高考数学(文科)中档大题规范练(直线与圆)(含答案).docx

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1、2 222 2 222222222222222 222 2 222 22中档大题规范练直线与圆1已知圆 O:x y 4 和点 M(1,a)(1)若过点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切,求实数 a 的值,并求出切线方程 (2)若 a 2,过点 M 的圆的两条弦 AC,BD 互相垂直,求|AC|BD|的最大值 解 (1)由条件知点 M 在圆 O 上,所以 1a 4,则 a 3.当 a 3时,点 M 为(1, 3),k 3,k OM 切33,此时切线方程为 y 3即 x 3y40,3(x1) 3当 a 3时,点 M 为(1, 3),k 3,k OM 切33.此时切线方程为 y 333(x1)即

2、x 3y40.所以所求的切线方程为 x 3y40 或 x 3y40.(2)设 O 到直线 AC,BD 的距离分别为 d ,d (d ,d 0),1 2 1 2则 d d OM 3.1 2又有|AC|2 4d ,|BD |2 4d ,1 2所以|AC|BD|2 4d12 4d . 2则(|AC |BD|)4(4d 14d 2 4d 2 14d )2452 164(dd1 2)d d1 24(52 4d d )1 29因为 2d d d d 3,所以 d d , 1 2 1 2 1 2 4当且仅当 d d 1 26时取等号,所以54d d , 1 2 25所以(|AC|BD|) 4(52 )40.

3、22 22 222所以|AC|BD|2 10,即|AC|BD |的最大值为 2 10.2已知圆 C:(x1) y 8.(1) 设点 Q(x,y)是圆 C 上一点,求 xy 的取值范围;(2) 在直线 xy70 上找一点 P(m,n),使得过该点所作圆 C 的切线段最短解 (1)设 xyt,因为 Q(x,y)是圆上的任意一点,所以该直线与圆相交或相切,即|10t|2 2,解得5t3, 2即 xy 的取值范围是5,3(2)因为圆心 C 到直线 xy70 的距离|107|d 4 22 2r,2所以直线与圆相离,因为切线、圆心与切点的连线、切线上的点与圆心的连线,组成一直角三角形且半径为定值;所以只有

4、当过圆心向直线 xy70 作垂线,过其垂足作的切线段最 短,其垂足即为所求设过圆心作直线 xy70 的垂线为 xyc0.又因为该线过圆心(1,0),所以10c0,即 c1,而 xy70 与 xy10 的交点为(3,4),即点 P 坐标为(3,4)3已知点 P(0,5)及圆 C:x y 4x12y240.(1) 若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程;(2) 求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程解 (1)如图所示,|AB|4 3,将圆 C 方程化为标准方程为(x2)(y6) 16,圆 C 的圆心坐标为(2,6),半径 r4,设 D 是线段 AB 的中点,则

5、 CD AB,又|AD|2 3,|AC |4.2 22 212a a2a a在 ACD 中,可得|CD|2.设所求直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y5kx,即 kxy50.|2k65|由点 C 到直线 l 的距离公式: 2,k (1)3得 k .4故直线 l 的方程为 3x4y200.又直线 l 的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为 x0.所求直线 l 的方程为 x0 或 3x4y200.(2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x,y), 则 CDPD,即CD PD0,(x2,y6)(x,y5)0,化简得所求轨迹方程为 x y 2x11y300.4a 为何值时,(1)直线

6、 l :x2ay10 与直线 l :(3a1)xay10 平行?1 2(2)直线 l :2xay2 与直线 l :ax2y1 垂直?3 4解 (1)当 a0 时,两直线的斜率不存在,直线 l :x10,直线 l :x10,此时,l l .1 2 1 21 1当 a0 时,l :y x ,1 2a 2a3a1l :y x ,2 a a1直线 l 的斜率为 k ,1 1 2a3a1直线 l 的斜率为 k ,2 2 a 1 3a1 ,要使两直线平行,必须1 1 ,1解得 a .622 222a2222222221综合可得当 a0 或 a 时,两直线平行6(2)方法一 当 a0 时,直线 l 的斜率不

