《北京市朝阳区2020届高三上学期期中质量检测数学试题 Word版含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市朝阳区2020届高三上学期期中质量检测数学试题 Word版含答案.docx（20页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、x -xa b*北京市朝阳区 20192020 学年度第一学期高三年级期中 数学试卷201911（考试时间 120 分钟满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。（1）已知集合A =x Z x2a ”是“ a 为递减数列”的n 1 2 n（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（8
2、）设F1，F2为椭圆 C ：x 2 y 2+ =1 的两个焦点， M 为 C 上一点且在第二象限.若 9 5 MF F1 2A B第二部分为等腰三角形，则点 M 的横坐标为（A）3 15 15 3 （B） （C） - （D） -2 2 2 2（9）在 ABC 中， BAC =90 ， BC =2 ，点 P 在 BC 边上，且 AP (AB +AC ) =1 ，则 AP 的取值范围是1 1（A） ( , 1 （B） ,12 2（C） (2 2 ,1 （D） ,12 2（10）已知集合 A ， B 满足：（） A B =Q ， A B =；（） x A ，若 x Q 且 x y 1 2 2 1给出
3、以下命题：，则 x A2，则 y B 2；. 若集合A中没有最大数，则集合B中有最小数；234若集合 A 中没有最大数，则集合 B 中可能没有最小数； 若集合 A 中有最大数，则集合 B 中没有最小数；若集合 中有最大数，则集合 中可能有最小数.其中，所有正确结论的序号是（A） （B） （C）（D）（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（11） 已知向量 a =(1,-1) ， b =(3, m ) ，且 a /b ，则 m =_ （12） 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为_，最长棱的长度为_11正（主）视图1侧（左）视图（第 12 题图）
4、（13 ）已知直线 x -2 y +a =0 与圆 O : x2+y2=2相交于 A ， B 两点（ O 为坐标原点），且俯视图 AOB 为等腰直角三角形，则实数 a 的值为_（14）已知 a ， b 是实数，给出下列四个论断： a b ；1 10 ； b 0 .以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：-，_a x 2（15）已知函数 f ( x ) = xex -1, x b 0) a 2 b 2经过两点P (1,22)， Q ( - 2,0) .（）求椭圆 C 的标准方程； （）过椭圆的右焦点 F 的直线 l圆交于另一交椭圆 C 于 A ， B 两点，且直
5、线 l与以线段 FP 为直径的点 E （异于点 F ），求 AB FE 的最大值.（21）（本小题 14 分）已知函数 f ( x ) =ln xx +a( a 0)（）求曲线 y = f ( x ) 在点 (1, f (1) 处的切线方程；（）当 a =1 时，证明： f ( x)x -12；（）判断 f ( x)在定义域内是否为单调函数，并说明理由（22）（本小题 13 分）已知无穷数列 a ， b ， c 满足： n N *， a =| b | -| c | ， b =| c | -| a | ，n n n n +1 n n n +1 n nc =| a | -| b | 记 d =ma
6、x| a |,| b |,| c | （ max x, y , z 表示 3 个实数 x ， y ， z 中的最 n +1 n n n n n n大值）（）若 a =1 ， b =2 ， c =3 ，求 b ， c 的可能值；1 2 3 1 1（）若 a =1 ， b =2 ，求满足 d =d 的 c 的所有值；1 1 2 3 1（）设 a ， b ， c 是非零整数，且| a | ，| b | ， | c | 互不相等，证明：存在正整数 k ，使 1 1 1 1 1 1得数列 a ， b ， c 中有且只有一个数列自第 k 项起各项均为 0 n n n， ，北京市朝阳区 20192020 学
7、年度第一学期高三年级期中质量检测数学参考答案201911第一部分（选择题共 40 分）一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项）（1）C（2）C （3）D （4）B （5）D（6）B （7）B（8）D （9）A（10）B第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）1（11） -3 （12） ， 3 （13） 561 1（14）若 a b ， b 0 ，则 a b（答案不唯一）（15）121； ( -,0 （16） ； 40112三、解答题（共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字
