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1、高考数学复习（44）直线与圆、圆与圆的位置关系1(2018扬州期末)已知直线 l：x 3y20 与圆 C：x2y24 交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为 _|0 302|解析：圆心 C(0,0)到直线 l 的距离 d 1，所以 AB2 412 3，故弦 AB 的长为132 3.答案：2 32已知圆 x2y22x2ya0 截直线 xy20 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值是_ 解析：圆的标准方程为(x1)2(y1)22a(a0，所以 a4.21111答案：44(2018无锡模拟)已知圆 C：(x2)2y24，线段 EF 在直线 l：yx1 上运动，点 P 为线段 EF 上任意一点，若圆
2、C 上存在两点 A，B，使得 PA PB 0，则线段 EF 长度的最大值是_ 解析：由 PA PB 0 得APB90，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切2线时，APB 才是最大的角，不妨设切线为 PM，PN，当APB90时，MPN90，sinMPC sinPC45223 2，所以 PC2 2.另当过点 P，C 的直线与直线 l：yx1 垂直时，PC ，以 C 为圆心，minCP 2 2为半径作圆交直线 l 于 E， F 两点，这时的线段长即为线段 EF 长度的最大值，所以 EF max2 223 2 2 2 14.答案： 145(2018镇江调研)若圆 O：x2y25 与圆
3、O ：(xm)2y220(mR)相交于 A，B 两点，且两圆在1点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是_解析：如图，因为圆O 与圆 O 在 A 处的切线互相垂直，则两切线分1圆的圆心，所以 O AOA. 又因为 OA 5，O A2 5，所以 OO 5.又1 1 11 1OO 对称，所以 AB 为 RtOAO 斜边上高的 2 倍由 OAO A OO AC，2 2所以 AB4.别 过 另 一A，B 关于得 AC2.答案：46已知圆 C ：(xa)2(y2)24 与圆 C ：(xb)2(y2)21 相外切，则 ab 的最大值为_1 2解析：由圆 C 与圆 C 相外切，可得1 22 2221
4、3，即(ab)29，ab 9根据基本不等式可知 ab 2 ， 2 43 9当且仅当 ab 时等号成立，故 ab 的最大值为 .2 49答案：47(2018苏北四市期末)已知 A，B 是圆 C ：x2y21 上的动点，AB 3，P 是圆 C ：(x3)2(y1 2 4)21 上的动点，则| PA PB |的取值范围为_解析：如图，因为 A，B 是圆 C ：x2y21 上的动点，AB 3，1所 以 线 段241 AB 的中点 H 在圆 O：x2y2 上，且| PA PB |2| PH |.因为点 P 是圆 C ：(x3)2(y4)21 上的43 3 7 13 动点，所以 5 | PH |5 ，即
5、| PH | ，所以 72| PH |13，从而| PA PB |的取值范围2 2 2 2为7,13答案：7,138已知直线 l：xay10(aR)是圆 C：x2y24x2y10 的对称轴过点 A(4，a)作圆 C 的一条切线，切点为 B，则 AB_.解析：由于直线 xay10 是圆 C：x2y24x2y10 的对称轴，所以圆心 C(2,1)在直线 x ay10 上，所以 2a10，所以 a1，所以 A(4，1)，所以 AC236440.又 r2，所以 AB240436.所以 AB6.答案：69已知圆 C 经过点 A(2，1)，和直线 xy1 相切，且圆心在直线 y2x 上(1) 求圆 C 的
6、方程；(2) 已知直线 l 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程解：(1)设圆心的坐标为 C(a，2a)，则 2 2a|a2a1| 2 .2化简，得 a22a10，解得 a1.所以 C(1，2)，半径 r|AC|2 22 2.所以圆 C 的方程为(x1)2(y2)22.(2)当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x0，此时直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2，满足条 件|k2| 3当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx，由题意得 1，解得 k ，1k23所以直线 l 的方程为 y x.4综上所述，直线 l 的方程为 x0 或 3x4y0.10(
