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1、云南省昆明市2021届高三1月复习诊断测试数学(理)试题 (1)昆明市2021届高三复习诊断测试理科数学一、选择题：本题共1小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合1,0,1,2A =-，(1)(2)0B x x x =+-A.1,0,1,2-B. 1,0,1-C. 1,0-D. 0,1 2. 在复平面内，复数2-1i+对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：根据表中数据，下列说法正确的是 A. 利润率与人均销售额成正相关关系
2、B. 利润率与人均销售额成负相关关系 C. 利润率与人均销售额成正比例函数关系 D. 利润率与人均销售额成反比例函数关系4. 在平面直角坐标系xOy 中，角的终边与单位圆交点的横坐标为cos 2=（ ）A. 1-2 D. 125. 下面是()()n a b n *+N 当1n =，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式1()a b +1 1 2()a b +1 2 13()a b +1 3 3 1 4()a b +1 4 4 15()a b +1 5 10 5 16()a b +1 6 15 20 15 6 1借助上面的表示形式，判断与的值分别是（ ） A. 5，9 B. 5，10 C
3、. 6，10 D. 6，9 6. 将函数sin(2)3y x =+的图象向右平移6个单位长度，则所得图象的对称轴可以为（ ） A. 6x =-B. 4x =C. 3x =D. 2x = 7. 已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=的左，右焦点，B 为C 的短轴的一个端点直线1BF 与C 的另一个交点为A ，若2BAF ?为等腰三角形，则12AF AF =（ ）A.13 B. 12 C. 23D. 3 8. 在平面四边形ABCD 中，90D =?，120BAD =?，1AD =，2AC =，3AB =，则BC =（ ）9. 数学中有很多公式都是数学家欧拉（Leo
4、nhard Euler ）发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中.任意一个凸多面体的顶点数V 、棱数E 、面数F 之间，都满足关系式2V E F -+=，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为（ ）A. 10B. 12C. 15D. 2010. 现分配3名师范大学生参加教学实习，有4所学校可供选择，每名学生随机选择一所学校，则恰有2名学生选择同一所学校的概率为（ ） A.916 B. 38 C. 932 D. 31611. 设函数()23211(22)32xf x x x e x x =-+-的极值点的最大值为0x
5、 ，若0(,1)x n n +，则整数n 的值为（ ）A. -2B. -1C. 0D. 112. 已知三棱锥A BCD -中，底面BCD 为等边三角形，3AB AC AD =，BC =E 为CD 的中点，点F 为BE 的中点.若点M 、N 是空间中的两动点，且2MB NBMF NF=，2MN =，则A M A N ?=（ ）A. 3B. 4C. 6D. 8 二、填空题：本題共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量()1,3a =-，(1,)b t =，若(2)a b a -，则t =_. 14. 设0m ，:0p x m xq x 15. 已知点(1P 在双曲线2222:1(0,0)x
6、 y C a b a b -=的渐近线上，F 为C 的右焦点，O 为原点，若90FPO =?，则C 的方程为_.16. 如图，在矩形OABC 与扇形OCD 拼接而成的平面图形中，3OA =，5AB =，6COD =.点E 在CD 上，F 在AB 上，3EOF =，设AOF x =，则当平面区域O ECBF （阴影部份）的面积取到最大值时，cos x =_. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知数列n a 是等比数列，公比1q （2）设m Z ，若
7、n S m 18.“中国大能手”是央视推出的一档大型职业技能挑战赛类节目，旨在通过该节目，在全社会传播和弘扬“劳动光荣、技能宝贵、创造伟大”的时代风尚.某公司准备派出选手代表公司参加“中国大能手”职业技能挑战赛.经过层层选拔，最后集中在甲、乙两位选手在一项关键技能的区分上，选手完成该项挑战的时间越少越好.已知这两位选手在15次挑战训练中，完成该项关键技能挑战所用的时间t （单位：秒）及挑战失败（用“”表示）的情况如下表1：据上表中的数据，应用统计软件得下表2：（1）根据上述回归方程，预测甲、乙分别在下一次完成该项关键技能挑战所用的时间；（2）若该公司只有一个参赛名额，根据以上信息，判断哪位选手
8、代表公司参加职业技能挑战赛更合适？请说明你的理由.19. 过点(1,0)E -的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，F 是C 的焦点， （1）若线段AB 中点的横坐标为3，求AF BF +的值； （2）求AF BF ?的取值范围.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PD 平面ABCD ，2PD AD BD =，AB =E 是棱PC 上的一点.（1）若/PA 平面BDE ，证明：PE EC =；（2）在（1）的条件下，棱PB 上是否存在点M ，使直线DM 与平面BDE 所成角的大小为30?？若存在，求:PM MB 的值；若不存在，请说明理由.
