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1、2021 年四川省中考数学模拟试卷一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1下列等式正确的是（ ）A（2若）23 B 3 C 3 D（ ）23 成立，则（ ）Aa0，b0Ba0，b0 Cab0 Dab03若要得到函数 y（x+1）2+2 的图象，只需将函数 yx2的图象（ ）A 先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度B 先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度C 先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度D 先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度4已知O 与O 的半径分别是 3cm 和 5cm，两圆的圆心距为 4cm，
2、则两圆的位置关系是（ ）1 2A相交 B内切 C外离 D内含5若一个圆锥的底面半径为 3cm，母线长为 5cm，则这个圆锥的全面积为（ ）A15cm2B24cm2C39cm2D48cm26若点 B（a，0）在以点 A（1，0）为圆心，2 为半径的圆外，则 a 的取值范围为（ ） A3a1 Ba3 Ca1 Da3 或 a17在半径等于 5cm 的圆内有长为 5cm 的弦，则此弦所对的圆周角为（ ）A120B30或 120C60 D60或 1208抛物线 y（x2）2+3 的顶点坐标是（ ）A（2，3） B（2，3） C（2，3） D（2，3） 9如图，在O 中，直径 CD弦 AB，则下列结论中正
3、确的是（ ）AACABBC BODCCBDABOD10如图，抛物线 y a（x+2）123 与 y （x3）22+1 交于点 A（1，3），过点 A 作 x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 B，C则以下结沦：无论 x 取何值，y 的值总是正数；2a1；当 x0 时，2y y 4；2AB3AC；其中正确结论是（ ）2 1A B C D 二填空题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）11若分式的值为 0，则 x 12当 x时，二次根式有意义13某小组 5 名同学的身高（单位：cm）分别为：147，156，151，159，152，则这组数据的中位数是cm14为了估算湖里有多少条鱼，从湖
4、里捕上 100 条做上标记，然后放回湖里，经过一段时间待标记的鱼全混合于鱼群中后，第二次捕得 200 条，发现其中带标记的鱼 25 条，我们可以估算湖里有鱼条15如图所示，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，连接 AC，AD，若CAB36，则ADC 的度数为 16已知：如图，AB 是O 的直径，弦 EFAB 于点 D，如果 EF8，AD2，则O 半径的长是 17二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，给出下列说法：abc0；方程 ax2+bx+c0 的根为 x 1、x 3；当 x1 时，y 随 x 值的增大而减小；当 y1 20 时，1x3其中正确的说法是 A；B；C；D18如图，点
5、E 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点，以 A 为圆心，AB 为半径的弧与 BE 交于点 F，则EFD 19如图，将扇形 AOC 围成一个圆锥的侧面已知围成的圆锥的高为 12，扇形 AOC 的弧长为 10，则圆锥 的侧面积为 20如图，在O 中，AB 是直径，点 D 是O 上一点，点 C 是的中点，CEAB 于点 E，过点 D 的切线交EC 的延长线于点 G，连接 AD，分别交 CE、CB 于点 P、Q，连接 AC，关于下列结论：BADABC； GPGD；点 P 是ACQ 的外心，其中正确结论是 （只需填写序号）三解答题（共 9 小题，满分 90 分） 21计算题（1）|+（1）20182
6、cos45+（2）22解方程：（a+2 ）（1） x23x4（2） 2x（x3）3x23 先化简，再求值：（x2+ ） ，其中 x 24 已知关于 x 的一元二次方程 mx2（m1）x10（1） 求证：这个一元二次方程总有两个实数根；（2） 若二次函数 ymx2（m1）x1 有最大值 0，则 m 的值为 ；（3）若 x 、x 是原方程的两根，且 + 2x x +1，求 m 的值1 2 1 225小颖为班级联欢会设计了“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成了面积 相等的三个扇形游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出红色，另一个转盘转出了蓝色，那么就 配成紫色（1） 请你利
