2017年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(理科).docx

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1、xxxxx222017 年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的）1（5 分）已知集合 A=x|x（x3）0，B=1，0，1，2，3，则 AB=（ ）A1B1，2 C0，3 D1，1，2，32（5 分）已知 i 是虚数单位，复数 iz=1 2i，则复数 z 在复平面内对应的点位 于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5 分）已知平面向量 =（3，4）， =（x， ），若 ，则实数 x 为（ ）ABCD4（5 分）命题 p：“ xN ，（ ） ”的否定为（ ）+A x

2、N ，（ ） +B xN ，（ ） +C xN ，（ ） +D xN ，（ ） +5（5 分）已知直线 l：y=k（x+ 切，则 k=（ ）和圆 C：x+（y1） =1，若直线 l 与圆 C 相A0 BC或 0 D或 06（5 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的 三视图，则该多面体的表面积为（ ）A36+6 B36 +3 C54 D277（5 分）将 A，B，C，D 这 4 名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与 B 相邻 且 A 与 C 之间恰好有 1 名同学”的概率是（ ）ABCD第 1 页（共 23 页）121 28 （5 分）中国古代数学著作孙子算经中

3、有这样一道算术题： “今有物不知 其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩 余定理”，若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 N=n（modm ），例如 11=2（mod3）现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的 n 等于（ ）A21 B22 C23 D249（5 分）将函数 f（x）=2sin （x+ ）（0）的图象向右平移个单位，得到函数 y=g（x）的图象，若 y=g（x）在 值为（ ）A3 B2 CD，上为增函数，则 的最大10（5 分）已知 S，A，B，C 是球 O 表面上的不同点，SA平面 ABC，ABBC，AB=1，

4、BC=，若球 O 的表面积为 4，则 SA=（ ）AB1CD11（5 分）已知双曲线 C：=1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F ，F ，点 M 与双曲线 C 的焦点不重合，点 M 关于 F ，F 的对称点分别为 A，B，线 段 MN 的中点在双曲线的右支上，若|AN|BN|=12，则 a=（ ）第 2 页（共 23 页）6222n11 2 4nnn nnnA3 B4 C5 D612（5 分）已知函数 f（x）=2f （x） 的零点个数是（ ），则函数 F（x ）=f f（x）A4B5 C6 D7二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题纸上） 13（5

5、分）二项式（x+ ） 的展开式中的常数项为 14（5 分）若实数 x，y 满足不等式组，则目标函数 z=3x y 的最大值为 15（5 分）已知ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 S， 且满足 4S=a （bc） ，b+c=8，则 S 的最大值为 16（5 分）设函数 f（x）=g（ ）+x，曲线 y=g（x）在点（1，g（1）处的切线方程为 9x+y1=0 ，则曲线 y=f（x）在点（2 ，f（2）处的切线方程为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤）17（12 分）已知数列a 是公差不为 0 的等差数列，首项

6、a =1，且 a ，a ，a 成等比数列（）求数列a 的通项公式；（）设数列b 满足 b =a +2，求数列b 的前 n 项和 T 18（12 分）为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性 别有关，现从该市高三理科生中随机抽取 50 各学生进行调查，得到如下 22 列联表：（单位：人）男报考“经济类”6不报“经济类”24合计30第 3 页（共 23 页）21 1 11 11 111 1120 00201 21 22 2女合计14206302050（）据此样本，能否有 99%的把握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？ （）若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报

7、考情况，现从该 市的全体考生（人数众多）中随机抽取 3 人，设 3 人中报考“经济类”专业的人数 为随机变量 X，求随机变量 X 的概率分布及数学期望附：参考数据：P（X2k）0.050.010k（参考公式：X =3.841）6.63519 （ 12 分 ） 在 三 棱 柱 ABC A B C 中 ， 侧 面 AA C C 底 面 ABC ， AA =A C=AC=AB=BC=2，且点 O 为 AC 中点（）证明：A O平面 ABC；（）求二面角 AA BC 的大小20（12 分）已知椭圆 C： +=1（ab 0）的左焦点为 F （ ，0），e=（）求椭圆 C 的方程；（）如图，设 R（x ，

8、y ）是椭圆 C 上一动点，由原点 O 向圆（x x ） +（y y ） =4 引两条切线，分别交椭圆于点 P，Q，若直线 OP，OQ 的斜率存在，并 记为 k ，k ，求证：k k 为定值；（）在（）的条件下，试问 OP +OQ 是否为定值？若是，求出该值；若不是， 说明理由第 4 页（共 23 页）x2x2221（12 分）已知函数 f（x）=e 1xax （）当 a=0 时，求证：f （x）0；（）当 x0 时，若不等式 f （x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围； （）若 x0，证明（e 1）ln （x+1）x 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分

