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1、j2 3 2AP小题 24 压轴题专训一、选择题1.（2018 安徽淮北二模）已知函数f ( x) =3sin x +4cos x +1，实常数 p ， q ， r 使得pf ( x ) +qf ( x +r ) =2018对任意的实数 x R 恒成立，则p cos r +q的值为（ ）A.-1009B.0C.1009D.20181.B【解析】由已知f ( x) =5sin( x +j)+1(tanj=43，且 为锐角)，则pf ( x) +qf ( x +r ) =5 p sin( x +j)+5q sin( x +r +j)+p +q =2018对一切实数 x R 都成立，所以r =2 k
2、p+p(k Z)， p =q ，p +q =2018 ，即 p =q =1009，所以p cos r +q =1009cos(2 k p+p)+1009 =0，故选 B2.（2018 四川绵阳三诊） DABC中， AB =5， AC =10， ABAC =25 ，点 P 是 DABC内（包括边界）的一动点，且AP =3 2AB - lAC ( 5 5lR )，则 | AP |的最大值是（ ）A.3 32B. 37C. 39D.412.B【解析】因为 P 为 DABC内（含边界）的动点，所以2 3 2 - l 0 ，且 - l5 5 51，从而-1l0 .又 AP =( AB -5 5lAC )
3、2=16l2-12l+9 ，因为 -1l0，所以 2 的最大值为 37 ，故 | AP | = 37max，故选 B.3.（2018 江西新余二模）已知函数 f ( x) =e xx-mx ( e为自然对数的底数 ) ，若 f ( x ) 0在(0, +)上恒成立，则实数 m 的取值范围是 （ ）A.( -,2)B.( -,e)e2C. ( -, )4e2D. ( , +)43.C【解析】因为 f ( x ) =e xx-mx 0在 (0, +)上恒成立，所以 m 0) ，所以 g (x) =x 2 x 4x=( x -2)e x 3x，当0 x 2时，1m6666g(x) 2 时，g(x)
4、0 ， g ( x )单调递增故当 x =2 时，g ( x)取得最小值，且最小值为 g (2) =e24所以 m e2 e2 故实数 的取值范围是 (-, )4 4故选 C4.（2018 广东揭阳二模）把函数f ( x) =log ( x +1)2的图象向右平移一个单位，所得图象与函数g ( x)的图象关于直线 y =x 对称；已知偶函数h ( x)满足h( x -1) =h ( -x -1) ，当 x 0,1 时， h ( x) =g ( x) -1 ；若函数 y =kf ( x ) -h ( x)有五个零点，则k的取值范围是（ ）A.(log 2,1)3B.log 2,1)3C.1(lo
5、g 2, )2D.1(log 2, 24.D【解析】曲线f ( x ) =log ( x +1)2右移一个单位，得y = f ( x -1) =log x2，所以g ( x) =2x ， h ( x -1) =h ( -x -1) =h ( x +1)，则函数h ( x)的周期为 2.当 x 0,1 时，h ( x ) =2x-1，y =kf ( x ) -h ( x)有五个零点，等价于函数y =kf ( x )与函数y =h ( x)的图象有五个公共点.绘制函数图像如图所示，由图像知kf (3) 1，即：k log 4 121 1，求解不等式组可得： log 2 k 0) ，由 2x - =
6、1x x，可得x =1，此时 y =1 ，所以曲线 C ：1y =x2-ln x在 (1,1)处的切线方程为y -1 =x -1，即x -y =0，而x -y =0与x -y -2 =0的距离为| 2 |2= 2，所以( x -x ) 2 +( y -y ) 1 2 1 22的最小值为 2故选 Bx 2 y 27.（2018 湖南长郡中学二模）已知椭圆 E ： + =1(a b 0)a 2 b 2与过原点的直线交于 A 、B两点，右焦点为 F ， AFB =120 .若 DAFB 的面积为 4 3 ，则椭圆 E 的焦距的取值范围是 （ ）A.2, +)B.4, +)C.2 3, +)D.4 3
7、, +)7.B【解析】取椭圆的左焦点F1，连接AF1，BF1，则AB与FF1互相平分，所以四边形AFBF1是 平 行 四 边 形 ， 所 以| AF | =|BF | 1， 因 为| AF | +| AF |=2 a1， 所 以31 111111 11222222222| AF | +| BF |=2 a，因为SDABF=1 3| AF | | BF | sin120 = | AF | | BF |=4 3 2 4，所以| AF | | BF |=16，因为2a =|AF | +| BF |2 | AF | | BF | =8，所以a 4，又由焦点三角形面积得b2 tan602=4 3，解得b
8、2 =12，于是c 2 =a 2 -b 2 =a 2 -12 4，所以c 2，所以2c 4.故选 B.8. （ 2018 福 建 龙 岩 毕 业 班 质 检 ） 已 知 函 数f ( x) =2 x 1 1+ 3 s i nx(- +) ， 则 2 x -1 2 21 2f ( )+ f ( )+ 2 0 1 9 2 0 1 92 0 1 8+ f ( 的)值为 （ ） 2 0 1 9A.3021B.3024C.3027D.30288.C【解析】考查函数f ( x) = 12 x2 x -1，有：2 x 2(1-x )f ( x ) + f (1-x ) = + =22 x -1 2(1-x