7、存在,31直线 l :x10,直线 l :y 0,此时,l l .3 4 2 3 42 2 a 1 2当 a0 时,直线 l :y x 与直线 l :y x ,直线 l 的斜率为 k ,直线 l3 a a 4 2 2 3 3 a 4 a的斜率为 k ,要使两直线垂直,必须 k k 1,4 2 3 42即 aa 1,不存在实数 a 使得方程成立综合可得当 a0 时,两直线垂直方法二 要使直线 l :2xay2 和直线 l :ax2y1 垂直,根据两直线垂直的充要条件,3 4必须 A A B B 0,即 2a2a0,解得 a0,所以,当 a0 时,两直线垂直1 2 1 25已知圆 C 的方程为 x

8、 y ax2ya 0,一定点为 A(1,2),且过定点 A(1,2)作圆的切线 有两条,求 a 的取值范围43a解 将圆 C 的方程配方有(x ) (y1) ,2 443a 0,4a圆心 C 的坐标为( ,1),半径 r243a22.当点 A 在圆外时,过点 A 可作圆的两条切线, |AC|r,即a(1 )(21)43a,化简得 aa90.2 3 2 3由得 a ,3 32 3 2 3a 的取值范围是 ar,此时不满足直 线与圆相交,故舍去,圆 C 的方程为(x2) (y1) 5.(3)解 点 B(0,2)关于直线 xy20 的对称点 B(4,2),则|PB| |PQ |PB| |PQ|BQ|

9、,又 B到圆上点 Q 的最短距离为|BC|r(6)(3) 5n1 2n21222n 22 3 3 53 5 52 5.1所以|PB|PQ|的最小值为 2 5,直线 BC 的方程为 y x,则直线 BC 与直线 xy20 的24 2交点 P 的坐标为( , )3 3中档大题规范练数列1已知公差大于零的等差数列a 的前 n 项和 S ,且满足:a a 64,a a 18.n n 2 4 1 5(1)若 1i21,a ,a ,a 是某等比数列的连续三项,求 i 的值1 i 21n(2)设 b ,是否存在一个最小的常数 m 使得 b b b 0,所以 a a ,所以 a 5,a 13.2 4 2 4a

10、1d5,所以 a3d13,所以 a 1,d4.所以 a 4n3.1 n由 1i21,a ,a ,a 是某等比数列的连续三项,1 i 21所以 a a a ,1 21 i即 181(4i3) ,解得 i3.n(n1)(2)由(1)知,S n1 42nn 2n,1 1 1 1所以 b ( ), (2n1)(2n1) 2n1 2n1所以 b b b1 2 n1 1 1 1 1 1 n (1 ) ,2n1 2n1 2n12 2.22 . . .n 12n 123n2n 1n nnnn 1*nn 1 1 1因为 ,2n1 2(2n1)1所以存在 m 使 b b b m 对于任意的正整数 n 均成立 2

11、1 2 n2设 S 为数列a 的前 n 项和,已知 a 0,2a a S S ,nNn n 1 n 1 1 n(1)求 a ,a ,并求数列a 的通项公式;1 2 n(2)求数列na 的前 n 项和n*解 (1)令 n1,得 2a a a1 1 1,即 a a 1 1.因为 a 0,所以 a 1.1 1令 n2,得 2a 1S 1a ,解得 a 2.2 2 2 2当 n2 时,由 2a 1S 2a 1S ,n n, n1 n1两式相减得 2a 2a a ,即 a 2a .n n1 n n n1于是数列a 是首项为 1,公比为 2 的等比数列 n因此,a 2 nn 1所以数列a 的通项公式为 a

12、 2 n nn 1(2)由(1)知,na n2nn 1记数列n2 的前 n 项和为 B ,于是nB 12232 nn2 .2B 1222 32 n2 . n,得B 122 2 n n2 2 1n2 .从而 B 1(n1)2 nn.即数列na 的前 n 项和为 1(n1)2 .n3设数列a 的前 n 项和为 S ,满足 2S a 2n n n n11,nN ,且 a 1,设数列b 满足1 nb a 2 .n n(1)求证数列b 为等比数列,并求出数列a 的通项公式;n n6n3(2)若数列 c ,T 是数列c 的前 n 项和,证明:T 3.n b n n nnn 1n1 nnnn 1nnn 1

