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1、2 4 3 2专题 01整式的乘除阅读与思考指数运算律是整式乘除的基础，有以下 5 个公式： am an =a m +n，( a m ) n =a mn，( ab ) n =a n b n，aman=am -n( a 0) ， a0=1(a 0) ， a-p=1a p( a 0)学习指数运算律应注意：1 运算律成立的条件；2 运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式；3 运算律的正向运用、逆向运用、综合运用多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是： 1将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；2 确定商式
2、，竖式演算式，同类项上下对齐；3 演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止例题与求解【例 1】（1）若n为不等式 n2006300的解，则 n 的最小正整数的值为 （2）已知 x +x =1 ，那么 x +2 x -x -2 x +2005 =（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题） （“华杯赛”试题）（3）把 ( x2 -x +1)6展开后得a x1212+a x1111+L +a x 22+a x +a 1 0，则a +a +a +a +a +a +a = 12 10 8 6 4 2 0 （“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）若 x 5 -3 x 4 +7 x3 -6 x 2 +2 x +9 =(
3、x -a )( x -b )( x -c )( x -d )( x -e)则ab +ac +ad +ae +bc +bd +be +cd +ce +de = （创新杯训练试题）解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求 x 值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在 x 允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值2000x y法；对于（4），可考虑比较系数法【例 2】已知25= ， 80 =2000，则1 1+x y等于（ ）A2 B1 C12D32（“希望杯”邀请赛试题）解题思路： x, y 为指数，我们无法求出 x, y 的值，而1
4、1 x +y + =x y xy，所以只需求出x +y , xy的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律【例 3】设a, b, c, d都是正整数，并且 a5 =b 4 , c 3 =d 2, c -a =19，求d -b的值（江苏省竞赛试题）解题思路：设 a 5 =b 4 =m 20 , c 3 =d 2 =n 6，这样a, b可用m的式子表示，c, d可用n的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度【例 4】已知多项式 2 x 2 +3 xy -2 y 2 -x +8 y -6 =( x +2 y +m )(2 x -y +n )，求m 3 +1n 2 -1的值解题思路：等号左右两边的式子
5、是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法-3 x +ax +7 x +b 能被 x【例 5】是否存在常数p , q使得 x 4 +px 2 +q能被x 2 +2 x +5整除？如果存在，求出p , q的值，否则请说明理由解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式商式”，运用待定系数法求出p , q的值，所谓p , q是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解【例 6】已知多项式 2 x4 3 2 2+x -2整除，求ab的值 （北京市竞赛试题）解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用本题关键是能够通过分析得出当x =-2和x =
6、1时，原多项式的值均为 0，从而求出a, b的值当然本题也有其他解法能力训练A 级1（1） 424 ( -0.25) 23-1 = （福州市中考试题）（2）若 a2 n=3 ，则 2 a6 n-1 = （广东省竞赛试题）2若2 x +5 y -3 =0 ，则 4xg32y3满足 ( x -1)200 3300的x的最小正整数为 （武汉市选拔赛试题）4a, b, c, d都是正数，且 a2=2, b3=3, c4=4, d5=5 ，则 a, b, c, d中，最大的一个是 （“英才杯”竞赛试题）1 2 3 47305探索规律：3 =3 ，个位数是 3； 3 =9 ，个位数是 9； 3 =27 ，
7、个位数是 7； 3 =81，个位数是 1；35=243，个位数是 3；36=729，个位数是 9；那么 3 的个位数字是 ， 3 的个位数字是 （长沙市中考试题）6已知 a =8131 , b =27 41 , c =9 61，则a, b, c的大小关系是（ ）Aa b cBa c bCa b c a7已知 a =2 55 , b =344 , c =533 , d =622，那么a, b, c, d从小到大的顺序是（ ）Aa b c dBa b d cCb a c dDa d b c（北京市“迎春杯”竞赛试题）8若 x =2n +1+2n, y =2n -1+2n -2，其中 n 为整数，则
8、 x 与 y 的数量关系为（ ）Ax =4 yBy =4 xCx =12 yDy =12 x（江苏省竞赛试题）9已知 2 a =3,2b =6, 2 c =12,则a, b, c的关系是（ ）A2b a +cDa +b c（河北省竞赛试题）2 n +4 -2(2 n )10化简 得（ ）2(2 n +3 )A 2n +1-18B-2n+1C78D7411已知 ax +by =7, ax2+by2=49, ax3+by3=133, ax4+by4=406，试求 1995( x +y ) +6 xy -172( a +b )的值= 8b c71998312已知 6 x2 -7 xy -3 y 2+
9、14 x +y +a =(2 x -3 y +b )(3 x +y +c )试确定a, b, c的值13已知 x3 +kx 2+3 除以 x +3 ，其余数较被 x +1除所得的余数少 2，求 k 的值（香港中学竞赛试题）1已知 2 a =3,4 =5,8 7, 则B 级a +c-2b = 2（1）计算： 32000 +152000 72000 +352000= （第 16 届“希望杯”邀请竞赛试题）（2）如果45 +4 5 +4 5 +4 5 6 5 +6 5 +6 5 +6 5 +6 5 +6 535 +35 +35 2 5 +2 5=2n ，那么n =（青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）1
10、6 13 16 132 2 3 3 4 4 5 53（1）15 与 33 的大小关系是 15 33（填“”“”“”）32000 +1 32001 +1 32000 +1 32001 +1 （2） 与 的大小关系是：32001 +1 32002 +1 32001 +1 32002 +1（填“”“”“”）4如果 x 2 +x -1 =0,则x3 +2 x 2 +3= （“希望杯”邀请赛试题）5已知 ( x +2)5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex + f，则16b +4 d + f =（“五羊杯”竞赛试题）6已知a, b, c均为不等于 1 的正数，且 a-2=b3=c6,则abc的值为（
11、）A3 B2 C1D12（“CASIO 杯”武汉市竞赛试题）7若 x3 +x 2+x +1 =0 ，则 x-27+x-26+L +x-1+1 +x +x2+L +x26+x27的值是（ ）A1B0 C1D28如果 x3+ax2+bx +8有两个因式 x +1和 x +2 ，则 a +b =（ ）A7 B8 C15 D21（奥赛培训试题）9已知 a , a , a , L a1 2 3 1996, a1997均为正数，又M =( a +a +L +a 1 2 1996) g( a +a +L +a 2 3 1997)，N =( a +a +L +a 1 2 1997) g(a +a +L +a
12、2 3 1996)，则M与N的大小关系是（ ）AM =NBM ND关系不确定10满足 ( n 2 -n -1)n +2=1的整数n有（ ）个A1B2C3 D411设a, b, x, y满足 ax +by =3, ax +by =7, ax +by =16, ax +by =42, 求 ax +by的值+ax +bx +c 能够被 x12若x, y, z , w 为整数，且 x y z w， 2x +2 y +2 z +2 w=2058，求( x +y +z +w -1)2010的值（美国犹他州竞赛试题）13已知a, b, c为有理数，且多项式 x3 2 2+3 x -4整除（1）求4a +c的值；（2）求2a -2b -c的值；（3）若a, b, c为整数，且ca 1 试比较 a, b, c的大小（四川省竞赛试题）