高考数学专题38 圆与方程.docx

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1、【高考地位】圆的方程是高考中的热点问题之一，解决这类问题主要以方程思想和数形结合的方法来处理，求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，还应注意恰当运用平面几何知识对其进行求 解，在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题形式考查，其试题难度属中档题.【方法点评】类型一求圆的方程使用情景：确定一个圆的方程解题模板：第一步根据已知条件恰当设出圆的方程的形式；第二步第三步结合题意列出方程求出圆的方程对应的参数； 得出结论.例 1 以( a ,1)为圆心，且与两条直线2 x -y +4 =0与2 x -y -6 =0同时相切的圆的标准方程为（ ）A( x -1)2 +( y -

2、1)2=5B( x +1)2 +( y +1)2=5C( x -1)2 +y 2 =5 D x 2 +( y -1)2=5【答案】A.2 2 2 22 2 2 22+y -4 x +6 y -8 =0 B x +y2 2 2 2【变式演练 1】已知圆心(2,-3)，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）ACx +y -4 x +6 y +8 =0 B x +y -4 x +6 y -8 =0x +y -4 x -6 y =0 D x +y -4 x +6 y =0【答案】D【解析】试题分析：如下图所示，由于直径所对的圆周角是直角，所以圆恰好过原点，故半径为22+(-3)=1

3、3，所以圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13，化简得x2 +y 2-4 x +6 y =0.学*科网考点：圆的方程.【变式演练 2】与圆x 2 +y 2 -4 x +6 y +3 =0同圆心，且过(1,-1)的圆的方程是（ ） 来源: 学科网 ZXXKAx2 2 2 2-4 x +6 y +8 =0Cx +y +4 x -6 y -8 =0 D x +y +4 x -6 y +8 =0【答案】B考点：1、圆的一般式方程；2、圆的标准方程的. 【变式演练 3】已知圆 C 与直线 x -y =0 及 x -y -4 =0都相切，圆心在直线 x +y =0 上，则圆 C 的方程为A (x+1)

4、2+(y-1)2=2C (x-1)2+(y-1)2=2 【答案】B.B (x-1)2+(y+1)2=2D (x+1)2+(y+1)2=2考点：圆的标准方程类型二与圆有关的最值问题使用情景：求与圆有关的最值问题解题模板：第一步把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义进行分析 ；第二步第三步运用数学结合及转化的数学思想进行求解； 得出结论.例 2 已知实数 x、y 满足方程 x2y24x10. 求：(1)yx的最大值和最小值；(2)y -x的最小值；(3）x 2 +y 2的最大值和最小值.【答案】（1）kmax= 3, kmin=- 3；（2）-2- 6；（3）( x2+y2)max=7 +4

5、3,( x2+y2)min=7 -4 3.2 2【点评】把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，yb其中以下几类转化极为常见，要注意熟记：(1)形如 m 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；xa(2)形如 taxby 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如 m(xa)2(yb)2 的最值问 题，可转化为两点间距离的平方的最值问题. 学*科网【变式演练 4】已知圆C1：( x -1)2 +( y +1)2 =1 ，圆 C ：( x -4) 2 +( y -5) 2 =92，点 M、N分别是圆C1、圆C2上的动点， P 为 x 轴上

6、的动点，则 | PN | -| PM |的最大值是（ ）A2 5 +4B9 C7 D2 5 +2【答案】B【解析】试题分析：圆 C ：(x-1)+(y+1)=11的圆心 E (1，-1)，半径为 1，圆C ：(x-4)2+(y-5)2=9 2的圆心F (4，5) ，半径是 3 要使 PN -PM 最大，需 PN 最大，且 PM 最小， PN 最大值为 PF +3, PM的最小值为 PE -1，故 PN -PM 最大值是 (PF +3 )-(PE-1)=PF-PE +4 ; F (4，5) 关于 x 轴的对称点 F (4，-5)，PF - PE = PF -PE EF =(4 -1) 2 +(