8、说明、演算步骤或证明过程） （17）（本小题 13 分）解：（）因为 APC =60，所以 APB =120.在 ABP 中，AB =2 7， APB =120， BP =2，由余弦定理 AB2=AP2+BP2-2 AP BP cos APB，得AP2+2 AP -24 =0.所以AP =4.6 分（）在APC中，AP =4 PC =1 APC =60，由余弦定理 AC2=AP2+PC2-2 AP PC cos APC ，得 AC = 13 由正弦定理AP AC=sin ACP sin APC 4 13= ，sin ACP sin 60，得所以sin ACP =2 391313 分（18）（本
9、小题 13 分）解：（）设a的公比为 nq，因为a =16,2 a +3a =32 1 3 2，n所以2 q2+3q -2 =0解得 q =-2（舍去）或q =12因此an的通项公式为1a =16 ( )2n -1=25-n6分（）由（）得b =3(5 -n )log 2 =15 -3n n 2，当 n 2 时， b -bn n -1=-3，故b 是首项为 b =12 ，公差为 -3的单调递减等差数列. n 1则S =12n + n1 3n (n -1)(-3) =- ( n2 -9n) 2 2.又b =05，所以数列bn的前4 项为正数，所以当 n =4 或 5 时， S 取得最大值，且最大
10、值为nS =S =30 4 513分（19）（本小题 14 分）解：（）如图，取 PA 中点 F ，连结 EF , BF . 因为 E 为 PD 中点， AD =4 ，P所以 EF / AD ， EF =12AD =2 .又因为 BC /AD ， BC =2 ， 所以 EF / BC ， EF =BC ， 所以四边形 EFBC 为平行四边形. 所以 CE /BF .FE又因为 CE 平面 PAB ,BF 平面 PAB ，AD所以 CE / 平面 PAB .4 分（）取 AD 中点 O ，连结 OP ， OB .因为 PAD 为等边 三角形，所以 PO OD .BC又因为平面 PAD 平面 AB
11、CD ，平面 PAD 平面 ABCD = AD ， 所以 PO 平面 ABCD .因为 OD / / BC ， OD =BC =2 ，所以四边形 BCDO 为平行四边形.因为 CD AD ，所以 OB OD .如图建立空间直角坐标系 O -xyz ，则 A(0, -2,0), B (2,0,0), C (2,2,0), E (0,1, 3), P (0,0,2 3) .所以 AC =(2,4,0), AE =(0,3, 3) .P设平面 ACE 的一个法向量为 n =( x, y , z ) ，1EADyBxC1 2则n AC =0, 1 即n AE =0, 12 x +4 y =0, 3 y
12、 + 3 z =0.令 x =-2，则 n =( -2,1,- 3) .1显然，平面 ACD 的一个法向量为 n =(0,0,1) ，2所以 cos = 1 2n n - 3 6 1 2 = =-n n 2 2 4 1 2.由题知，二面角 E -AC -D 为锐角，6所以二面角 E -AC -D 的余弦值为 .10 分4（）直线 AB 上存在点 Q ，使得 PQ / 平面 ACE .理由如下：设 AQ =lAB .因为 AB =(2,2,0)， PA =(0, -2, -2 3) ，所以 AQ =lAB =(2l,2l,0)， PQ =PA +AQ =(2l,2l-2, -2 3) 因为 PQ
13、 平面 ACE ，所以 PQ /平面 ACE 当且仅当 PQ n =0 .1即 (2l,2l-2, -2 3) (-2,1, - 3) =0 ，解得 l=2 .所以直线 AB 上存在点 Q ，使得 PQ / 平面 ACE ，此时 （20 ）（本小题 13 分）AQAB=2 14 分x 2 y 2解：（）因为椭圆 C : + =1(a b 0) 过点 P (1,a 2 b 222)， Q ( - 2,0) ，a = 2, a = 2, 所以 1 1 得 + =1, b=1, a2 2b 2故椭圆 C 的标准方程为x 22+y 2 =14 分（）由题易知直线 l的斜率不为 0，设 l：x =ty
14、+1，由x =ty +1, x2+y 2 =1, 2得( t2+2) y2+2 ty -1 =0，显然 D0 .设A( x , y ), B ( x , y ) 1 1 2 2，则y +y =1 2t-2t, y y =2 +2 t-12 +2.又 AB = 1 +t 2 y -y12.2以 FP 为直径的圆的圆心坐标为(1,24)，半径为r =24，故圆心到直线 l的距离为 d =1 -2t -141 +t 2=2t41 +t2.所以FE =2 r 2 -d 2 =21 1 t- 8 8 t 22 2 1=+1 2 t 2 +1.所以AB FE =22y -y =1 222( y +y )
15、1 22-4 y y1 2=224t 2 4 2 + =(t 2 +2) 2 t 2 +2 28t 2 +8 (t 2 +2) 2=2t 2 +1 (t 2 +2) 2=2(t211+1) + +2 t 2 +1，因为 t 2 +11 ，所以 (t +1) +t21+12 ，即(t21+1) +t21+1+214所以 AB FE 214=1当 t =0 时，直线与椭圆有交点，满足题意，且AB FE =1，所以 AB FE（21）（本小题 14 分）的最大值为113 分解：函数 f ( x )的定义域为 (0，+)， f(x) =a -ln x + +1x ( x +a ) 2（）因为 f (1