7、用画树状图或者列表的方法计算配成紫色的概率（2） 小红和小亮参加这个游戏，并约定配成紫色小红赢，两个转盘转出同种颜色，小亮赢这个约定对 双方公平吗？请说明理由26如图，为了测量电线杆的高度 AB，在离电线杆 25 米的 D 处，用高 1.20 米的测角仪 CD 测得电线杆顶端 A 的仰角22，求电线杆 AB 的高（精确到 0.1 米）参考数据：sin220.3746，cos220.9272， tan220.4040，cot222.475127如图，O 的半径 OD弦 AB 于点 C，连接 AO 并延长交O 于点 E，连接 EC，若 AB8，CD2，求O 的半径及 EC 的长28如图，AB 是圆
8、 O 的直径，点 C、D 在圆 O 上，且 AD 平分CAB过点 D 作 AC 的垂线，与 AC 的延长线相 交于 E，与 AB 的延长线相交于点 F求证：EF 与圆 O 相切29已知开口向上的抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A（3，0）、B（1，0）两点，与 y 轴交于 C 点，ACB 不小于 90（1） 求点 C 的坐标（用含 a 的代数式表示）；（2） 求系数 a 的取值范围；（3） 设抛物线的顶点为 D，求BCD 中 CD 边上的高 h 的最大值（4）设 E，当ACB90，在线段 AC 上是否存在点 F，使得直线 EF 将ABC 的面积平分？若存在，求出点 F 的坐标；若不
9、存在，说明理由2021 年四川省中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可【解答】解：（ ）23，A 正确；3，B 错误；3 ，C 错误；（）23，D 错误；故选：A【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质： 2【分析】直接利用二次根式的性质分析得出答案|a|是解题的关键【解答】解：成立，a0，b0故选：B【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握二次根式的性质是解题关键3【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由 a 值不变即可找出结论【解答】解：抛物线 y（x+1）2+2 的
10、顶点坐标为（1，2），抛物线 yx2 的顶点坐标为（0，0），将抛物线 yx2先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度即可得出抛物线 y（x+1）2+2故选：B【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键4【分析】先求两圆半径的和或差，再与圆心距进行比较，确定两圆位置关系【解答】解：O 和O 的半径分别为 5cm 和 3cm，圆心距 O O 4cm，1 2 1 25345+3，根据圆心距与半径之间的数量关系可知O 与O 相交1 2故选：A【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法设两圆的半径分别为 R 和 r，且 Rr，圆 心距为 P外离：
11、PR+r；外切：PR+r；相交：RrPR+r；内切：PRr；内含：PRr5【分析】这个圆锥的全面积为底面积与侧面积的和，底面积为半径为 3 的圆的面积，根据圆锥的侧面展 开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式求 测面积【解答】解：这个圆锥的全面积 2 3 5+ 3224（cm2）故选：B【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长6【分析】熟记“设点到圆心的距离为 d，则当 dR 时，点在圆上；当 dR 时，点在圆外；当 dR 时， 点在圆内”即可解答【解答】解：以 A（1
12、，0）为圆心，以 2 为半径的圆交 x 轴两点的坐标为（3，0），（1，0）， 点 B（a，0）在以 A（1，0）为圆心，以 2 为半径的圆外，a3 或 a1故选：D【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断的知识点，解答本题的关键是理解点 B 在以 A（1，0） 为圆心，以 2 为半径的圆内的含义，本题比较简单7【分析】根据题意画出相应的图形，连接 OA，OB，在优弧 AB 上任取一点 E，连接 AE，BE，在劣弧 AB 上 任取一点 F，连接 AF，BF，过 O 作 ODAB，根据垂径定理得到 D 为 AB 的中点，由 AB 的长得出 AD 的长， 再由 OAOB，OD 与 AB 垂直，根
