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1、00 0初中数学培优：二元一次方程的整数解【知识精读】1、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程 ax+by=c 中，若 a,b 的最大公约数能整除 c,则方程有整数解。即如果（a,b）|c 则方程 ax+by=c 有整数解显然 a,b 互质时一定有整数解。例如方程 3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6 都有整数解。返过来也成立，方程 9x+3y=10 和 4x-2y=1 都没有整数解，（9，3）3，而 3 不能整除 10；（4，2）2，而 2 不能整除 1。一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的 a,b 实为它们的绝对值。2、二元一次方程整数解的求法：若方程 ax
2、+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数 k 来表示它的通解（即所有 的解）。k 叫做参变数。方法一，整除法：求方程 5x+11y=1 的整数解解：x=1 -11 y 1 -y -10 y 1 -y= = -2 y 5 5 5(1) ,设1 -y5=k ( k是整数），则 y=1-5k (2) ,把（2）代入（1）得 x=k-2(1-5k)=11k-2原方程所有的整数解是 方法二，公式法：x =11k -2 y =1 -5k（k 是整数）设 ax+by=c 有整数解 x =x0y =y0x =x +bk则通解是 （x ,y 可用观察法） y =y -ak01， 求二元一次方程的正整数
3、解： 出整数解的通解，再解 x,y 的不等式组，确定 k 值 用观察法直接写出。【分类解析】例 1 求方程 5x9y=18 整数解的能通解 解 x=18 +9 y 15 +10 y +3 -y 3 -y = =3 +2 y +5 5 5设3 -y5=k（k 为整数），y=35k, 代入得 x=99k原方程整数解是 x =9 -9 k y =3 -5k（k 为整数）又解：当 x=o 时，y=2，方程有一个整数解 x =0y =-2 它的通解是 x =0 -9 y y =-2-5k（k 为整数）从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。 例 2，求方程 5x+6y=100 的正整数解解：x=10
4、0 -6 y y =20 -y -5 5(1)，设y5=k(k 为整数)，则 y=5k,(2)把（2）代入（1）得 x=20-6k， x 0y 020 -6 k 0 解不等式组 5k 0得 0k0 解不等式组 7 -3k 0得解集是1 7- k 5 3整数 k=0，1，2把 k=0,1,2 代入通解，得原方程所有的正整数解 x =1y =7x =6 x =11 y =4 y =1答：甲、乙两种书分别买 1 和 7 本或 6 和 4 本或 11 和 1 本。【实战模拟】，1， 求下列方程的整数解1 公式法：x+7y=4, 5x-11y=32 整除法：3x+10y=1, 11x+3y=42 , 求
5、方程的正整数解：5x+7y=87, 5x+3y=1103 ，一根长 10000 毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长 300 毫米，乙种毛 坯长 250 毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？2 ， 兄弟三人，老大 20 岁，老二年龄的 2 倍与老三年龄的 5 倍的和是 97，求兄弟三人的岁 数。3 ， 下列方程中没有整数解的是哪几个？答：（填编号） 4x2y=11, 10x-5y=70, 9x+3y=111,18x-9y=98, 91x-13y=169, 120x+121y=324.6,一张试巻有 20 道选择题，选对每题得 5 分，选错每题反扣 2 分，不答得 0 分，小这军同
6、学得 48 分，他最多得几分？7 用观察法写出方程 3x+7y=1 几组整数解：y=1 4 2x=1 -7 y3=练习答案1. 公式法由特解 x =4y =0得通解 x =4 +7 k y =0 -k（k 为整数）由特解x =5y =2x =5 -11k得通解 （为 k 整数） y =2 -5k整除法x=1 -10 y 1 -y = -3y,通解是 3 3x =10k -3 y =1 -3k（k 为整数） x =3k -1通解是 （k 为整数） y =5 -11kx =2 x =9 x =16 x =22 +3k 2. y =11 y =6 y =1 y =0 -5k223k0甲5 甲10 甲15 甲20 甲25 甲193. 有 6 种截法 乙34 乙28 乙22 乙16 乙10 乙54. 16，13 5. A，D. 6. 12 7.（略）