13、nn nnn3n1 3 50 1 23 32n3 2n1123n32n10 1 2n3n 12n1n3nn322Snan12 1,(1)解 当 n2 时,由2S a 2 12a a a 2n n1 nna 3a 2 ,n1 n从而 b a 2 3(a 2 )3b ,n1 n1 n n故b 是以 3 为首项,3 为公比的等比数列, nb a 2 33 n n 3 ,a 3 2 (n2),n因为 a 1 也满足,于是 a 3 1 n2 .6n3 2n1(2)证明 c ,n b n 12n3 2n1则 T ,n 3 3 3 n 2 n 11 1 3 5T ,3 n 3 3 3 n 1 32 1 2

14、2 2,得 T 3 n 3 3 3 n 1 3113 2n11 3 1 3132n12 n 1 32(n1)2 ,3n1故 T 3 3.n 114已知单调递增数列a 的前 n 项和为 S ,满足 S (a n)n n n 2 n(1)求数列a 的通项公式;n12a 1n2222221a21 3 n 12222(n1)(n1)14n1 n12n 1,n为奇数,(2)设 c n132a 1,n为偶数, n1求数列c 的前 n 项和 T . n n1解 (1)n1 时,a (a 1),得 a 1,1 2 1 11 由 S (an 2 nn),1则当 n2 时,S (an1 22n1n1),1得 a

15、S S (a a 1),n n n1 2 n n1化简得(a 1) a 0,n n1a a 1 或 a a 1(n2),n n1 n n1又a 是单调递增数列,故 a a 1,n n n1所以a 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,故 a n. n n(2)c n ,n为奇数, 1n132a 1,n为偶数, n1当 n 为偶数时,T (c c c )(c c c ) n 1 3 n1 2 4 n(1 1 1 n )3(2 2 2 )2 1 4 1 n 1n2(14 )1 1 1 2 n 3 13 35 21 1 1 1 1 1 1 n n ( )2(4 1)2 1 3 3 5 2 2 n 2

16、n42 .2(n1)当 n 为奇数时,T (c c c )(c c c )n 1 3 n 2 4 n121 3 n 222n1 n1n22n2nn2n 1*31 a2nna a3 3 3 322n1 2n1 2n1 2n1*21 1 1 3(2 2 2 ) 1 4 1 (n1)1n121 1 1 1 1 1 1 ( )2(4 1)2 1 3 3 5 n 2 2n 2n92 .2(n2) n 2n92 (n为奇数),2(n2)所以 T n 2n42 (n为偶数).2(n1)2x3 15已知函数 f(x) ,数列a 满足 a 1,a f( ),nN .3x n 1 n1 an(1)求数列a 的通项

17、公式;n1 m2 014(2)令 b (n2),b 3,S b b b ,若 S 对一切 nNn a a 1 n 1 2 n n 2n1 n最小正整数 m.*恒成立,求解 (1)an1223af( ) a , a 3 3 n 3nan2a 是以 1 为首项, 为公差的等差数列 n 32 2 1a 1(n1) n .n 3 3 3(2)当 n2 时,b n1 12 1 2 1n1 n (n )(n )1 9 1 1 ( ),(2n1)(2n1) 2n1 2n199 1又 b 3 (1 ),1 2 39 1 1 1 1 1 9 1 9nS b b b (1 ) (1 ) , n 1 2 n 2 3 3 5 2m2 014S 对一切 nN 恒成立,n 29n*29n992n154n 75nn 7 4225n 74554n 7即m2 014 对一切 nN 恒成立, 2n1m2 014又 0,n(n1)S .n1 也为递增数列 580 10S S 4又 1012, 11.2512,9 9则第 9 年年初需更新生产线

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