13、据三线合一得到 OD 为角平分线，在直角三角形 AOD 中，利用锐角三角函 数定义及 AD 与 OA 的长，求出AOD 的度数，可得出AOB 的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周 角的 2 倍，可得出AEB 的度数，再利用圆内接四边形的对角互补可得出AFB 的度数，综上，得到此弦 所对的圆周角的度数【解答】解：根据题意画出相应的图形为：连接 OA，OB，在优弧 AB 上任取一点 E，连接 AE，BE，在劣弧 AB 上任取一点 F，连接 AF，BF， 过 O 作 ODAB，则 D 为 AB 的中点，AB5cm，ADBDcm，又 OAOB5，ODAB，OD 平分AOB，即AODBOD AOB，
14、 在直角三角形 AOD 中，sinAOD ，AOD60，AOB120，又圆心角AOB 与圆周角AEB 所对的弧都为 AEB AOB60，四边形 AEBF 为圆 O 的内接四边形，AFB+AEB180，AFB180AEB120，则此弦所对的圆周角为 60或 120故选：D【点评】此题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及圆内接四边 形的性质，是一道综合性较强的题本题有两解，学生做题时注意不要漏解8【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴【解答】解：y（x2）2+3 是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（
15、2，3）故选：A【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式ya（xh）2+k，顶点坐标是（h，k）， 对称轴是 xh9【分析】根据垂径定理得出 ， ，根据以上结论判断即可【解答】解：A、根据垂径定理不能推出 ACAB，故 A 选项错误；B、直径 CD弦 AB， ，对的圆周角是C，对的圆心角是BOD，BOD2C，故 B 选项正确；C、 不能推出CB，故 C 选项错误；D、 不能推出ABOD，故 D 选项错误；故选：B【点评】本题考查了垂径定理的应用，关键是根据学生的推理能力和辨析能力来分析10【分析】利用二次函数的性质得到 y 的最小值为 1，则可对进行判断；把 A 点坐标代入 y
16、 a（x+2）2 123 中求出 a，则可对进行判断；分别计算 x0 时两函数的对应值，再计算 y y 的值，则可对进2 1行判断；利用抛物线的对称性计算出 AB 和 AC，则可对进行判断【解答】解：y （x3）22+1，y 的最小值为 1，所以正确；2把 A（1，3）代入 y a（x+2）23 得 a（1+2）233，13a2，所以错误；当 x0 时，y （x+2）123 ，y （x3）22+1，y y + ，所以错误；2 1抛物线 y a（x+2）23 的对称轴为直线 x2，抛物线 y （x3）2+1 的对称轴为直线 x3， 1 2AB236，AC224，2AB3AC，所以正确故选：D【点
17、评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 yax2+bx+c（a0），二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系 数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 当 a 与 b 同号时（即 ab0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0），对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置：抛物线与 y 轴交于 （0，c）也考查了二次函数的性质二填空题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）11【分析】分式为零时：分子等于零且分母不等于零【解答】解：依题意得：|x|40 且
18、4x0解得 x4故答案是：4【点评】本题考查的是分式的值为 0 的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解 答此题的关键12【分析】根据二次根式的被开方数为非负数即可得出 x 的范围【解答】解：由题意得：2x30，解得：x 故答案为： 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，比较简单，注意掌握二次根式的被开方数为非负数这个知识 点13【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数 【解答】解：由于此数据按照从小到大的顺序排列为 147，151，152，156，159，最中间的数是 152， 所以这组数据的中位数是 152cm，故答案为：1