9、 21. 已知函数()ln f x x ax =-，a R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在两个零点1x ，2x ，使12ln ln 0x x m +-，求m 的最大值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4；坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos ,sin ,x t y t =?=?（t 为参数）.以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()6=R .（1）求1C 的极坐标方
10、程；（2）若曲线2C 的极坐标方程为8cos 0+=，直线I 与1C 在第一象限的交点为A ，与2C 的交点为B （异于原点），求AB .昆明市2021届高三复习诊断测试 理科数学参考答案及评分标准一、选择题二、填空题13. 2 14. 12 （填01m 221412x y -= 16. 35 注：数学中有很多公式都是数学家欧拉（Leonhard Euler ）发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中.在立体几何中，由若干平面多边形所围成成的封闭的几何体叫做多面体，这些平面多边形称为多面体的面，这些多边形的边和顶点分别称为多面体的棱和顶点.如果多面体在它们每一面所决定的平面的同一侧，
11、则称此多面体为凸多面体；一个凸多面体的表面可连续地变形为一个球面，则称之为简单多面体.设一个简单多面体的顶点数为V （vertix ），棱数为E （edge ），面数为F （face ），则有著名的欧拉公式：2V E F -+=.在欧拉发现这一结果一百年后，德国几何学家冯施陶特（von Staudt ）给出了欧拉公式完整的证明.我们可以验证：三棱锥（4V =，6E =，4F =），长方体（8V =，12E =，6F =）等多面体都符合这一关系式.三、解答题 17. 解：（1）由22a =，37S =得121112,7,a q a a q a q =?+=?解得14a =，12q =或11a =
12、，2q =（舍）. 所以13114()()22n n n a -=?=. （2）由（1）可知：114(1)(1)128(1)811212nn n n a q S q-=-又因为37S =，所以当4n 时，()7,8n S .所以，n S m （1）当16x =时，?=-1.591699.2873.84y?+=甲（秒） ?=-1.7316100.2572.57y?+=乙（秒）（2）甲、乙两位选手完成关键技能挑战成功的次数都为10次，失败次数都为5次，所以，只需要比较他们完成关键技能挑战成功的情况即可，根据所给信息，结合（1）中预测结果，综合分析，选手乙代表公司参加技能挑战赛更合适，理由如下：因为
13、在相同次数的挑战练习中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，x x 甲乙,乙选手用时更短；由于22S S 从（1）的计算结果?yy （1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则126x x +=， 由抛物线的定义知11AF x =+，21BF x =+， 则1228AF BF x x +=+=.（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为1x my =-，由21,4,x my y x =-?=?得2440y my -+=. 即124y y m +=，124y y =. 由216160m ?=-，得21m .由抛物线的定义知11AF x
14、 =+，21BF x =+， 则221212(1)(1)4AF BF x x m y y m ?=+=. 因为21m ，所以4AF BF ?. 故AF BF ?的取值范围是(4,)+. 20. 解：（1）连接AC 交BD 于F ，连接EF ，则EF 是平面PAC 与平面BDE 的交线. 因为/PA 平面BDE ，PA ?平面PAC ，所以/PA EF .又因为F 是AC 中点，所以E 是PC 的中点. 所以PE EC =.（2）由已知条件可知222AD BD AB +=，所以AD BD ，以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z 轴建立空间直角坐标系. 则()0,0,0D ，(
15、)2,0,0A ，()0,2,0B ，()0,0,2P ，()2,2,0C -，()1,1,1E -，()1,1,1DE =-，()0,2,0DB =.假设在棱PB 上存在点M ，设(01)PM PB =， 得()0,2,22M -，()0,2,22DM =-. 记平面BDE 的法向量为1111(,)n x y z =，则110,0,n DE n DB ?=?=? 即11110,0,x y z y -+=?=?取11z =，则11x =，所以1(1,0,1)n =.要使直线DM 与平面BDE 所成角的大小为30?，则11sin 30DM n DM n ?=?12，解得10,12=.所以在棱PB
16、 上存在点M 使直线DM 与平面BDE 所成角的大小为30?. 此时:1:1PM MB =. 21. 解：（1）函数()f x 的定义域为(0+)，()1=f x a x-. 当0a 时，()0f x ，()f x 在(0,)+单调递增；当0a 时，令()0f x =，得10x a=， 当10,x a ? ?时，()0f x ；当1,x a ?+ ?时，()0f x 所以()f x 在10,a ? ?单调递增，在1,a ?+ ?单调递减. 综上所述，当0a 时，()f x 在(0,)+单调递增； 当0a 时，()f x 在10,a ? ?单调递增，在1,a ?+ ?单调递减. （2）因为11l
17、n 0x ax -=，22ln 0x ax -=，即11ln x ax =，22ln x ax =.两式相减得1212ln ln ()x x a x x -=-，即1212lnx x a x x =-.由已知12ln ln x x m +，得12()a x x m +.因为10x ，20x ，所以12m a x x +，即121212lnx x mx x x x -+. 不妨设120x x ()ln x m x x x x x -+. 令12x t x =，则(0,1)t ，所以(1)ln 1m t t t -ln 01m t t t -()ln (01)1m t g t t t t -=-2
18、(1)1()(1)t m t g t t t +-+=+. 令2()2(1)!h t t m t =+-+，(0)1h =，()h t 的图象开口向上，对称轴方程为1t m =-，方程22(1)10t m t +-+=的判别式()42m m ?=-. 当1m 时，()h t 在(0,1)单调递增，()(0)1h t h =，所以()0g t ,()g t 在()0,1单调递增，所以()(1)0g t g 当12m ()g t 在(0,1)单调递增，所以()(1)0g t g 时，()h t 在(0,1)单调递减，因为(0)1h =，(1)420h m =-当0(0,)t t 时，()0h t
19、，()0g t ；当0(,1)t t 时，()0h t 综上所述，m 的取值范围是(,2-，所以m 的最大值为2. 22. 解：（1）1C 的极坐标方程为222+8sin90-=.（2）因为A ，B 两点在直线l 上，可设1(,)6A ，2(,)6B . 把点A 的极坐标代入1C 的方程得：222118sin 906+-=，解得1=由己知A点在第一象限，所以1因为B 异于原点，所以把点B 的极坐标代入2C 的方程得：2+8cos06=，解得2.所以，12AB =-=23. 解：（1）原不等式等价2111x x +-，等价于1,230,x x ?-?或1-1,2310,x x ?或1,10,x x ?+?解得3x ?或. （2）由()2f x x x m 211m x x x x -+-.令()2211g x x x x x =-+-，则由题意知max ()m g x .又222122,21()2,1,22,1,x x xg x x x xx x?-?=-+-?-+?由图知max()1g x=.所以1m