中考考点 全等三角形创新题型.docx

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1、A A E EC BF ， A E ， B F C ABD AB FH BAD连线中考：全等三角形创新题型在新课程理念的催生下，近年中考在题型设计上不断推陈出新。为能更好地 与中考接轨，本文就与中考全等三角形问题中有关的创新题展示如下，以期抛砖 引玉。一、条件探索题例 1如图 1，AB、CD 相交于点 O，AB=CD ，试添加一个 条件使得AODCOB，你添加的条件是AC（只需写一个）.解析：由对顶角相等，得AOD=COB，若加条件 AO=CO，DO图 1B则由 AB=CD，可得 ABAO= CDCO，即 BO=DO由“SAS”得AODCOB同理，也可以加条件 BO=DO如果连接 DB，那么可

2、加条件 AD=CB，先说明ADBCBD，得A=C,再得出AODCOB所以应填 AO=CO，或 BO=DO，或 AD=CB 等评注：解答条件开放型试题，需要执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立 的条件解决这类题时，要注意挖掘图形中的隐含条件，如对顶角、公共角、公 共边等这类题的答案往往不唯一，只要合理即可二、结论探索题例 2如图 2，在R t A B C与R t A B D中， A B C = B A D = 9 0，A D = B C ， A C ， B D相交于点G，过点 作D B交 的延长线于点 ，过点作 交 的延长线于点 相交于点 图中有若干对三角形是全等的，请你任选一图 2对说明全等的

3、理由（不添加任何辅助线）解析：由题意可得ABE和ABF都是直角三角形，它们与R t A B C和R t A B D互相都是全等三角形，下面说明ABC 因为BC= AD（已知）， A B C= B A D = 9 0（已知），AB= BA（公共边），所以ABC BAD （SAS）评注：解答结论开放型试题的关键是执因索果，但在解题思路和推导深入度 不同的情况下，所得答案往往不同，即答案具有不确定性三、综合探索题例 3如图 3，AC 交 BD 于点 O，请你从下面三项中选出两个作为条件，另一个为结论，写出一句正确的话，并说明正确的理由OA=OC，OB=OD，ABDC解析：由题意得，给出的三项中，任意

4、选两项作为条图 3件，另一项作为结论写出的句子都是正确的如“AC 交 BD 于点 O，若OA=OC， OB=OD，则ABDC”这是正确的又如“AC 交 BD 于点 O，若OA=OC， ABDC，则OB=OD”这也是正确的，理由如下因为 ABDC（已知），所以A=C（两直线平行，内错角相等） 又 OA=OC（已知），AOB=COD（对顶角相等），所以AOBCOD（ASA）所以 OB=OD（全等三角形的对应边相等）评注：条件和结论都开放的综合开放型试题，解题的方法是要充分利用所学 的数学知识，通过观察、分析、综合、判断、推理等活动来探索、完善并进行证 明四、条件组合题例 4如图 4，在ABC 和D

5、EF 中，D、E、C、F 在 同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选 3 个作为题 设，余下的 1 个作为结论，写一个真命题，并加以证明A DABDE，ACDF，ABCDEF，BEB E图 4C FCF已知：求证：BC CA AB DDEF0证明：分析：根据三角形全等的条件和三角形全等的特征，本题有以下两种组合方 式：组合一：条件：，组合二：条件：，结论：，特别要注意若 以或为条件组合，此时属于 SSA 的对应关系，则不能证明 ABCDEF，也得不到相关结论评注：这种题型是近几年来的中考题的新亮点，它通过“一题多变”与“一题 多解”来考察学生的发散思维能力五、猜想验证题例 5如图 5，已知

6、DABC 为等边三角形， D 、 E 、 F 分别在边 、 、 上，且 也是等边三角形A（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，E并证明你的猜想是正确的；F（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得B图 5D C到？写出变化过程分析：（1）猜想：AF=BD=CE，AE=BF=CD 由已知条件，只要证明：AFEBDFCED 即可（2）这些线段可以看成是经过平移、旋转而得到的，如 AE 与 BF 绕着 A 点顺时针旋转 60 ，再沿着 AB 方向平移使 A 点至 F 即可得 BF，其余类同评注：本题是一道具有挑战性的探索、猜想、验证、证明的试题，它与几何 中图形的全等、图形的变

7、换融合在一起，只要同学们认真观察、认真判断，问题 就不难得到解决六、拼图证明题例 6一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角 形纸片摆成如下右图形式，使点 B、F、C、D 在同一条直线上（1）求证 ABED；0（2）若 PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明图 6分析：（1）由已知的剪、拼图过程（将长方形沿对角线剪开），显然有 ABCDEF，故A=D；又ANP=DNC，因而不难得到APN=DCN=90 ，即 ABED（2）若在增加 PB=BC 这个条件，再认真观察图形，就不难得到PNACND、PEMFMB评注：本题的意图是让同学们在剪、拼图形的背景下