19、52【点评】考查了确定一组数据的中位数的能力注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇 数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两 位数的平均数14【分析】第二次捕得 200 条所占总体的比例标记的鱼 25 条所占有标记的总数的比例，据此直接解答【解答】解：设湖里有鱼 x 条，则，解可得 x800故答案为：800【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可 15【分析】连接 BC，推出 ABC，求出B 的度数，即可得出结论【解答】解：连接 BC，AB 是O 的直径，ACB90，CAB36，B54，ADC54故
20、答案为：54【点评】本题主要考查了圆周角的有关定理，作出辅助线，构建直角三角形，是解本题的关键 16【分析】连接 OE，由题意得：OEOAR，EDDF4，再解 ODE 即可求得半径的值【解答】解：连接 OE，如下图所示，则：OEOAR，AB 是O 的直径，弦 EFAB，EDDF4，ODOAAD，ODR2，在 ODE 中，由勾股定理可得：OE2OD2+ED2，R2（R2）2+42，R5故答案为：5【点评】本题考查了垂径定理和解直角三角形的运用17【分析】根据抛物线的开口方向确定 a 的取值范围；根据对称轴的位置确定 b 的取值范围；根据抛物 线与 y 轴的交点确定 c 的取值范围；根据图象与 x
21、 轴的交点坐标确定方程 ax2+bx+c0 的根，也可以确定当 y0 时 x 的取值范围；根据抛物 线的开口方向和对称轴我的抛物线的增减性【解答】解：抛物线的开口方向向下，a0，对称轴在 y 轴的右边，b0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方，c0，abc0，故正确；根据图象知道抛物线与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1 或 x3，方程 ax2+bx+c0 的根为 x 1、x 3，故正确；1 2根据图象知道当 x1 时，y 随 x 值的增大而减小，故正确；根据图象知道当 y0 时，1x3，故正确故选 D【点评】此题主要考查了抛物线的系数与图象的关系，其中二次函数 yax2+bx+c 系数符
22、号由抛物线开 口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定18【分析】由四边形 ABCD 为正方形及半径相等得到 ABAFAD，ABDADB45，利用等边对等角 得到两对角相等，由四边形 ABFD 的内角和为 360 度，得到四个角之和为 270，利用等量代换得到ABF+ ADF135，进而确定出1+245，由EFD 为三角形 DEF 的外角，利用外角性质即可求出EFD 的度数【解答】解：正方形 ABCD，AF，AB，AD 为圆 A 半径，ABAFAD，ABDADB45，ABFAFB，AFDADF，四边形 ABFD 内角和为 360，BAD90，ABF+AFB+AFD+
23、ADF270，ABF+ADF135，ABDADB45，即ABD+ADB90，1+21359045，EFD 为DEF 的外角，EFD1+245故答案为：45【点评】此题考查了切线的性质，四边形的内角和，等腰三角形的性质，以及正方形的性质，熟练掌握 性质是解本题的关键19【分析】求出圆锥的底面半径，根据勾股定理求出圆锥的母线长，根据扇形面积公式计算即可【解答】解：扇形 AOC 的弧长为 10，圆锥的底面半径为：圆锥的母线长为：5，13，则圆锥的侧面积为： 101365，故答案为：65【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握弧长公式、扇形面积公式、圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥 的底面圆周长是扇形的弧长
24、是解题的关键20【分析】由于与不一定相等，根据圆周角定理可知错误；连接OD，利用切线的性质，可得出GPDGDP，利用等角对等边可得出 GPGD，可知正确；先由垂径定理得到 A 为的中点，再由 C为的中点，得到 ，根据等弧所对的圆周角相等可得出CAPACP，利用等角对等边可得出APCP，又 AB 为直径得到ACQ 为直角，由等角的余角相等可得出PCQPQC，得出 CPPQ，即 P 为 直角三角形 ACQ 斜边上的中点，即为直角三角形 ACQ 的外心，可知正确；【解答】解：在O 中，AB 是直径，点 D 是O 上一点，点 C 是弧 AD 的中点， ，BADABC，故错误；连接 OD，则 ODGD，