7、-5+1) 2 =5，故PF -PE +4的最大值为5 +4 =9，故选：B( )222 2 2t 1.考点：圆与圆的位置关系及其判定【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使PN -PM |最大，需PN最大，且PM最小，PN最 大 值 为PF +3, PM的 最 小 值 为PE -1， 故PN -PM最 大 值 是(PF +3 )-(PE-1)=PF-PE +4，再利用对称性，求出所求式子的最大值学*科网【变式演练 5】已知圆C : x - 3+(y-1)=1和两点A (-t,0),B(t,0)(t0)，若圆C上存在点 P，使得 APB =900，则 t 的最小值为（ ） 来源:Zxx

8、k.ComA4 B3 C2 D1【答案】D【解析】试 题 分 析 ： 由 APB =90 0 得 点 P 在 圆 x +y =t 上 ， 因 此 由 两 圆 有 交 点 得| t -1| OC t +1 | t -1| 2 t +1 1 t 3 考点：两圆位置关系，即 的最小值为 选 D.【变式演练 6】如果圆( x -a ) 2 +( y -a ) 2 =4上有且仅有两个点到原点的距离为 2，那么实数 a的取值范围为( )A.C.( -2 2,0)( -2 2,0) (0, 2 2)B.D.(0, 2 2)( -2 2, -1) (1,2 2)【答案】C类型三与圆有关的轨迹问题使用情景：与圆

9、有关的轨迹问题解题模板：第一步 等；结合题意恰当的选择求圆有关的轨迹问题的方法如直接法、定义法、几何法和代入法第二步得出结论.例 3点P(4, -2)与圆x 2 +y 2 =4上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ）A B ( x -2) 2 +( y +1)2 =1( x -2) 2 +( y +1)2 =4C D ( x +4)( x +2)2 +( y -2) 22 +( y -1)2=4=1【答案】A【变式演练 7 动点 P 与定点 A (-1，0)，B(1，0)的连线的斜率之积为 -1，则点 P 的轨迹方程是（ A x 2 +y 2 =1B x 2 +y 2 =1 (x0)C x 2 +

10、y 2 =1 (x1)）uuur uuurD y = 1 -x【答案】C2 来源:学&科& 网 Z&X&X&K考点：直接法求轨迹【变式演练 8】点P (4,-2)与圆x2 +y 2=4上任一点连结的线段的中点的轨迹方程（ ）A(x -2)2+(y +1)2=1B(x -2)2+(y +1)2=4C(x+4)2+(y-2)2=4D(x+2)2+(y-1)2=1【答案】A【解析】试题分析：设中点坐标为A(x,y )，那么圆上一点设为B (x,y)，满足x +4=2 x x=2x -4， ，根据 y -2=2 y y =2y +2条件x2+y2=4，代入后得到(2x-4)2+(2y+2)2=4，化简

11、为：(x-2)2+(y+1)2=1，故选 A.考点：相关点法求轨迹方程 【高考再现】1. 【2017 天津，文 12】设抛物线 y2=4 x 的焦点为 F，准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若 FAC =120，则圆的方程为 .【答案】( x +1)2+( y - 3)2=1学*科网【解析】试题分析：设圆心坐标为 C ( -1, m )，则 A(0, m )，焦点 F (1,0)，uuur uuurAC AF -1 1AC =( -1,0), AF =(1,-m) ， cos CAF = uuur uuur = =- ， m = 3 ，由于圆

12、 C 与 y 轴得AC AF 1 +m 2 2正半轴相切，则取m =3，所求圆得圆心为( -1, 3)，半径为 1，所求圆的方程为( x +1)2 +( y - 3) 2 =1.【考点】1.抛物线的方程；2.圆的方程.【名师点睛】本题设计比较巧妙，考 查了圆，抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本题只有一个难点，就是CAF =1200，会不会用向量的坐标表示cos CAF，根据图象，可设圆心为C (-1,m)，那么方程就是(x+1)2+(y-m)2=1，若能用向量的坐标表示角，即可求得m，问题也就迎刃而解了. 学*科网2.【2016 高考山东文数】已知圆 M： x2+ y2- 2a

13、y = 0( a 0) 截直线 x + y = 0 所得线段的长度是 2 2 ，则圆M 与圆 N：（x-1）2+ ( y - 1)2 = 1 的位置关系是（ ）（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离 【答案】B 来源:学,科, 网 Z,X,X,K【解析】考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较 好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.3.【2016 高考北京文数】圆( x +1)2 +

