2) 当 变化时，求弦长 |MN| 的取值范围解析 (1) 由已知，得圆心C 的直角坐标为 (1 ， 3) ，半径为2，圆 C 的直角坐标方程为(x 1) 2 (y 3) 2 4，即 x2 y2 2x2 3y 0， x cos ， y sin ， 2 2cos 2 3 sin 0，故圆 C 的极坐标方程为 4cos( 3 ) (2) 由 (1) 知，圆 C 的直角坐标方程为 x2y2 2x 2 3y 0，将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，(2 tcos ) 2 (3 tsin ) 2 2(2 tcos ) 23( 3 tsin) 0，整理得， t 22tcos 3 0，
6、设 M， N 两点对应的参数分别为t 1， t2，则 t 1 t 2 2cos ， t 12 t 2 3，|MN| |t12122122t | （ t t） 4t2t 4cos 12，1 0 ，3 ， cos 2， 1 ， |MN| 13， 4 极坐标与参数方程专练 ( 二 ) 2作业 ( 二十八 )x1t ，1(20172长沙六校联考) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程是2(t 为参3y m 2 t数) ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 4cos( ) 6(1) 写出曲线 C2 的直角坐标方程；(2) 设点 P， Q分别在 C1，
7、 C2 上运动，若 |PQ| 的最小值为 1，求 m的值解析 (1) 4cos( 6 ) ，即 23cos 2sin ，所以 2 2 3 cos 2 sin ，将 cos x， sin y， 2x2 y2 代入得 C2 的直角坐标方程为x2 y2 23x 2y0.(2) 将 x2 y2 23x 2y 0 化为 (x 3) 2 (y 1) 24，所以 C2 是圆心为 (3， 1) ，半径为2 的圆，将 C 的参数方程化为普通方程为3x y m 0，1| 33 3 1m| 2|2 m|所以 |PQ| min 21，（2223） （ 1）由此解得 m 4 或 m 8.2x m 2 t ，2(2017
8、2福州质检 ) 已知直线 l 的参数方程为(t 为参数 ) ，以坐标原点为极2y 2 t点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆 C 的极坐标方程为2222 cos 3 sin 12，其左焦点F 在直线 l 上(1) 若直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求 |FA|2|FB| 的值；(2) 求椭圆 C 的内接矩形周长的最大值2222x2y2解析 (1) 将曲线 C的极坐标方程 cos 3sin 12化为直角坐标方程， 得12 4 1，则其左焦点 F( 22， 0) ，则 m 22.2xm 2 t ，x2y2将直线 l 的参数方程(t 为参数 ) 与曲线 C 的方程124 1联立，2y
9、 2 t化简可得由直线 lt 22t 2 0，的参数方程的几何意义，令|FA| |t1| ， |FB| |t2| ，则 |FA|2|FB|t1t 2| 2.(2) 由曲线C 的方程x2y212 4 1，可设曲线C 上的任意一点P 的坐标为(23cos ， 2sin )(0 0 ， 为参数 ) 以 O为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方 3程为 cos( 3)2.(1) 若曲线 C 与 l只有一个公共点，求a 的值；(2)A ， B 为曲线 C 上的两点，且 AOB3 ，求 OAB面积的最大值解析 (1) 由题意知，曲线C 是以 (a ， 0) 为圆心，以 a 为半径
10、的圆，直线 l 的直角坐标方程为x 3y 3 0.由直线 l 与圆 C 只有一个公共点，可得|a 3| a，2解得 a 1， a 3( 舍 ) 所以 a 1.|AB|(2) 曲线 C是以 (a ， 0) 为圆心，以 a 为半径的圆，且 AOB3 ，由正弦定理得 2a，sin3所以 |AB| 3a.2222又|AB| 3a|OA| |OB| 2|OA|2|OB|2cos3 |OA| 2|OB| ，1133223a所以 S OAB2|OA| 2|OB|sin3 23 3a32 4 ，所以 OAB面积的最大值为 3 3a2.44已知直线 l 的极坐标方程是 sin( 3 ) 0，以极点为平面直角坐标
11、系的原点，极轴x 2cos ，为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是 ( 为参数 ) y 2 2sin (1) 求直线 l 被曲线 C 截得的弦长；(2) 从极点作曲线 C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程解析(1) 直线l的直角坐标方程是y3x，曲线 C 的普通方程是x2 (y2) 2 4.易得圆心到直线l 的距离 d1，所以所求的弦长为222 1 23.(2) 从极点作曲线C的弦，各弦中点的轨迹的极坐标方程为 2sin .5(20172兰州实战模拟) 在平面直角坐标系中，已知点B(1 ， 1) ，曲线C 的参数方程为x 2cos ，( 为参数) ；以坐标原点为极点，x 轴
12、正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的y3sin极坐标为 (42， 4 ) ，直线 l 的极坐标方程为 cos( 4 ) a，且 l 过点 A；过点 B 与直线 l 平行的直线为l 1，l 1 与曲线 C相交于 M，N 两点(1) 求曲线 C 上的点到直线 l 距离的最小值；(2) 求 |MN| 的值解析(1) 因为A(4 2， 4 ) ，且 Al ，所以 42cos(4 4 ) a，即 a 42，所以直线 l 的极坐标方程为 cos( 4 ) 42，所以 cos cos sin sin 42，44即直线 l 的直角坐标方程为xy 8，设曲线 C 上的点到直线 l 的距离为 d，则|2cos 3s