9、.作答 时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 .选修 44 ：坐标系与参数 方程22（10 分）以直角坐标系 xOy 中，直线 l：y=x ，圆 C：（为参数），以坐标原点为为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求直线 l 与圆 C 的极坐标方程；（）设直线 l 与圆 C 的交点为 M，N，求CMN 的面积选修 45 ：不等式选讲 23已知函数 f（x）=|xa| x，（a0）（）若 a=3，解关于 x 的不等式 f（x）0；（）若对于任意的实数 x，不等式 f（x）f（x+a）a + 恒成立，求实数 a 的取值范围第 5 页（共 23 页）2017 年辽宁省沈阳市高考数

10、学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的）1（5 分）已知集合 A=x|x（x3）0，B=1，0，1，2，3，则 AB=（ ）A1B1，2 C0，3 D1，1，2，3【分析】先分别求出集合 A，B，由此利用交集定义能求出 AB【解答】解：集合 A=x|x（x3）0=x|0x3，B=1，0，1，2，3，AB=1，2故选：B【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的 合理运用2（5 分）已知 i 是虚数单位，复数 iz=1 2i，则复数 z 在复平面内对应的

11、点位 于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：复数 iz=12i，iiz=i（12i），z= 2i，则复数 z 在复平面内对应的点（2，1）位于第三象限故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题3（5 分）已知平面向量 =（3，4）， =（x， ），若 ，则实数 x 为（ ）ABCD【分析】利用向量共线定理即可得出第 6 页（共 23 页）xxxxxxxx22【解答】解： ，4x3 =0，解得 x= ，故选：C【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4（5

12、 分）命题 p：“ xN ，（ ） ”的否定为（ ）+A xN ，（ ） +B xN ，（ ） +C xN ，（ ） +D xN ，（ ） +【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，由规则写出否 定命题即可【解答】解：命题 p ：“ xN ，（ ） ”是全称命题，+“ xN ，（ ） ”的否定是 xN ，（ ） ”，+ +故选：D【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解全称命题否定的书写方 法，其规则是全称命题的否定是特称命题，书写时注意量词的变化5（5 分）已知直线 l：y=k（x+ 切，则 k=（ ）和圆 C：x +（y1） =1，若直线 l 与圆 C 相A0

13、BC或 0 D或 0【分析】找出圆心坐标与半径 r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距 离 d，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离 d=r ，即可求出 k 的值 【解答】解：由圆的方程得到圆心 C（0，1 ），半径 r=1，圆心 C（0，1）到直线 l：y=k（x+）和的距离 d= =1，k=或 0，故选：D【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到直线的距 离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键第 7 页（共 23 页）6（5 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的 三视图，则该多面体的表面积为（ ）A36+6 B36 +3 C

14、54 D27【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，代 入柱体表面积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱， 其底面积为 （2+4）3=9，底面周长为：2+4+2 高 h=3 ，=6+2，故棱柱的表面积 S=2 9+（6+2）3=36 +6，故选：A【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度 中档7（5 分）将 A，B，C，D 这 4 名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与 B 相邻 且 A 与 C 之间恰好有 1 名同学”的概率是（ ）ABCD【分析】先求出基本事件总数 n=，再利用列举法

15、求出“A 与 B 相邻且 A 与 C 之间恰好有 1 名同学”包含的基本事件个数，由此能求出“A 与 B 相邻且 A 与 C 之间 恰好有 1 名同学”的概率【解答】解：将 A，B，C，D 这 4 名同学从左至右随机地排成一排， 基本事件总数 n= =4321=24，“A 与 B 相邻且 A 与 C 之间恰好有 1 名同学”包含的基本事件有：第 8 页（共 23 页）ABCD，CBAD，CDAB，DABC，DCBA，BADC，共 6 个， “A 与 B 相邻且 A 与 C 之间恰好有 1 名同学”的概率 p=故选：B【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合 理运用

16、8 （5 分）中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题： “今有物不知 其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩 余定理”，若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 N=n（modm ），例如 11=2（mod3）现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的 n 等于（ ）A21 B22 C23 D24【分析】该程序框图的作用是求被 3 和 5 除后的余数为 2 的数，根据所给的选项， 得出结论【解答】解：该程序框图的作用是求被 3 除后的余数为 2，被 5 除后的余数为 3 的数，在所给的选项中，满足被 3 除后的余数为 2，被 5