14、y 2 =2的圆心到直线 y =x +3的距离为（ ）A.1 B.2 C.2D.22【答案】C【解析】试题分析：圆心坐标为 ( -1,0)，由点到直线的距离公式可知d =| -1-0 +3 | 2= 2，故选 C.考点：直线与圆的位置关系【名师点睛】点( x , y ) 0 0到直线 y =kx +b(即 y -kx -b =0)的距离公式 d =| y -kx -b | 0 01 +k 2记忆容易，对于dkb知求，很方便.4. 2016 高考新课标文数已知直线l： x - 3 y +6 =0与圆x 2 +y 2 =12交于 A, B两点，过 A, B分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C ,

15、D 两点，则 | CD |= 【答案】4_.5. 【2016 高考浙江文数】已知 a R ，方程 a2 x 2 +( a +2) y 2+4 x +8 y +5a =0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_.【答案】 ( -2, -4)【解析】；5试 题 分 析 ： 由 题 意 a2=a +2 ， a =-1或2 ， a =-1时 方 程 为x2 +y 2+4 x +8 y -5 =0， 即( x +2)2+( y +4)2=25，圆心为 ( -2, -4)，半径为 5 ， a =2 时方程为4 x2+4 y2+4 x +8 y +10 =0，1 5 ( x + ) 2 +( y +1)2 =-2

16、4 考点：圆的标准方程.不表示圆学*科网【易错点睛】由方程a2 x 2 +( a +2) y 2+4 x +8 y +5a =0表示圆可得a的方程，解得a的值，一定要注意检验 a 的值是否符合题意，否则很容易出现错误6.【2016 高考天津文数】已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M (0, 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2 x -y =0的距离为4 55，则圆 C 的方程为_.2【答案】 ( x -2)2+y2=9.考点：直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的

17、方程组求解若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组求解(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程 7. 【2016 高考新课标 1 文数】设直线 y=x+2a 与圆 C：x2+y2-2ay-2=0 相交于 A,B 两点,若,则圆 C的面积为 【答案】 4p.考点：直线与圆学科网【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径 r、弦长 l、圆心到弦的距离d之间的关系： r2=d2+l 2在求圆的方程时常常用到. 学*科网【反馈练习】1【2018 重庆市第一中学模拟】若圆x 2 +y 2

18、+2 x -6 y +6 =0有且仅有三个点到直线 x +ay +1 =0的距离为 1，则实数 a 的值为（ ）A.1B.2 3 C. 2 D. 4 2【答案】B2 2 2 2【解析】圆的圆心为(-1,3)，半径 r =2，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心到直线的距离为 1，即-1+3a +1 1 +a 2=1 ，解得 a =24.2【2018 重 庆第一中学模拟】直线 mx -y +2 =0与圆x 2 +y 2 =9的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定【答案】A【解析】圆x2 +y 2=9的圆心为 (0,0)半径为 3，直线恒过点 A (0,2)，而0

19、2+22=4 0) 与直线 3 x -4 y +15 =0相切.（1）若直线l y =-2x +5 2与圆O交于 M , N两点，求MN；（2）设圆O与x轴的负半轴的交点为 A，过点 A作两条斜率分别为k , k12的直线交圆O于 B , C两点，且k , k =-3 1 2，试证明直线BC恒过一定点，并求出该定点的坐标.【解析】解：（1）由题意知， 圆心 O 到直线 3x -4 y +15 =0 的距离 d =O： x 2 +y 2 =9所以圆.159 +16=3 =r，又圆心 O 到直线 l : y =-2x +5 的距离 d =1MN =2 9 -d 2 =4所以.154 +1= 5，（2）易知A (-3，0),设B(x,y),C(x,y1 1 2 2)，则直线AB : y =k (x+3)1，,2 213. 【2018 吉林舒兰市第一高级中学模拟 2】已知圆心为 C 的圆经过 A (2,4)、B(3,5)两点，且圆心C 在直线 2 x -y -2 =0上（1）求圆心为 C 的圆的方程；（2）若直线 y =kx +3与圆总有公共点，求实数 k 的取值范 围【解析】（1）由于 AB 的中点为D5 9 ，k =1AB，则线段 AB的垂直平分线方程为 y =-x +7，