7、2018苏北四市一模)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x2y24x0 及点 A(1,0)，B(1,2)(1) 若直线 lAB，与圆 C 相交于 M，N 两点，MNAB，求直线 l 的方程；(1) 在圆 C 上是否存在点 P，使得 PA2PB212？若存在，求点 P 的个数；若不存在，请说明理由MN2 23t222解：(1)圆 C 的标准方程为(x2)2y24， 所以圆心 C(2,0)，半径为 2.因为 lAB，A(1,0)，B(1,2)，20所以直线 l 的斜率为1 1，设直线 l 的方程为 xym0，|2m|则圆心 C 到直线 l 的距离为 d .2因为 MNAB 22222
8、 2， 而 CM d 22 ，所以 4222，解得 m0 或 m4，故直线 l 的方程为 xy0 或 xy40.(2)假设圆 C 上存在点 P，设 P(x，y)，则(x2)2y24， PA2PB2(x1)2(y0)2(x1)2(y2)212， 即 x2y22y30，即 x2(y1)24.因为|22|2222，所以圆(x2)2y24 与圆 x2(y1)24 相交，所以点 P 的个数为 2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2018南通调研)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C ：(x4)2(y8)21，圆 C ：(x6)21 2(y6)29.若圆心在 x 轴上的圆 C 同时平分圆 C 和圆
9、C 的圆周，则圆 C 的方程是_1 2解析：设圆 C 的半径为 r，圆心坐标为 C(a,0)因为圆 C 平分圆 C 的圆周，所以 r2CC21，同理可1 1得 r2CC29，所以 CC2CC28，即(a4)282(a6)2628，解得 a0，从而得 r2CC21422 1 2 182181，故圆 C 的方程为 x2y281.答案：x2y2812(2018苏锡常镇调研)在平面直角坐标系 xOy 中，过点 M(1,0)的直线 l 与圆 x2y25 交于 A，B 两点，其中点 A 在第一象限，且 BM 2 MA ，则直线 l 的方程为_ 解析：法一：易知直线 l 的斜率存在，设 l：yk(x1)由
10、BM 2 MA ，可设 BM2t，MAt，如3t图，过原点 O 作 OHl 于点 H，则 BH .设 OHd，在 OBH 中，2 d 22 r2t 15，在 OMH 中，d 2OM21，解得 d .2 221k1212k 1 所以 d2 ，解得 k1 或 k1，因为点 A 在第一象限， BM 2 MA ，由图知 k1，所以直 k21 2线 l 的方程为 yx1，即 xy10.法二：设 A(x ，y )，B(x ，y )，1 1 2 2 所以 MA (x 1，y )， BM (1x ，y )1 1 2 2 因为 BM 2 MA ，1x2 所以y22y1，1，x22x13， 即y22y1.又 x2
11、y2 2 25，所以(2x 3)24y21 15，x21y215，联立 1 24y215，解得 x 2，代入可得 y 1，1 1又点 A 在第一象限，故 A(2,1)，所以直线 l 的方程为 yx1，即 xy10.答案：xy103(2018淮阴中学测试)已知圆 C ：(x1)2y21 和圆 C ：(x4)2y24.1 2(1)过点 C 作圆 C 的切线，求该切线方程；1 2(2)过圆心 C 作倾斜角为 的直线 l 交圆 C 于 A，B 两点，且 A 为 C B 的中点，求 sin ；1 2 1(3)过点 P(m,1)引圆 C 的两条割线 l 和 l .直线 l 和 l 被圆 C 截得的弦的中点
12、分别为 M，N，试问过点2 1 2 1 2 2P，M，N，C 的圆是否过定点(异于点 C )？若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由2 2解：(1)显然切线的斜率存在，设切线方程为 yk(x1)，由题意得|5k| 2 21 2 212，解得 k ，所以所求直线方程为 y (x1)，即 2x 21y2 2 21 210.(2)设直线 l 的方程为 yk(x1)，则圆心 C 到直线 l 的距离 d 25k，1k21 1 1 11设 AB 的中点为 R，则 AR 4d2 AB C R 25d2，解得 d2 .2 3 3 8C R d 22在 C RC 中，sin .C C 5 201 2(3)依题意，过点 P，M，N，C 的圆即为以 PC 为直径的圆，2 2所以(x4)(xm)(y1)(y0)0，即 x2(m4)x4my2y0，整理成关于实数 m 的等式(4x)mx24xy2y0 恒成立，4x0，则x24xy2y0，所以x 4，y 1x4， 或y0(舍去)即存在定点(4,1)