17、除后的余数为 3 的数只有 23 ， 故选：C第 9 页（共 23 页）【点评】本题主要考查程序框图的应用，属于基础题9（5 分）将函数 f（x）=2sin （x+ ）（0）的图象向右平移个单位，得到函数 y=g（x）的图象，若 y=g（x）在 值为（ ）A3 B2 CD，上为增函数，则 的最大【分析】根据平移变换的规律求解 g（x），结合三角函数 g（x）在 上为增函数建立不等式即可求解 的最大值， 【解答】解：函数 f （x）=2sin （x+）（0）的图象向右平移个单位，可得 g（x）=2sin （x 且）+=2sin （x）在，（kZ），上为增函数，解得：312k 且，（kZ）0，当

18、k=0 时， 取得最大值为 故选：C【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据平移变换规律求出函数的解 析式是解决本题的关键要求熟练掌握函数图象之间的变化关系10（5 分）已知 S，A，B，C 是球 O 表面上的不同点，SA平面 ABC，ABBC，AB=1，BC=，若球 O 的表面积为 4，则 SA=（ ）AB1CD【分析】由已知中 S、A、B、C 是球 O 表面上的点，SA平面 ABC，ABBC，易 S、A、B、C 四点均为长宽高分别 SA，AB，BC 三边长的长方体的顶点，由长方体 外接球的直径等于长方体对角线，利用球的表面积公式即可得到答案 【解答】解：SA平面 ABC，ABBC，四

19、面体 SABC 的外接球半径等于以长宽高分别 SA，AB，BC 三边长的长方体第 10 页（共 23 页）121 21 21 211121212的外接球的半径球 O 的表面积为 4，R=1AB=1，BC=2R=，=2，SA=1故选：B【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积公式，其中根据已知条 件求出球 O 的直径（半径），是解答本题的关键11（5 分）已知双曲线 C： =1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F ，F ，点 M 与双曲线 C 的焦点不重合，点 M 关于 F ，F 的对称点分别为 A，B，线 段 MN 的中点在双曲线的右支上，若|AN|BN|=12，则 a=（ ）A3

20、B4 C5 D6【分析】根据已知条件，作出图形，MN 的中点连接双曲线的两个焦点，便会得 到三角形的中位线，根据中位线的性质及双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝 对值为 2a，求出|AN |BN|，可得结论【解答】解：设双曲线 C 的左右焦点分别为 F ，F ，如图，连接 PF ，PF ，F 是 MA 的中点，P 是 MN 的中点，F P 是MAN 的中位线，|PF |= |AN|，同理|PF |= |BN|，|AN|BN|=2 |PF |PF |，P 在双曲线上，根据双曲线的定义知：|PF |PF |=2a，|AN|BN|=4a=12，a=3故选：A第 11 页（共 23 页）1 2122【

21、点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，同时考查三角形的中位线，运用 定义法是解题的关键，属于中档题12（5 分）已知函数 f（x）=，则函数 F（x ）=f f（x）2f （x） 的零点个数是（ ）A4 B5 C6 D7【分析】令 t=f（x），F（x）=0 ，则 f（t）2t =0，分别作出 y=f（x）和直线 y=2x+ ，得到两交点的横坐标，再由图象观察，即可得到所求零点个数【解答】解：令 t=f （x），F（x）=0，则 f（t）2t =0 ，分别作出 y=f（x）和直线 y=2x+ ，由图象可得有两个交点，横坐标设为 t ，t ，则 t =0，1t 2，即有 f（x）=0 有一根；

22、1f （x）2 时，t =f（x）有 3 个不等实根，综上可得 F（x）=0 的实根个数为 4，即函数 F（x）=ff（x）2f （x） 的零点个数是 4故选：A第 12 页（共 23 页）66 rrr 16 2r【点评】本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用转化思想和换元法，以及 数形结合思想方法，考查判断和观察能力，属于中档题二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题纸上） 13（5 分）二项式（x+ ） 的展开式中的常数项为 【分析】利用二项式展开式的通项公式，令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即 可求得展开式中的常数项【解答】解：二项式（x

23、+T = x （ ） = +令 62r=0 ，求得 r=3，故展开式中的常数项为）6 展开式的通项公式为 x = 故答案为： 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的 通项公式，求展开式中某项的系数，是基础题14（5 分）若实数 x，y 满足不等式组，则目标函数 z=3x y 的最大值为 1【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得 到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件 ，作出可行域如图，第 13 页（共 23 页）222222 2222 2 22 22联立 ，得 A（1，2），化目标函数 z=