25、OADODA，ODA+GDP90，EPA+EAPEAP+GPD90，GPDGDP；GPGD，故正确；弦 CFAB 于点 E，A 为又C 为的中点，即的中点， ，CAPACP，APCPAB 为圆 O 的直径，ACQ90，PCQPQC，PCPQ，APPQ，即 P 为 ACQ 斜边 AQ 的中点， P 为 RtACQ 的外心，故正确； 故答案为：【点评】此题是圆的综合题，其中涉及到切线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系 定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，平行线的判定，熟练掌握性质及定理是 解决本题的关键三解答题（共 9 小题，满分 90 分）21【分析】（1）先
26、计算绝对值、乘方、代入三角函数值和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减即可 得；（2）先计算括号内分式的减法、将被除式因式分解，再将除法转化为乘法，继而约分即可得【解答】解：（1）原式 +1 +45；+12 +4（2）原式（ ）【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及实数的混 合运算顺序和运算法则22【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；（2）先变形得到 2x（x3）+x30，然后利用因式分解法解方程【解答】解：（1）x23x40，（x4）（x+1）0，x40 或 x+10，所以 x 4，x 1；1 2（2）2x（x3）+x30，
27、（x3）（2x+1）0，x30 或 2x+10，所以 x 3，x 1 2【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为 0，再把左边 通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一 元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数 学转化思想）23【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得【解答】解：原式（ + ）2（x+2）2x+4，当 x 时，原式2（ ）+41+43【点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式
28、的化简化简的最后结 果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式24【分析】（1）先计算判别式得到（m+1）2，根据非负数的性质即可得到0，于是利用判别式的 意义即可得到结论；（2） 根据二次函数的性质得 m0 且 0，然后解方程即可；（2） 先根 据根 与系 数的 关 系得 到 x +x ， x x ， 再 把 + 2x x +1 变 形得 到1 2 1 2 1 22x x +1，则 2 （ ）+1，然后解关于 m 的方程即可 1 2【解答】（1）证明：m0，（m1）24m（1）（m+1）2，（m+1）20，即0，这个一元二次方程总有两个实数根；（2）解：二次函数 ymx2（m
29、1）x1 有最大值 0，m0 且m1；故答案为1（3）解：x +x 1 20，x x ， 1 2 +2x x +1，1 2 2x x +1，1 2 2 （ ）+1，整理得 m2+m10，m或 m 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x ，x 是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x +x1 2 1 2 ，x x 也考查了根的判别式和二次函数的性质1 225【分析】（1）用表格列出所有等可能结果，再根据概率公式计算可得；（2）分别计算出小红、小亮获胜的概率，比较大小即可得出结论【解答】解：（1）如下表所示：红黄蓝红（红，红）（黄，红）（蓝，红）蓝 1（红，蓝 1）（黄，蓝 1）（
30、蓝，蓝 1）蓝 2（红，蓝 2）（黄，蓝 2）（蓝，蓝 2）由表可知，共有 9 种等可能结果，其中配成紫色的有 3 种结果， 所以 P ；（能配成紫色）（2）P （小红赢） ，P （小亮赢）P P ，（小红赢） （小亮赢）因此，这个游戏对双方是公平的【点评】本题考查的是游戏公平性的判断实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，要求学生根据题 意，结合实际情况，计算并比较游戏者的胜利的概率，进而得到结论用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比26【分析】根据 CE 和的正切值可以求得 AE 的长度，根据 ABAE+EB 即可求得 AB 的长度，即可解题 【解答】解：在中 ACE，AECE tan
