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1、初中数学中整体思想的应用及解题策略有一些数学问题，如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上进行 整体分析，运用整体思想方法，则常常能出奇制胜，简捷解题。整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、 整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法整体思想的主要 表现形式有：整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑、整体构 造等等在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等 方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、 独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面 具有独特的作用下面就初中数学中
2、整体思想的应用及解题策略谈一些看法和 体会一、整体代换整体代换是根据问题的条件和结论，选择一个或几个代数式，将它们看成 一个整体，灵活地进行等量代换，从而达到减少计算量的目的。例 1：已知 a d22007 ， b d22008 ， c d22009 ，且 abc 24，求a b c 1 1 1 bc ca ab a b c的值。解析：由已知解出 a 、 b 、 c 的值再代入求解，计算将很复杂，因此选择 如下的整体代换：由已知可得： a b 1 ， b c 1 ， c a 2 则1原式 (aabc2b2c2bc ac ab)1 1 1 (a b)2 (b c)2 (c a)2 (1 1 4)
3、2abc 48 8二、整体设元整体设元是用新的参元去代替已知式或已知式中的某一部分，从而达到化 繁为简、化难为易的目的。例 2：计算：(11 12 31 1 1 1 1 )(2007 2 3 4 2008)(11 1 1 1 1 1 1)(2 3 2008 2 3 4 2007)解析：本题数据较多，直接计算显然无法进行，注意到题中出现的相同算式，因而考虑整体设元。设1 1 1 12 3 4 2007a ，则原式(1 a)(1 1) (1 a2008 2008)aa三、1 a a 1 a 2 a a 22008 2008 2008 2008整体变形整体变形是将问题中某些局部运算作整体变形处理，使
4、之呈现规律性结构 形式，从而达到简化问题或减少运算量的目的。例 3：计算： 99 9 99 9 199 992008个 9 2008 个 9 2008 个9解析：观察式子特点，用凑整法可简化运算。原式 99 9 (99 9 1) 99 9 199 992008个 9 2008个9 2008个9 2008 个9= 99 9 100 0 100 02008个9 2008个 0 2008个 0100 0 (99 99 1)2008个 0 2008 个9100 04016个 0四、整体补形整体补形是补充完整，根据题设条件将原题中的图形补足为某种特殊的图 形，沟通题设条件与特殊的图形之间的关系，从而突出
5、问题本质，找到较简洁 的解法或证法。例 4：如图，在四边形 ABCD 中，AB 2,CD 1, A 60 , B D 90 ， 求四边形 ABCD 的面积。解析：这是一个不规则的四边形，欲求它的面积，可把它补成三角形或规 则的四边形，所求图形的面积恰是两个图形面积的差。延长 AD 、BC 相交于点 E ，如图 1在 Rt ABE 中， A 60 ,AB 2BE AB tanA 2 3在 Rt CDE 中， CD 1, ECD 180 BCD 60 DE CD tan ECD 1 tan60 3S四边形 ABCDSABESCDE1 1AB BE2 2CD DE1 1 3 32 2 3 1 32
6、2 2说明：本题还可以把原四边形补成一个矩形、直角梯形、等边三角形或平 行四边形，如图 2图 5。五、整体配凑整体配凑是将问题中的条件和结论进行适当的配凑，使之结构形式特殊 化、公式化，再利用相关性质进行求解，以达到解答问题的目的。例 5：若 a 2b 3c 12 ，且 a 2 b 2 c2ab bc ca ，则 a b 2c2解析：要求 a b 2 c2 的值，需求 a 、 b 、 c 的值，但已知等式只有两个，若按常规方法是无法解决的，注意到 a 2 b 2 c2ab bc ca ，可采取整体配凑的方法，借助于非负数的性质，找出 a 、 b 、 c 之间的关系，再利用a 2b 3c 12
7、就可以求出 a 、b 、c 的值。事实上，由 a 2b 2 c2ab bc ca ，有 2a 22b22c2 2ab 2bc 2ca 0 ，即 (a b)2 (b c)2 (c a)20 ，故a b c ，将之代入 a 2b 3c 12 有 a b c 2 ，故 a b2c210六、整体构造整体构造是把问题中某些代数式，赋予具体的几何意义，构造出几何图形， 利用数形结合的思想来解答问题。例 6：已知 0 x 12,试求 x24 (12 x)29 的最小值。解析：作出图 6，赋予以上式子如下的几何意义， AC x24,CE (12 x)2 9 ，所以求x24 (12 x)29 的最小值，即求 CD CE 的最小值，当 D ,C ,E 三点共线时值最小，最小值为图 6DE 122 (2 3)2 13 。