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1、例 31 若 xy0 ，试比较x2y2xy 与x2y2xy 的大小2 设 a 0 ， b 0 ，且 a b ，试比较 aa bb 与 abba 的大小 .a b22 b2a变式：（ 1） ab22（ 2） a2b2c2ab bc ac（ 3）若 b0，则 a2b 2ab例 1若 a,b, cR ，求证： a2b2c2a b cbca探究 2：基本不等式（均值不等式）1. aba b (a 0, b 0) （当且仅当 ab 时取“”），其中 a b 和 ab 分别22叫做正数a,b 的算数平均数和几何平均数3推广：若 a 0, b 0 , 则有 “ ”）例 2已知 x, y 都是正数2ababa
2、 ba2b2（当且仅当 ab 时取a b22如果 xy是定值p ，那么当xy 时，和 xy有最小值2p ；1如果和 x y 是定值 s ，那么当 xy 时，积有最大值1s24利用基本不等式求最值应注意: x,y 一定要都是正数 ; 求积 xy 最大值时 , 应看和 x+y 是否为定值 ; 求和 x+y 最小值时 , 看积 xy是否为定值 ;等号是否能够成立 .以上三点可简记为“一正二定三相等”. 利用基本不等式求最值时 ,一定要检验等号是否能取到, 若取到等号 , 则解法是合理的 , 若取不到 ,则必须改用其他方法 .例 3 (1) 设 x 0, y 0且 x 2 y1，求 1 1 的最小值
3、.；x y(2) 设 x、y 是正实数，且 x+y=5, 则 lgx+lgy 的最大值是_.(3) 若正数 a,b 满足 ab a b 3 ，则 ab 的取值范围是（ 2）利用（ 1）的结论求函数f ( x)29（ x (0, 1 ) ）的最小值，指出取x 12x2最小值时 x 的值变式训练 2：（ 1）已知 x5，求函数 y4 x 21的最大值。44 x5242x 的最小值 .（ 2）求函数 y2sinsinx（ 3）已知 0x1 ，求函数 y=x(1-3x) 的最大值。3（ 4）已知 x0,1 ，求函数yx43x2 的值域。（ 5）已知 x , y R+, 且 3x 2 y4，求 32 的
4、最小值 .x3 y（ 6）两个正数 x, y 满足 x y4 ，求使不等式 14 m 恒成立的实数m的xy取值范围。（ 7）设 xR 且 x 2y 21 ，求 x 1y2 的最大值 .23例 6已知x, y, z R ,求证：(1) ( x y z)327xyz; (2)( xyz)( yzx ) 9 ; (3) ( x y z)(x2y2z2 ) 9xyzyzx xyz例 8（ 1）求函数 y 2x 2 3,( x0) 的最大值。 1xx（ 2）设 x,27 ，求 y log 3log 3 (3x) 的最大值9271求下列函数的最值求 y6（ 1） x0 时 ,x 23 x 的最小值（ 2）若4 x 1，求 x 22x 2 的最小值2x 2（ 3）已知 x 3y20 ，求 3x27y1 的最小值（ 4）若 0x1,求 yx 4 (1x 2 ) 的最大值（ 5）若 a1的最小值 .b 0 ，求 ab(ab)4