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1、第 33 讲 包含与排除（容斥原理） 一、专题简析：集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有 10 个元素。两个集合中可以做加法运算，把两个集合 A、B 合并在一起，就组成了一个新的集合 C。计算集合 C 的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把 A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B 两集合的公共元素的个 数，减去加了两次的元素，即：C=ABAB。
2、在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、 很清楚，因而容易进行计算。二、精讲精练例 1五年级 96 名学生都订了报纸，有 64 人订了少年报，有 48 人订了小学生报。两种报纸都订的有多少人？1练 习 一1、一个班的 52 人都在做语文和数学作业。有 32 人做完了语文作业，有 35 人 做完了数学作业。语文、数学作业都做完的有多少人？2、五年级有 122 人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。其中语文得优的有 65 人，数学得优的有 87 人。语文、数学都得优的有多少人？例 2：某校教师至
3、少懂得英语和日语中的一种语言。已知有 35 人懂英语，34 人 懂日语，两种语言都懂的有 21 人。这个学校共有多少名教师？练 习 二1、某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。已知有 900 人爱好体育活动，有 850 人爱好文娱活动，其中 260 人两种活动都爱好。这个学校共有学生 多少人？22、某班在一次测验中有 26 人语文获优，有 30 人数学获优，其中语文、数学双优的有 12 人，另外还有 8 人语文、数学均未获优。这个班共有多少人？例 3：学校开展课外活动，共有 250 人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有 83 人，参加乒乓球组的有 86 人，这
4、两个小组都参加的有 25 人。问这 250 名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？练 习 三1、五年级有 250 人，其中参加象棋组的有 83 人，参加乒乓球组的有 86 人， 这两个小组都参加的有 25 人。两个小组都不参加的有多少人？2、五（1）班有 50 人，在一次测试中，语文 90 分以上的有 30 人，数学 90 分以上的 35 人，语文和数学都在 90 分以上的有 20 人。两科都在 90 分以下的有 多少人？3例 4实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有 20 人获奖，在获奖者中有 16 人不是四年级的，有 12 人不是五年级的。该校书法比赛 获奖的总人
5、数是多少人？练 习 四1、五一小学举行小学生田径运动会，其中 24 名运动员不是六年级的，28 名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共有 32 名，求五、六年级和中低年 级运动员各有多少名？2、少年乐团学生中有 170 人不是五年级的，有 135 人不是六年级的，已知五、六年级的共有 205 人，求少年乐团中五、六年级以外的学生共有多少人？例 5在 100 个外语教师中，懂英语的有 75 人，懂日语的有 45 人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师。问：只懂英语的老师有多少人？4练 习 五1、40 人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题。已知做对第一题的 有 30 人，做对第二题的
6、有 21 人。只做对第一题的有多少人？2 、五年级 122 名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优。已知语文 65 人得优，数学 78 人得优，求只有语文一门得优的人数。三、课后作业1、某班有 50 名学生，在一次测验中有 26 人满分，在第二次测验中有 21 人满分。如果两次测验都没得过满分的学生有 17 人，那么，两次测验都得满分的有 多少人？2、第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一题的有 15 人，做对第二题的有 10 人，两题都做对的有 7 人，两题都做错的有 2 人。第一小组共有多 少人？53、老师在统计考试成绩，数学得 90 分以上的有 25 人，语文得 90 分以上的有21 人，两科中至少有一科在 90 分以上的有 38 人。两科都在 90 分以上的有多 少人？4、六一儿童狼子野心同学们做小花，有 24 朵不是红色的，有 20 朵不是黄色的， 已知红花和黄花一共有 18 朵，其他颜色的花一共做了多少朵？5、全班 46 名同学，仅会打乒乓球的有 28 人，会打乒乓球又会打羽毛球的有10 人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有 6 人。仅会打羽毛球的有多少人？6