31、，BD tan，25tan22，10.10 米，ABAE+EBAE+CD10.10+1.2011.3（米）答：电线杆的高度约为 11.3 米【点评】本题考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中正确计算 AE 的值是解题的关键27【分析】先根据垂径定理求出 AC 的长，设O 的半径为 r，在 OAC 中利用勾股定理求出 r 的值， 连接 BE，由 AE 是直径，根据圆周角定理得到ABE90，利用 OC 是ABE 的中位线得到 BE2OC6， 然后在 CBE 中利用勾股定理可计算出 CE【解答】解：OD弦 AB，AB8，AC 4，设O 的半径 OAr，OCODCDr2，在 OAC 中，r2（r2
32、）2+42，解得：r5，连结 BE，如图，OD5，CD2，OC3，AE 是直径，ABE90，OC 是ABE 的中位线，BE2OC6，在 CBE 中，CE 【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定 理、圆周角定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键28【分析】连接 OD，作出辅助线，只要证明 ODEF 即可，根据题目中的条件可知，FOD 与FAD 的关 系，由 AD 平分CAB，可知EAF 与FAD 之间的关系，又因为 AEEF，从而可以推出 OD 垂直 EF，本题 得以解决【解答】证明：连接 OD，如右图所示，FOD2BAD，AD 平分CAB，E
33、AF2BAD，EAFFOD，AEEF，AEF90，EAF+EFA90，DFO+DOF90，ODF90，ODEF，即 EF 与圆 O 相切【点评】本题考查切线的判定，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思 想解答问题29【分析】（1）由抛物线 yax2+bx+c 过点 A（3，0），B（1，0），得出 c 与 a 的关系，即可得出 C点坐标；（2） 利用已知得出AOCCOB，进而求出 OC 的长度，即可得出 a 的取值范围；（3） 作 DGy 轴于点 G，延长 DC 交 x 轴于点 H，得出抛物线的对称轴为 x1，进而求 DCGHCO， 得出 OH3，过 B 作 BMDH
34、，垂足为 M，即 BMh，根据 hHB sinOHC 求出 0OHC30，得到0sinOHC ，即可求出答案；（4）连接 CE，过点 N 作 NPCD 交 y 轴于 P，连接 EF，根据三角形的面积公式求出SCAEF，根四边形 EFCB据 NPCE，求出 ，设过 N、P 两点的一次函数是 ykx+b，代入 N、P 的左边得到方程组， 求出直线 NP 的解析式，同理求出 A、C 两点的直线的解析式，组成方程组求出即可【解答】解：（1）抛物线 yax2+bx+c 过点 A（3，0），B（1，0），消去 b，得 c3a点 C 的坐标为（0，3a），答：点 C 的坐标为（0，3a）（2）当ACB90时
35、，AOCBOC90，OBC+BCO90，ACO+BCO90， ACOOBC，AOCCOB，即 OC2AO OB， AO3，OB1， OC ， ACB 不小于 90，OC ，即c，由（1）得 3a，a ，又a0，a 的取值范围为 0a ，答：系数 a 的取值范围是 0a（3）作 DGy 轴于点 G，延长 DC 交 x 轴于点 H，如图 抛物线 yax2+bx+c 交 x 轴于 A（3，0），B（1，0） 抛物线的对称轴为 x1即 1，所以 b2a又由（1）有 c3a抛物线方程为 yax2+2ax3a，D 点坐标为（1，4a）于是 CO3a，GCa，DG1DGOH，DCGHCO， ，即 ，得 OH
36、3，表明直线 DC 过定点 H（3，0） 过 B 作 BMDH，垂足为 M，即 BMh，hHB sinOHC2 sinOHC0CO ，0OHC30，0sinOHC 0h1，即 h 的最大值为 1，答：BCD 中 CD 边上的高 h 的最大值是 1（4）由（1）、（2）可知，当ACB90时， ， ，设 AB 的中点为 N，连接 CN，则 N（1，0），CN 将ABC 的面积平分，连接 CE，过点 N 作 NPCE 交 y 轴于 P，显然点 P 在 OC 的延长线上，从而 NP 必与 AC 相交，设其交点为 F，连接 EF，因为 NPCE，所以CEF，CEN由已知可得 NO1， ，得，而 NPCE，设过 N、P 两点的一次函数是 ykx+b，则，解得：即，同理可得过 A、C 两点的一次函数为，解由组成的方程组得故在线段 AC 上存在点， ，满足要求答：当ACB90，在线段 AC 上存在点 F，使得直线 EF 将ABC 的面积平分，点 F 的坐标是（ ， ）【点评】本题主要考查对用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，三角形的面积，解二元一次方 程，相似三角形的性质和判定，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，综合运用这些性 质进行计算是解此题的关键