13、in 8|7sin （ ） 8|( 其中 tan 23d223，所以曲线 C上的点到直线 l|78| 878214.的距离的最小值为222(2) 设 l1 的方程为 x y m 0，由于 l 1过点 B，所以 m 2，所以 l1 的方程为 x y2 0，2x 1 2 t ，x2y2故 l 1 的参数方程为2(t 为参数 ) ，曲线 C 的普通方程为4 31，y 1 2 t22222所以 3(1 2 t) 4(1 2 t) 12，即有 7t 2 2t 100，所以 t t27210， t 2 t 7 ，1212所以 |MN| |t t| 22t 840122（ t t ） 4t497 7 .12
14、12121(20172云南统一检测二) 在平面直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为x 2t ，(ty 4 t为参数 ) 以原点 O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin 2 2cos ，直线 l 交曲线 C于 A， B 两点(1) 写出直线 l 的极坐标方程和曲线 C的直角坐标方程；(2) 设点 P的直角坐标为 ( 2， 4) ，求点 P 到 A， B 两点的距离之积解析 (1) 由直线 l 的参数方程为x 2 t ，(t 为参数 ) ，得 l 的普通方程为 x y2 0，y 4 t直线 l 的极坐标方程为 cos sin 2 0.由曲线 C 的极坐
15、标方程为 sin 2 2cos ，得曲线 C 的直角坐标方程为y2 2x.(2) 直线 l ： x y 2 0 经过点 P( 2， 4) ，2x 2 2 T，直线 l 的参数方程为(T 为参数 ) 2Ty 422x 2 2 T，将直线 l 的参数方程代入 y2 2x，化简得 T2 102T 40 0. 设 A，B 两点y 4对应的参数为T1， T2， |PA| 2 |PB| |T 1T2| 40.2T22(20172湖北 4 月调研 ) 在以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C1 的极坐标方程为 2sin ，正方形 ABCD的顶点都在 C1 上，且依次按逆时针方向排列，
16、点 A的极坐标为 (2， 4 )(1) 求点 C的直角坐标；(2) 若点 P在曲线 C2： x2y2 4 上运动，求 |PB| 2 |PC| 2 的取值范围解析(1) 点 A(2， 4 ) 的直角坐标为 (1 ， 1) 由 A， C 关于 y 轴对称，则C( 1， 1) (2) 易知 B(0， 2) ， C( 1， 1) 曲线 C ： 2sin 的直角坐标方程为22x (y 1) 1.1设 P(x ， y) ， x 2cos ， y2sin ，则|PB| 2 |PC| 2 x2 (y 2) 2 (x 1) 2 (y 1) 2 2x 2 2y2 6y 2x 6 14 2(x 3y) 14 2(2
17、cos 6sin ) 14 4(cos 3sin ) 14 4 10cos( ) 所以 |PB| 2 |PC| 2 14 410， 14 410 x 2cos ，3(20172百校联盟二模) 已知椭圆 C 的参数方程为 ( 为参数 ) ，直线 l 的参y 3sin x m3t ，为参数)数方程为(ty t(1) 当 m 1 时，求 l 交 C 所得的弦长；(2) 若椭圆 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为1，求 m的值解析 (1)易知椭圆 C 的普通方程为x2y21，493sx 12 s，代入椭圆 C 的方程x2y2令 t ，则直线 l 的参数方程可化为1 1，整理得249y s223s
18、1080，两根分别为 s 18 3123031s 36，131 18 3 12 30s231，2430故弦长为 |s 1s2| .31(2) 直线 l 的普通方程为x 3y m0，椭圆上的动点Q(2cos ，3sin ) 到直线 l 的距离2cos 33sin m31sin （ ） m，其中 tan 2 3d |2| |，29当 31 m31时， d 的最小值为0，不符合题意；m 3131；当 m 31时， 1? m 22当 m1，2直线 l 与曲线 C 的位置关系是相离22(2) 设 M( cos ， sin ) ， ( 为 MC与 x 轴正半轴所成的角)22则 x y 2sin( ) 40
19、 2 ，xy 2，2 6(20172东北四市二模轴，建立极坐标系曲线) 已知在平面直角坐标系xOy 中，以 O 为极点，C1 的极坐标方程为 4cos ，直线 l ：x 轴的正半轴为极2 5x 1 5 t ，(t为参数 ) 5y 1 5 t(1) 求曲线 C1 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程；x2cos ， ，Q为曲线(2) 若曲线 C2 的参数方程为( 为参数 ) ，曲线 C1 上点 P 的极角为ysin 4C2 上的动点，求PQ的中点 M到直线 l距离的最大值2解析(1) 由 4cos ，得 4 cos ，22所以曲线C1 的直角坐标方程为x y 4x 0.25x15 t ，为参数 )，又直线 l ：(t5y1 5 t消去 t 得直线 l 的普通方程为x 2y 3 0.(2) 由题知 P(2 2 ， 4 ) ，其直角坐标为 (2 ， 2) ，Q(2cos ，sin ) ，M(1 cos ， 11sin2 ) ，所以点M到直线l 的距离d|1 cos 2 sin5 3| 105|sin( 4)|，10从而点M到直线l 距离的最大值为5.7(20172合肥质检二) 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为(1) 求出圆 C 的直角坐标方程； 4cos .(2) 已知圆 C 与 x 轴相交于 A