24、3xy 为 y=3xz，由图可知，当直线 y=3xz 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为 3 12=1 ，故答案为：1【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15（5 分）已知ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 S，且满足 4S=a （bc） ，b+c=8，则 S 的最大值为 8【分析】满足 S=a （bc） ，b+c=8，利用余弦定理与三角形的面积计算公式可得： 2bcsinA=2bc （ b2+c a2） =2bc 2bccosA ，化为 sinA=1 cosA ，与sin A+cos A=1，解得 sinA，

25、进而利用三角形面积公式，再利用基本不等式的性质 即可得出【解答】解：满足 4S=a （bc） ，b+c=8，4 bcsinA=2bc（b +c a ）=2bc2bccosA，化为 sinA=1 cosA，又sin A+cos A=1，解得：sinA=1 ，S= bcsinA= bc （） =8，当且仅当 b=c=4 时取等号故答案为：8【点评】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题第 14 页（共 23 页）22n11 2 4nnn nnnn2n16（5 分）设函数 f（x）=g（ ）+x ，曲线 y=g（x）在点（1，g（1）处的切

26、线方程为 9x+y1=0 ，则曲线 y=f（x）在点（2，（f2）处的切线方程为x+2y+6=0【分析】由题意求得 g（1）=8，g（1）=9，对 f（x）求导，注意复合函数 的导数，求出 f（2），x=2 处切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求方程 【解答】解：曲线 y=g（x）在点（1，g（1）处的切线方程为 9x+y1=0， 可得 g（1）=8，g（1）=9，函数 f（x）=g（ ）+x 的导数为 f（x）= g（ ）+2x，即有 f（2）=g（1）+4=8+4=4，f（2）= g（1）+4=4 = ，则曲线 y=f（x）在点（2，f （2）处的切线方程为 y（4）= （x2）， 即为

27、x+2y+6=0 故答案为：x+2y+6=0 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，注意运用复合函数的导数，直线 的点斜式方程，考查运算能力，属于中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤）17（12 分）已知数列a 是公差不为 0 的等差数列，首项 a =1，且 a ，a ，a 成等比数列（）求数列a 的通项公式；（）设数列b 满足 b =a +2，求数列b 的前 n 项和 T 【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出 （II）利用等差数列与等比数的求和公式即可得出【解答】解：（）设数列a 的公差为 d，由题设， 即（1+d

28、 ） =1+3d ，解得 d=0 或 d=1（4 分）又d0，d=1，可以求得 a =n （6 分）（）由（）得 ，第 15 页（共 23 页），（2 分）2= （ 1+2+3+n ） + （ 2+22+2n） =（12 分）【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题18（12 分）为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性 别有关，现从该市高三理科生中随机抽取 50 各学生进行调查，得到如下 22 列联表：（单位：人）男女合计报考“经济类”61420不报“经济类”24630合计302050（）据此样本，能否有 99%的把

29、握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？ （）若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该 市的全体考生（人数众多）中随机抽取 3 人，设 3 人中报考“经济类”专业的人数 为随机变量 X，求随机变量 X 的概率分布及数学期望附：参考数据：P（X k）k0.053.8410.0106.635（参考公式：X2=）【分析】（I）计算 K2，根据临界值表作出结论；（II）分别计算 X=0，1，2，3 时的概率得出分布列，根据分布列得出数学期望和 方差【解答】解：（）（2 分）有 99%的把握认为理科生愿意报考“经济类”专业与性别有关（4 分） （）估计该市的全体考生中任一人报考

30、 “ 经济类 ” 专业的概率为第 16 页（共 23 页） （ 61 1 11 11 111 11111 11 111 111 111分）X 的 可 能 取 值 为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 由 题 意 ， 得 X B （ 3 ， ），随机变量 X 的分布列为XP（10 分）0 1 2 3随机变量 X 的数学期望（12 分）【点评】本题考查了独立性检验的应用，离散型随机变量的分布列、数学期望、 方差的求法，是中档题19 （ 12 分 ） 在 三 棱 柱 ABC A B C 中 ， 侧 面 AA C C 底 面 ABC ， AA =A C=AC=AB=BC=2，且点 O 为 AC 中点（）

