第12讲立体几何中球的综合问题.docx

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1、2 第十二讲立体几何中球的综合问题A 组一、选择题1(2018 年高考全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O ， O ，过直线 O O1 2 1 2面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）的平A12 2 B12C8 2 D10【答案】B【解析】过直线O O1 2的平面截该圆柱所得 的截面是面积为 8 的正方形，所以圆柱的高为2 2 ， 底 面 圆 的 直 径 为 2 2 ， 所 以 该 圆 柱 的 表 面 积 为2 p( 2)2+2 2p2 2 =12p故选 B2三棱柱ABC -A B C 1 1 1的各个顶点都在球 O 的球面上，且 AB =AC =1, B

2、C =2, CC 1平面 ABC 。若球 O 的表面积为 3p ，则这个三棱柱的体积是（ ）A1 1B6 3C12D1【答案】C【 解 析 】AB =AC =1, BC = 2, AB AC, CC 平 面 ABC , 三 棱 柱1ABC -A B C 1 1 1内 接 球O,O为 距 形BCC B1 1的 中 心 , 设 球O半 径 为r, 则4pr23 3=3p,r = ,即 OC =r = , 三棱柱的高 h =2 r2 221 - BC =1 , 三棱 2 柱的体积V =SDABC1 1 h = 111=2 2,故选 C。3球 O 的球面上有四点S , A, B, C ，其中 O, A

3、, B, C 四点共面， DABC 是边长为 2 的正三12角形，面 SAB 面 ABC ，则棱锥 S -ABC 的体积的最大值为（ ）A33B3C2 3D4【答案】A【解析】设球心和DABC的外心为O，延长CO交AB于点P，则由球的对称性可知PD AB ，继而由面 SAB 面 ABC 可得 PD DABC所在的平面，所以PD是三棱锥的高；再由O, A, B, C四点共面可知 O 是 DABC 的中心，故 OP =3 2 3, R =3 3，当三棱锥的体积最大时，其高为PD = (2 3 3 ) 2 -( )3 32=1，故三棱锥的体积的最大值为1 3 3 2 2 1 =3 4 3，应选 A。

4、4如图所示，直四棱柱ABCD -A B C D1 1 1 1内接于半径为3的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时， AB的长为（ ）A1B2C3D2【答案】D【 解 析 】 设AB =x, 则OB =21 x , BB = 3 - x222, 所 以 直 四 棱 柱 的 体 积 为V =x21 1 3 - x , 令 3 - x2 22=t, 则 x 2 =6 -2t2, 则V =(6 -2t 2 )t =-2t 3 +6t, 故V / =-6t 2 +6 =-6(t -1)(t +1),所以当t =1时,即x =2时,体积V最大.故应选 D.5在正三棱锥 S -ABC 中，

5、 M 是 SC 的中点，且 AM SB ，底面边长 正三棱锥 S -ABC 的外接球的表面积为（ ）AB =2 2，则A 6p B12p C32pD36p【答案】B【解析】根据三棱锥为正三棱锥，可证明出 ACSB，结合 SBAM，得到 SB平面 SAC，因 此可得 SA、SB、SC 三条侧棱两两互相垂直最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表 面积公式，可得正三棱锥 S-ABC 的外接球的表面积取 AC 中点，连接 BN、SN，N 为 AC 中点，SA=SC，ACSN，同理 ACBN，SNBN=N，AC平面 SBN，SB平面 SBN，ACSB，SBAM 且 ACAM=A，SB平面 SACSBS

6、A 且 SBAC，三棱锥 S-ABC 是正三棱锥，SA、SB、SC 三条侧棱两两互相垂直AB =2 2，侧棱 SA=2， 底面边长正三棱锥 S-ABC 的外接球的直径为：2 R =2 3 , R =3，正三棱锥 S-ABC 的外接球的表面积是 S =4pR 2 =12p，故选：B二、填空题6（2017 年天津卷）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 【答案】9 2【解析】设正方体边长为a，则 6 a2=18 a2=3，外接球直径为 2R =3a =3,V =4 4 27 9 R 3 = = 3 3 8 2.7底面是同一个边长为a的正三角形的两个三

7、棱锥内接于同一个球，它们顶点的连线为球的直径且垂直于底面，球的半径为 R 。设两个三棱锥的侧面与底面所成的角分别为a、 b，则tan(a+b)的值是 。【答案】-4 3 R3a.6PD PD1 - 【解析】如下图所示，右图为左图的纵切面图.如图可知，底面ABC为正三角形，D 为 BC 的中点，则AD BC，SD BC，MD BC，故 SDA和 MDA即为二面角a和 b；设 SM 交平面 ABC 于点 P，易知 P 点在 AD 上，且为 ABC 的重心.SM =2 R , AB =a ， AD =322 3 3 1 3 3a ， PA = a = a ， PD = a = a3 2 3 3 2

8、6，tan(a+b)=tan a+tan b 1 -tan atan b=SP MP 3a+ 2RPD SD PD SM= = = =- SP MP PD 2 -SP MP PD 2 -PA 2 a 2 a 2-PD PD 12 34 3R3a.8已知三棱锥 P -ABC 的所有棱长都相等，现沿 PA, PB , PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2 6，则三棱锥P -ABC的内切球的表面积为 .【答案】3p【解析】三棱锥P -ABC展开后为等边三角形，设边长x，则xsin A=2 2 6，则x =6 2因此三棱锥 P -ABC 的棱长为 3 2 ，三棱