16、) =0，f(1)=1a +1，所以曲线 y = f ( x) 在点 (1, f (1) 处的切线方程为y -0 =1a +1( x -1)，即 x -( a +1) y -1 =04 分（）当a =1时，f ( x ) =ln xx +1欲证f ( x)x -12，即证ln x x -1 ，x +1 2即证 2ln x -x 2 +10令h ( x) =2ln x -x2+1，则 h(x) =2 -2( x -1)(x +1) -2 x =x x当x变化时， hxh(x)h( x )(x), h ( x)变化情况如下表： (0,1)10+极大值(1, +)-所以函数 h( x)的最大值为 h
17、(1) =0，故 h( x) 0 所以f ( x)x -129分（）函数 f ( x)在定义域内不是单调函数理由如下：令 g ( x) =-ln x +ax+1，因为 g1 a x +a(x) =- - =- 0且g (e a +1) =-ln e a +1 +eaa +1+1 =a (e1a +1-1) 0，从而 f(x) 0，所以函数 f ( x)在 (0, m )上单调递增；当 x (m, +)时， g ( x) 0，从而 f (x) 0，所以函数 f ( x )在 ( m, +)上单233调递减故函数 f ( x )（22）（本小题 13 分）在定义域内不是单调函数14 分解：（）由
18、b =| c | -| a | ，得 | c | -1 =2 ，所以 c =3；2 1 1 1 1由 c =| a | -| b | ，得 | a | -2 =3 ，所以 a =5，3 2 2 2 2又 a =| b | -| c |=|b | -3 -3 ，故 a =5 ， | b |=8 ， b =8 2 1 1 1 2 1 1所以 b ， c 的所有可能值为1 1b =8 ， c =3 ；1 1b =8 ， c =-3；1 1b =-8， c =3 ；1 1b =-8， c =-33 分1 1（）若 a =1 ， b =2 ，记 c =x,1 1 1则a =2-| x |, b =|x
19、| -1, c =-1 2 2 2，2-| x |,0 | x | 1, d =1, 1 | x | 2, | x | -1,| x | 2,a =| x | -1| -1， b =1-| 2-| x | ， c =|2-| x | -| x | -1| ，3 3 3当 0 | x |1 时， a =-| x |, b =| x | -1, c =1 ， d =1 ，由 d =d ，得 | x | =13 3 3 3 3 2，不符合；当 1 | x |2 2-| x |,1 | x |1.5,d =|x | -1,1.5 | x | 2,时 ，a =| x | - 332 b =, x -|2
20、|c，= 1-, x由 d =d3 2 当 | x | 2，得 | x |=1 ，符合；时， a =|x | -2, b =3-| x |, c =-13 3 3，1, 2 | x | 3, d =|x | -2,| x | 3,-2 - ,由 d =d ，得 | x |=2 ，符合；3 2综 上 ， c 的 所 有1. 8 分取值是（）先证明“存在正整数 k 3 ，使 a , b , ck k k中至少有一个为 0”假设对任意正整数k3，a , b , c k k k都不为 0，由a , b , c 1 1 1是非零整数，且| a |,| b |,| c | 1 1 1互不相等，得d N1*
21、，d N2*若对任意k3，a , b , c k k k都不为 0，则d Nk*，即对任意 k1，d Nk*当 k 1 时，| ak +1|=|b | -| c |max|b |,| c |k k k kd ,k| bk +1|=| c | -| a | d ,| ck k k k +1|=| a | -| b | dk kk，所以，dk +1=max|ak +1|,| bk +1|,| ck +1|dk所以，d k严格单调递减，由d2为有限正整数，所以，必存在正整数 m 3 ，使得 d 0 ，矛盾m所以，存在正整数 k 3 ，使 a , b , ck k k中至少有一个为 0不妨设a =0k
22、，且a 01，a 02， ，ak -10，则| bk -1|=|ck -1|，且| bk -1|=|ck -1|ak -1|，否则，若| bk -1|=|ck -1|=|ak -1|，因为ak -1+bk -1+ck -1=0，则必有ak -1=bk -1=ck -1=0，矛盾于是，b =|ck k -1| -| ak -1|0, c =|akk -1| -| bk -1|0，且b =-ck k，所以，ak +1=0 ， bk +1=|c |, ckk +1=-| b |=-| c | k k，依次递推，即有：对 n k , a =0, bn n +1=|c |, c k n +1=-|c | k，且| c |0 k，此时有且仅有一个数列综上，结论成立13分a自第k 项起各项均为 0 n