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1、2300xx0x.3.1导数的概念及运算最新考纲1. 了解导数概念的实际背景2. 通过函数图象直观理解导数的几何意义考情考向分析导数的概念和运算是高考的 必考内容，一般渗透在导数3.能根据导数定义求函数 yc(c 为常数)，yx，yx ， 的应用中考查；导数的几何1yx ，y ，y x的导数x4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算 法则求简单函数的导数.意义常与解析几何中的直线 交汇考查；题型为选择题或 解答题的第(1)问，低档难度.1导数与导函数的概念y f(xx)f(x)(1)一般地，函数 yf(x)在 xx 处的瞬时变化率是 lim lim ，我们称它为0x0 x0函数 yf(
2、x)在 xx 处的导数，记作 f(x )或 y|0 0x xy，即 f(x ) lim lim 0x0 x0f(xx)f(x) 0 0x(2)如果函数 yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新 函数，这个函数称为函数 yf(x)在开区间(a，b)内的导函数记作 f(x)或 y.2导数的几何意义函数 yf(x)在点 x 处的导数的几何意义，就是曲线 yf(x)在点 P(x ，f(x )处的切线的斜率 k，0 0 0*1xxxx2xx 1x即 kf(x )03基本初等函数的导数公式基本初等函数f(x)c(c 为常数)f(x)x (Q )f(x)sinxf(
3、x)cosxf(x)ef(x)a (a0，a1)f(x)lnxf(x)log x(a0，a1)a4.导数的运算法则若 f(x)，g(x)存在，则有(1) f(x)g(x)f(x)g(x)；(2) f(x) g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；导函数 f(x)0f(x)xf(x)cosx f(x)sinxf(x)ef(x)a lna1f(x)x1f(x)xlna(3)f(x) f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)g(x) g(x)概念方法微思考1根据 f(x)的几何意义思考一下，|f(x)|增大，曲线 f(x)的形状有何变化？提示|f(x)|越大，曲线 f(x)的形状越来越陡峭2
4、直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？ 提示 不一定题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)f(x )是函数 yf(x)在 xx 附近的平均变化率( 0 0(2)f(x )f(x ).( )0 0(3)(2 )x2 .( )题组二 教材改编2P85A 组 T5若 f(x)xe ，则 f(1)_.)x xx 1222xcosxsinx 42 22答案 2e解析 f(x)e xe ，f(1)2e.3P85A 组 T6曲线 y1答案 2xy102在点(1，1)处的切线方程为_ x22解析 y ，y|(x2)2.所求切线方程为 2xy10.题组三 易错自纠4如
5、图所示为函数 yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么 yf(x)，yg(x)的图象可能是( )答案 D解析 由 yf(x)的图象知，yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数 yf(x)的切线的斜 率在(0，)上也单调递减，故可排除 A，C.又由图象知 yf(x)与 yg(x)的图象在 xx 处相交，说明 yf(x)与 yg(x)的图象在 x0x 处的切线的斜率相同，故可排除 B.故选 D.0sinx 5若 f(x) ，则 f _.x4答案 解析 f(x) ，f .x6(2017 天津)已知 aR ，设函数 f(x)axlnx 的图象在点(1，f(1)处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截
6、距为答案 1242 22xxx xxx 2x21解析 f(x)a ，f(1)a1.x又f(1)a，切线 l 的斜率为 a1，且过点(1，a)， 切线 l 的方程为 ya(a1)(x1)令 x0，得 y1，故 l 在 y 轴上的截距为 1.题型一 导数的计算x1 已知 f(x)sin21答案 cosx 2x12cos ，则 f(x).x解析 因为 ysin2cosx 1 sinx，1所以 y sinx1 1 (sinx) cosx.2 2cosx2已知 y ，则 y_.esinxcosx答案 e解析 ycosx (cosx)e cosx(e) e (e)sinxcosx .e3f(x)x(201
7、9lnx)，若 f(x )2020，则 x .0 0答案 1解析1f(x)2019lnxx 2020lnx，x由 f(x )2020，得 2020lnx 2020，x 1. 0 0 04若 f(x)x 2x f(1)，则 f(0).答案 4解析 f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即 f(1)2，f(x)2x4，f(0)4.1x1200 0332思维升华 1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避 免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错(2)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导题型二 导数的几何意义命题点 1 求切线方
8、程2x1例 1(1)(2018 湖北百所重点高中联考)已知函数 f(x1) ，则曲线 yf(x)在点(1，f(1)x1处切线的斜率为( )A1B1C2D2答案 A2x1 2x1解析 由 f(x1) ，知 f(x) 2 .x x1f(x) ，f(1)1.x由导数的几何意义知，所求切线的斜率 k1.(2)已知函数 f(x)xlnx，若直线 l 过点(0，1)，并且与曲线 yf(x)相切，则直线 l 的方程为 答案 xy10解析 点(0，1)不在曲线 f(x)xlnx 上，设切点为(x ，y )又f(x)1lnx，0 0直线 l 的方程为 y1(1lnx )x.0y0x0lnx0，由y1(1lnx
9、)x，解得 x 1，y 0.0 0直线 l 的方程为 yx1，即 xy10.命题点 2 求参数的值例 2(1)直线 ykx1 与曲线 yx axb 相切于点 A(1，3)，则 2ab. 答案 1解析 由题意知，yx axb 的导数为 y3x a，3221ab3，则312ak，k13，由此解得 k2，a1，b3，2ab1.1 7(2)已知 f(x)lnx，g(x) x mx (m0)，直线 l 与函数 f(x)，g(x)的图象都相切，与 f(x)图2 2象的切点为(1，f(1)，则 m.答案 21解析 f(x) ，直线 l 的斜率 kf(1)1.x又 f(1)0，切线 l 的方程为 yx1.g(
10、x)xm，设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x ，y )，0 01 7则有 x m1，y x 1，y x mx ，m0，所以 2 2，所以 a 的取值范围是(，2)x1 1已知函数 f(x) cosx，则 f()f 等于( )3 1 3 1A B C D 答案 C1 1 1 2 3解析 因为 f(x) cosx (sinx)，所以 f()f (1) . 2(2018 衡水调研)设 f(x)xlnx，若 f(x )2，则 x 的值为( )0 0ln2Ae BeC. Dln22答案 B解析 由 f(x)xlnx，得 f(x)lnx1.根据题意知，lnx 12，0所以 lnx 1，即 x e.