8、，积极参与图形的变化 过程，并在图形的变化过程中来探究图形之间的关系，用来考察学生的创新精神 与能力七、应用型例 7如图 7，将两根钢条 A A 、 B B 的中点 O 连在一起，使 A A 、 B B 可以绕着点 0 自由转动，就做成了一个测量工件，则A B 的长等于内槽宽 AB，那么判定AOB A O B 的理由是（ ）A. 边角边 (B)角边角 (C)边边边 (D)角角边评注：新的数学课程标准加强了数学知识的实践与综合应用，图 7从各地的中考应用题可以看出，它已不再局限于传统而古老的列方程（组）解应 用题这类题目，而是呈现了建模方式多元化的新特点，几何应用题就是其中之一。 本题利用全等三

9、角形来解决实际中的工件的测量问题，其理论依据是“边角边”， 故答案为 A。八、策略开放型00000指运用所学的知识，根据问题的条件去分析、推理、判断得到的途径、手段 可能是多种的，而这些不同的途径、手段就是不同的解题策略。例 8已知：如图 8，ABC、B C 均为锐角三角形，AB= A B ，BC=1 1 1 1 1B C ，C=C 。求证：ABCA B C 。（请你将下列证明过程补充完整。） 1 1 1 1 1 1证明：分别过点 B、B 作 BDCA 于 D，B D C A 于 D ，则1 1 1 1 1 1BDC=B D C =90 。1 1 1BC= B C ，C=C ，1 1 1BCD

10、B C D ，1 1 1B B1BD=B D ，1 1。CDA C1图 8D1A1解析：本题有多种 解 法。方法 一： CD= C D ，又AB= A B ，1 1 1 1ADB=A D B =90 ，ADBA D B ，AD= A D ，CA= C A ，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1又 AB= A B ，BC= B C ，ABCA B C （SSS）。1 1 1 1 1 1 1方法 二： CBD=C B D ，又AB= A B ，ADB=A D B =90 ，1 1 1 1 1 1 1 1ADBA D B ，1 1 1ABD=A B D ，CBA=C B A ，又 AB= A B

11、，BC= B C ，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1ABCA B C （SAS）。1 1 1方法 三： CBD=C B D ，又AB= A B ，ADB=A D B =90 ，1 1 1 1 1 1 1 1ADBA D B ，1 1 1ABD=A B D ，CBA=C B A ，又BC= B C ，C=C ，1 1 1 1 1 1 1 1 1ABCA B C （ASA）。1 1 1方法 四： 又AB= A B ，ADB=A D B =90 ，ADBA D B ，1 1 1 1 1 1 1 1A=A ，又C=C ，BC= B C ，1 1 1 1ABCA B C （AAS）。1 1 1九、

12、操作应用题例 9图 9 为人民公园中的荷花池,现要测量此荷花图 9池两旁 A、B 两棵树间的距离(我们不能直接量得).请你根据所学知识,以卷尺和测 角仪为测量工具设计一种测量方案.要求:(1)画出你设计的测量平面图；(2)简述测量方法，并写出测量的数据(长度用a , b , c ,表示；角度用a ,b,g,表示)；(3)根据你测量的数据,计算 A、B 两棵树间的距离.分析：此题的测量方法很多，这里用全等知识来解决，方案如图 10，步骤 为：（1）在地上找可以直接到达的一点 O，（2）在 OA 的延长线上取一点 C，使 OC=OA；在ABBO 的延长线O上取一点 D，使 OD=OB；（3）测得

13、DC=a，则 AB=aDC评注：本题是一道全开放式的设计方案题，它的解题图 10策略非常多，可以利用三角函数、三角形中位线定理、全等三角形、三角形相似 等许多知识，本题来源于课本、来源于生活，可以激发学生“学有用的数学”，更 激发学生的学习热情和创新热情以及求知欲望附：三角形重要考点例析考点 1：考查三角形的概念例 1现有 2cm、4cm、8cm 长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形， 那么可以组成三角形的个数为（ ）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个分析：要判断所给的哪三根小木棒可首尾相接后摆成三角形，则需要看较短 的两个木棒的长度的和是否大于第三个木棒的长，如果大于，则可

14、以构成三角形， 否则，不能构成三角形解：根据两较短木棒的长度和大于第三个木棒的长度，共有 4，4，2；8，8，4；8，8，2 三种情况，故选 C【评注】和三角形三边关系的试题,主要涉及根据三角形的三边关系确定所给 的线段能够构成三角形,解决问题应注意三角形三边关系的灵活运用考点 2：考查三角形三边关系例 2已知三角形的两边长分别为 4cm 和 9cm，则下列长度的四条线段中能 作为第三边的是（ ）A13cm B6cm C5cm D4cm分析：本题考察了三角形的三边关系及不等式的相关知识三角形的任意两 边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边解：第三边的长度 x 满足 94 x 9+4，即 5