9、) -1，则1 2 S = f ( ) + f ( ) +2019 20192018+ f ( )20192018 2017 ， S = f ( ) + f ( ) +2019 2019+ f (112019)，两式相加有：2 S =2 2018 ，所以 S =2018 1 1.函数1f ( x) =3sin( x - )2关于点1( ,0)2成中心对称，则f ( x ) + f (1 -x ) =0 2 2，则1 2S = f ( ) + f ( ) + 2019 20192018+ f ( )20192018 2017 1 ， S = f ( ) + f ( ) + + f ( )2019
10、 2019 2019，两式相加有：2 S =0 2018 ，所以 S =0 2 2.据此可得f (1 2 ) + f ( ) +2019 2019+ f (2018 1) 的值为： 2018 +0 + 2018 =3027 2019 2.故选C.9.（2018 福建三明 5 月质检） 已知双曲线 E ：x 2 y 2- =1(a 0, b 0) a 2 b 2的左，右焦点分别是 F ， F ，过 F 的直线与 E 的右支交于 A ， B 两点， M ， N 分别是 AF ， BF 的中1 2 2 1 2点，O 为坐标原点，若 DMON 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形，则 E 的离心率是（
11、 ）A.5B. 5C.52D.1029.D【解析】如图所示，由题意可得： ON / / AB ，结合 DMON是以 O为直角顶点的等腰直角三角形可得： OM AB ，结合OM / / AF1，可得：AF AB1，令| OM |=|ON |4n*=x ，则 | AF |=2 x ，| AF |=2 x -2 a ， | BF |=2 x1 2 2，| BF |=2 x +2 a 1.在直角三角形ABF1中，(2 x) 2 +(4 x -a ) 2 =(2 x +2 a )2，整理计算可得：3x = a2；在直角三角形AF F1 2中，(2 x)2+(2 x -a )2=(2 c )2，即(3 )
12、a2+a2 (=2)c2，计算可得：e2c 2 5= =a 2 210 ，所以 e = .2故选 D.10.（2018 山东德州二模）已知长方体ABCD -A B C D1 1 1 1中，底面ABCD的长AB =4，宽BC =4，高AA =31，点M、N分别为 BC ，C D 的中点，点 P 在上底面 A B C D 中，点 Q 在1 1 1 1 1 1A N 上，若 PM = 13 ，则 1PQ长度的最小值是 （ ）A.5 -2B.3 5 6 5 3 5C. -2 D.2 5 510.C【解析】取B C 的中点 G ，连接 PG ，MG ，可知 MG 平面 A B C D 1 1 1 1 1
13、 1，则 MG PG ，所以 PG =PM2-MG2=2 ，所以点 P 在以 G 为圆心，2为半径的圆周上 .作出上底面正方形如图，过点G作GQ A N1于点Q，交圆周于点P，则PQ为所求的最小值.易知AG =A N =2 5 1 1，GN =2 2，则DA GN 的 GN 边上的高 h = 1(2 5)2-( 2)2=3 2，由等面积法，得12A N1GQ =1 1 1 6NG h ，即 2 5GQ = 2 2 3 2 ，得 GQ = ，所以 PQ = 2 2 2 5故选 C.二、填空题6 6 5 -2 = -25 5.11.（2018 山西太原二模）数列a n中，若a =21，a =n +
14、12 b +2， a = n a +1 b -1n n，n N ，则数列| b |n的前n项和为 .5nn111.4(2 n -1)【解析】由b +2 3 a = n 得 b =1 +b -1 a -1 n n，所以b =1 +n +13a -1n +1=1 +32a +1n-1=-2+61 -an，则b =-2b n +1 n，所以bn +1 =-2 bn，则数列| b |n是等比数列，首项为4，公比为 2 ，所以其前 n 项和 S =n4(1-21 -2n)=4(2n-1).12.（2018 广西南宁综合能力测试）已知抛物线W:y 2 =4 x的焦点F，点P是圆O：x 2 +y 2 =r
15、( r 0)与抛物线W的一个交点，点A( -1,0)，当| PF | PA |最小时，圆心O到直线PF的距离是 .12. 1【解析】考虑到对称性，不妨设 P 点在第一象限.令 l :x =-1，过 P 作 PK l 于 K .根据抛物线定义， PK =PF .则若要使PFPA最小，则直线 PA 的斜率应最大.设直线 PA 方程为x =ky -1，代入抛物线方程得：y2-4 ky +4 =0 ， D=16k2-16 0.则 k 最小为1 .此时P 点坐标为 (1,2) .圆心O 到直线 PF 的距离为1.13.（2018 福建三明 5 月质检）如图，正方形 ABCD 的边长为 3 ，点 E 、F
16、分别在边AD、CD上， 且AE =DF =2将此正方形沿BE，BF，EF切割得到四个三角形，现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，则该三棱锥的内切球的体积为_13.4p81【解析】如图所示，在长宽高分别为1 ， 2 ， 3的长方体ABCD -A B C D1 1 1 1中，三棱锥B -ABC1即为题中所给的四个面组成的三棱锥，该三棱锥的体积：1 1V = ( 12) 3 =1 3 2，在DAB C1，由勾股定理易得： AC = 5 ，AB = 131，CB = 101，由余弦定理可得： cos B CA =15 +10 -13 2= 2 5 10 10，则sin B CA = 11 -(2 2 2) 2 =10 10，故 SDB CA1 7 2 7= 5 10 = ，该三棱锥的表面积为： 2 10 21 7 1 s = (12 +13 +2 3) + =9 ，设三棱锥外接球半径为 R ，则： V = SR2 2 36，即：139R =1 ， R =1 4 4p ，该三棱锥的内切球的体积：V = pR3 =3 3 81.7