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1、Ca b c正弦定理的几种证明方法1.利用三角形的高证明正弦定理（1）当 DABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据锐角三角函数的定义， 有 CD =asin B , CD =b sin A 。由此，得asinA=bsinB，同理可得csin C=bsin B，b a故有asinA=bsinB=csinCA.从而这个结论在锐角三角形中成立.DB（2）当 DABC 是钝角三角形时，过点 C 作 AB 边上的高，交 AB 的延长线于点 D，根据锐角三角函数的定义，有 CD=asin CBD=asin ABC ，CD =b sin A 。由此，得asinA=bsin ABC，同理可得
2、csinC=bsin ABCC故有asinA=bsin ABC=csinC.ba由(1)(2)可知，在 DABC 中， = =sin A sin B sinC成立.AB D从 而 得 到 ： 在 一 个 三 角 形 中 ， 各 边 和 它 所 对 角 的 正 弦 的 比 值 相 等 ， 即asinA=bsinB=csinC.1用知识的最近生长点来证明：实际应用问题中，我们常遇到问题：已知点 A，点 B 之间的距AB|，可测量角 A 与角 B， 需要定位点 C，即：在如图ABC 中，已知角 A，角 B，ABc， 求边 AC 的长 b解：过 C 作 CDAB 交 AB 于 D，则DC =BD c
3、sin A c sin A cos C = =tan C sin C sin CAD = c cos Ab = AC = AD + DC = c cos A +cos Cc sin A cos C c(sin C cos A + sin A cos C ) c sin B= =sin C sin C sin CABCABCABCACCBCBABb c推论： =sin B sin C同理可证：a b c= = sin A sin B sin C2.利用三角形面积证明正弦定理已知 ABC, 设 BC a, CA b,AB c, 作 AD BC, 垂足为 则 Rt ADBAD中, sin B = A
4、B1 1 1 1S = a AD = ac sin B 同理,可证 S = ab sin C = bc sin A 2 2 2 21 1 1 S = ab sin C = bc sin A = ac sin B 2 2 2CADB在等式两端同除以 ABC,可得 3.向量法证明正弦定理sin C sin A sin B a b c = = 即 = = .c a b sin A sin B sin C(1)ABC 为锐角三角形,过点 A 作单位向量 j 垂直于 ,则 j 与AB的夹角为90-A,j 与 的夹角为 90-C由向量的加法原则可得AC +CB =AB为了与图中有关角的三角函数建立联系 ,
5、我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到j (AC +CB) =j AB由分配律可得AC +j CB = j AB|j|ACCos90+|j|CBCos(90-C)=|j|ABCos(90-Aja c=sin A sin C另外,过点 C 作与 垂直的单位向量 j,则 j 与 AC 的夹角为 90+C,j 与c b角为 90+B,可得=sin C sin BAB的夹C(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为 j 与a b c为 90-C,j 与 的夹角为 90-B = =sin A sin B sin CAC的夹角=jCB(2)ABC 为钝角三角形,不妨设 A
6、90,过点 A 作与AC垂直的单位向量 j,则 j与AB的夹角为 A-90,j 与CB的夹角为 90-CC由AC+CB =AB,得 jACjCB ABj即 aCos(90-C)=cCos(A-Aa c =sin A sin CA B另外,过点 C 作与 垂直的单位向量 j,则 j 与AC的夹角为 90+C,j 与AB夹角为B.同理,可得b c a b c= . = =sin B sin C simA sin B sin C4.外接圆证明正弦定理在ABC 中,已知 BC=a,AC=b,AB=c,作ABC 的外接圆,O 为圆心, 连结 BO 并延长交圆于 B,设 BB=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所 对的圆周角相等可以得到c cBAB=90，C =B ，sinC=sinB= sin C =sin B = =2 R2 R sin Ca b a b c同理,可得 =2 R , =2 R = = =2 Rsin A sin B sin A sin B sin C这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式a b c= =sin A sin B sin C