31、证明：A O平面 ABC；（）求二面角 AA BC 的大小【分析】（）推导出 A OAC，由此能证明 A O平面 ABC（）以 O 为原点，OB，OC，OA 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直 角坐标系，利用向量法能求出二面角 AA BC 的大小【解答】（本小题满分 12 分）证明：（）AA =A C，且 O 为 AC 的中点，A OAC，（2 分）又侧面 AA C C底面 ABC，交线为 AC，且 A O 平面 AA C C，A O平面 ABC（4 分）解：（）如图，以 O 为原点，OB，OC，OA 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建第 17 页（共 23 页）1111

32、122 21立空间直角坐标系由已知可得 O（0，0，0），A（0，1，0）， ， ， ， ，（6 分）设平面 AA B 的一个法向量为 则有，令 x =1，得 ，z =1（8 分）设平面 A BC 的法向量为 则有令 x =1，则 y =0，z =1， 所求二面角的大小为，（10 分）（12 分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题 时要认真审题，注意空间思维能力的培养20（12 分）已知椭圆 C： +=1（ab 0）的左焦点为 F （ ，0），e=第 18 页（共 23 页）0 00201 21 22 2121 20 02 2122 2（）求椭圆 C 的方程

33、；（）如图，设 R（x ，y ）是椭圆 C 上一动点，由原点 O 向圆（x x ）2+（yy ） =4 引两条切线，分别交椭圆于点 P，Q，若直线 OP，OQ 的斜率存在，并 记为 k ，k ，求证：k k 为定值；（）在（）的条件下，试问 OP +OQ 是否为定值？若是，求出该值；若不是， 说明理由【分析】（）由题意得，c，a，推出 b，即可得到椭圆的方程（）由已知，直线 OP：y=k x，OQ：y=k x，且与圆 R 相切，列出方程，说明k ，k 是方程的两个不相等的实数根，推出 ，通过点 R（x ，y ）在椭圆 C 上，化简求解即可（）OP +OQ 是定值 18 设直线 OP：y=k x

34、，OQ：y=k x，联立得解同理，得，然后计算 OP +OQ =+化简求解即可【解答】（本小题满分 12 分）解：（）由题意得，解得 ，b= = （1 分）椭圆方程为（3 分）第 19 页（共 23 页）121 20 02 2122 22（）由已知，直线 OP：y=k x，OQ：y=k x，且与圆 R 相切，化简得同理k ，k 是方程 ，0，（5 分）的两个不相等的实数根（7 分）点 R（x ，y ）在椭圆 C 上，所以 ，即（8 分）（）OP +OQ 是定值 18 设直线 OP：y=k x，OQ：y=k x， ，联立解得同理，得由 OP +OQ =+（10 分）=，OP2+OQ= =第 20

35、 页（共 23 页）2 2x2x2xxminxx=综上：OP +OQ =18 （12 分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分 类讨论思想、转化思想以及计算能力21（12 分）已知函数 f（x）=e 1xax （）当 a=0 时，求证：f （x）0；（）当 x0 时，若不等式 f （x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围； （）若 x0，证明（e 1）ln （x+1）x 【分析】（）求出函数的导数，解关于 x 的不等式，求出函数的单调区间，得 到函数的最小值，证出结论即可；（）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，根据 【解答】解：（）a=

36、0 时，f（x）=e 1x，f（x）=e1（1 分）当 x（，0）时，f（x）0； 当 x（0，+）时，f（x）0（2 分） 故在单调递减，在单调递增， f（x） =f （0）=0，f（x）0（3 分）（）f（x）=e12ax，令 h（x）=e12ax，则 h（x）=ex2a1）当 2a1 时，在0，+）上，h（x）0，h（x）递增，h（x）h （0）， 即 f（x）f（0）=0，f（x）在0，+）为增函数，f（x）f（0）=0，时满足条件；（5 分）2）当 2a1 时，令 h（x）=0，解得 x=ln2a，当 x0，ln2a）上，h（x）0，h（x）单调递减，x（0，ln2a ）时，有 h（x）h（0）=0，即 f（x）f（0）=0， f（x）在区间（0，ln2a）为减函数，f（x）f（0）=0，不合题意（7 分）第 21 页（共 23 页）xxx2222综上得实数 a 的取值范围为（8 分）（）由（）得，当 a= 时，x0，e 1+x+，即 e 1x+ ，欲证不等式（e 1）ln（x+1）x ，只需证 ln （x+1）（10 分）设 F（x）=ln（x+1） ，则 F（x）=，x0 时，F（x）0 恒成立，且 F（0）=0 ，F（x）0 恒成立所以原不等式得证（12 分）【点评】本题考查了函数的单调