11、0 03曲线 ysinxe 在点(0,1)处的切线方程是( )Ax3y30 C2xy10 答案 C解析 ycosxeBx2y20D3xy10，故切线斜率 k2，切线方程为 y2x1，即 2xy10.x44xxx xx x44设函数 f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数 f(x)的图象可能是( )答案 C解析 原函数的单调性是当 x0 时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增，故当 x0；当 x0 时，f(x)的符号变化依次为，.故选 C.5已知点 P 在曲线 y4上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是( e 1)A.3，B. ，4 2C. 3，2 4D.
12、 0，答案 A解析 求导可得 ye4e，2e e 22 e e 24，当且仅当 x0 时，等号成立，y1,0)，得 tan1,0)，3又 0，)， 0)，对 y x 3ln x 求导得 y x ，可令切线的斜率为4 2 x 23 1m ，解方程可得 m2(舍去负值)m 219若曲线 ylnx 的一条切线是直线 y xb，则实数 b 的值为2答案 1ln21解析 由 ylnx，可得 y ，设切点坐标为(x ，y )，由曲线 ylnx 的一条切线是直线 yx 0 01 1 1xb，可得 ，解得 x 2，则切点坐标为(2，ln2)，所以 ln21b，b1ln2.2 x 2 0010(2018 泰安模
13、拟)若曲线 f(x)acosx 与曲线 g(x)x bx1 在交点(0，m)处有公切线，则 ab.答案 1解析 依题意得，f(x)asinx，g(x)2xb，f(0)g(0)，即asin020b，得 b0.又 mf(0)g(0)，即 ma1，因此 ab1.11.已知 f(x)，g(x)分别是二次函数 f(x)和三次函数 g(x)的导函数，且它们在同一平面直角 坐标系内的图象如图所示2232222322 3322(1) 若 f(1)1，则 f(1)；(2) 设函数 h(x)f(x)g(x)，则 h(1)，h(0)，h(1)的大小关系为(用“”连接)答案解析(1)1 (2)h(0)h(1)h(1)
14、(1)由题图可得 f(x)x，g(x)x ，设 f(x)ax bxc(a0)，g(x)dxexmxn(d0)，则 f(x)2axbx，g(x)3dx 2exmx ，1 1故 a ，b0，d ，em0，2 31 1所以 f(x) x c，g(x) x n，2 31由 f(1)1，得 c ，21 1则 f(x) x ，故 f(1)1.2 21 1(2)h(x)f(x)g(x) x x cn，2 35则有 h(1) cn，h(0)cn，61h(1) cn，故 h(0)h(1)0，即 m 即可，故选 B.e e14已知曲线 f(x)xlnx 在点(e，f(e)处的切线与曲线 yx a 相切，求实数 a
15、 的值解因为 f(x)lnx1，所以曲线 f(x)xlnx 在 xe 处的切线斜率为 k2，则曲线 f(x)xlnx 在点(e，f(e)处的切线方程为 y2xe. 由于切线与曲线 yx a 相切，故 yx a 可联立 y2xe，得 x2xae0，所以由 44(ae)0，解得 a1e.2x 0 xxm15给出定义：设f(x)是函数 yf(x)的导函数，f(x)是函数 f(x)的导函数，若方程 f(x) 0 有实数解x ，则称点(x ，f(x )为函数 yf(x)的“拐点”已知函数f(x)5x4sin xcosx 的“拐0 0 0点”是 M(x ，f(x )，则点 M( )0 0A 在直线 y5x
16、 上B 在直线 y5x 上C 在直线 y4x 上D 在直线 y4x 上答案 B解析 由题意，知 f(x)54cosxsinx，f(x)4sinxcosx，由 f(x )0，知 4sinx cosx 0，0 0 0所以 f(x )5x ，0 0故点 M(x ，f(x )在直线 y5x 上0 0316已知函数 f(x)x .x(1) 求曲线 f(x)过点(0，3)的切线方程；(2) 证明：曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形的面积为定 值，并求此定值解3(1)f(x)1 ，x3设切点为(x0，y0)，则曲线 yf(x)在点(x0，y0)处的切线方程为 yy0 1 2 (xx0)，0切线过(0，3)，3 33 x 1 2 (x0)，0 01解得 x 2，y ，0 0 21 7所求切线方程为 y (x2)，2 47即 y x3.43(2)设 P(m，n)为曲线 f(x)上任一点，由(1)知过 P 点的切线方程为 yn 1 2 (xm)，3 3 2 m mm 2 m即 y m 1 (xm)，6令 x0，得 y ，m6从而切线与直线 x0 的交点为 0， ，令 yx，得 yx2m，从而切线与直线 yx 的交点为(2m,2m)，1 6点 P(m，n)处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形的面积 S |2m|6，为定 值