15、x 13，故选 B评注：在实际判断时，不需要去将三角形的任意两边都相加，然后判断其 和是否大于第三边只需选取较小的两边相加，判断其和是否大于最大边即可考点 3：三角形内角和例 3如图 3，ABCD ， ACBC，BAC =65，则BCD=度.分析：由三角形内角和可以知道ABC=25，再根据平行线性质，我们可以知道BCD=ABC. 解：根据以上分析该填：25.点评本题考查了平行线性质和三角形内角和性质的掌握.O考点 4：全等三角形计算题BA例 4如图 4，O A= O B，O C= O D， O= 5 0，DEC D = 3 5，则 A E C等于（ ）图 4A B CA6 0B5 0C4 5D

16、3 0解：根据O A= O B，O C= O D， O= O可证O D A O C B，所以 C = D = 3 5，又因为 E A C= O + D = 85 ，所以 A E C =180 -85 -35 =60 ，故选A点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质全等三角形具有对应边、对 应角相等的性质考点 5：全等三角形说理题例 5如图 5，在ABC 中，D 是 BC 的中点，DEAB，DFAC，垂足分 别是 E、F，BE=CF.（1） 图中有几对全等的三角形？请一一列出；（2） 选择一对你认为全等的三角形进行证明解：（1）3 对分别是：ABDACD；ADEADF；BDECDF（2）BDEC

17、DF证明：因为 DEAB，DFAC，所以BED=CFD=90，图 5又因为 D 是 BC 的中点，所以 BD=CD，在 RtBDE 和 RtCDF中，BD = CDBE = CF，所以BDECDF点评：本题考察三角形的全等知识。第（1）小题是根据对图形的直观判断 和一定的推理可得结果，要求考虑问题要全面第（2）个问题具有一定的开放 性，选择证明不同的结论，判定方法会有不同，这里根据 HL 可判断两个直角三 角形全等考点 6：全等三角形实际问题例 6如图 6，一块三角形模具的阴影部分已破损（1）只要从残留的模具片中度量出哪些边、角，就可以不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具 的形状和大小完

18、全相同的模具ABC？请简要说明理由B C分析：只要根据三角形全等的条件来判定即可（1）只要度量残留的三角形模具片的 B ， C的度数和边 的长，因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（2）按尺规作图的要求，正确作出 ABC的图形点评：本题是同学们生活中经常遇到的问题，重点考查同学们运用三角形全 等的知识解决生活中遇到的问题的能力考点 7：作图题例 7已知一个三角形的两条边长分别是 1cm 和 2cm，一个内角为 4 0 （1）请你借助图 7 画出一个满足题设条件的三角形；（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图 3 的右边用“尺规作图”作出所

19、有这样的三角图 7形；若不能，请说明理由（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是 3cm 和 4cm，一个内角为4 0”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有个友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要 求写作法，但要保留作图痕迹分析：已知条件是两边与一角，应该有两种情况，一种是两边和其中一边的对角，另一种情况是两边及其 夹角，然后用尺规作图即可.2cm40402cm解：（1）作图如图 8；（2） 如图 9；（3） 这一条件，且彼此不全等的三角形共有 满足 4 个1cm图 81cm图 9点评：本题考查全等三角形和尺规作图，通过作图，进一步探究为什么“

20、SSA” 不能证三角形全等.考点 8：全等三角形综合应用例 8两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 10（1）所示放置，图 10D C与，（2）是由它抽象出的几何图形，B ， C ， E在同一条直线上，连结 （1） 请找出图 10（2）中的全等三角形，并给予证明 （说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2） 试问：DC 与 BE 位置关系如何？说明你的理由 分析：第（1）问主要是考查三角形全等的方法，判断三角形全等的方法有 SSS、SAS、AAS、ASA， 只要对照找条件即可；第（2）问只要证明 B C D = A C B + A C D = 9 0即可.（1）解：图 10（2）中 A B E A C D.证明如下： A B C A E D均为等腰直角三角形，A B = A CA E= A D， B A C = E A D = 9 0 B A C+ C A E = E A D + C A E，即 B A E= C A D， A B E A C D.（2）D C B E.理由：由（1） A B E A C D知 A C D= A B E = 4 5，又 A C B= 4 5， B C D = A C B + A C D = 9 0，D C B E.点评：本题主要是考查三角形全等的判定以及判定的方法，证明垂直问题的 思路等，考查了学生的综合能力.