9、锥 P -ABC 的高 2 3 ，设内切球的半径为 r ，1则 4 r S3DABC=13S 2 3DABC， r =32，求的表面积 S =4pr2 =3p.9. 已知球 O 的表面上有 P, A, B, C 四点，且 PA, PB, PC 两两互相垂直，若 PA =PB =PC =a ， 求这个球的表面积和体积解：设过 P, A, B 的平面截球所得截面圆心为 O ， PO 与球面1 1另 一 交 点 为 D . 因 为 PB PA ， 所 以 AB 是 圆 O 的 直 径 ， 且1AB =AP2+BP2= 2a .因为 PC PA, PC PB ，所以 PC 平面PAB ，又 OO 平面

10、 PAB ，所以OO / PC .如图，过 OO , PC 作平1 1 1面 a ，则直线 DP 为平面 a 和平面 PAB 的交线，点 O PD ，连12 23球222222接 CD ，在圆 O 中Q PC PD ， CPD 为直角，所以 CD 为圆 O 的直径.设圆 O 的半径为 R ，在 RtDCPD 中 ， CD = PC +PD = 3a ， 即 2R = 3 a ， 所 以 R =3a2. 所 以S =4pR 球2=3pa24 3 ,V = pR = pa3 23三、解答题10. 棱长为 2cm 的正方体容器中盛满水，把半径为 1cm 的铜球放入水中刚好被淹没，然后再 放入一个铁球

11、，使它淹没水中，要使流出的水量最多，这个铁球半径应该为多大？解 ： 过 正 方 体 对 角 线 的 截 面 图 如 图 所 示 ，AC =2 3, AO = 3, AS =AO -OS = 3 -1 . 设小球半径为 r ，1tan C AC = 112， 在DAO E1中 ，AO = 3r1，解得 r =(2 - 3) cm 为所求. AS =AO +O S 3 -1 = 3r +r1 111. 过 球 面 上 一 点 P 的 三 条 弦 PA, PB, PC ， 满 足 APB =BPC =CPA =60 PA =PB =PC = 6 ，求此球的表面积是解：由题意知，四面体 P -ABC

12、是球的内接正四面体.设 P 上.如图，连接 OC , P C ，设球半DABC 的中心，则球心 O 在 PP o，径 为 x， 则 OP =OC =x， 在 RtDOP C 中 ， OP =PP-x而PP = PC -P C = 6 -(33 6 ) =2，故OP =2 -x , CP =2 x =(2 -x ) +2 ，x=3 3 ，表面积为 S =4p（ ）22 2=9p12.将半径为 R 的四个球，两两相切地放在桌面上，求上面一个球的球心到桌面的距离。 解：设四个球心分别为 A,B,C,D，则四面体 A-BCD 是棱长为 2R 的正四面体，如图所示，过 A作 AH面 BCD 与 H，则

13、H 为DBCD 的中心，连接 BH 并延长交ACD 于 M，连接 AM，则BMCD,AMCD 且 AM=3R，HM=33R,所 以 AH=2 63R ， 故 上 面 一 球 的 球 心 到 桌 面 距 离 为BDH M(1 +2 63) R。CB 组一、选择题1 已 知 三 棱 锥P -ABC, 在 底 面DABC中 ,AB =1 A =60 , BC =3, PA 面ABC , PA =2 3,则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A163pB4 3pC32p3D16 p【答案】D【解析】底面三角形内，根据正弦定理，可得 AC =2 , AB2+BC2= AC2,满足勾股定理，ABC =900,

14、PA 底面ABC,所以PA BC,那么BC 平面 PAB,所以BC PB,那么直角三角形 PAC , PBC有公共斜边PC,所以三棱锥的外接球的球心就是PC的中点O , PC 是其外接球的直径， PC =4 ,所以外接球的表面积 S =4pR2=16p,故选 D.2如图, 在菱形ABCD中,BAD =60 , AB =2 3, E为对角线 BD的中点, 将 DABD沿 BD折起到 DPBD的位置，若 PEC =120，则三棱锥 P -BCD 的外接球的表面积为（ ）A28pB32pC16pD12p3【答案】A【解析】设 M , N分别是等边三角形 PBD , CBD的外心，则O N =1, N

15、C =2 1画出图象如下图 所 示 ， 由 图 象 可 知 ， MO N =120 , OO N =601 1, 故ON =1 tan 60 =3，R =OC = ON2+NC2= 3 +4= 7,外接球面积为 4pR 2 =4p7=28p.3已知三棱锥 SABC，满足 SASB，SBSC，SCSA，且 SA=SB=SC，若该三棱锥外接球的半径为 ，Q 是外接球上一动点，则点 Q 到平面 ABC 的距离的最大值为（ ）3 4 3A3 B2 C3D3【答案】D【解析】因为三棱锥S -ABC中， SA SB , SB SC , SC SA，且SA =SB =SC，所以三棱锥的外接球即为以 SA,

16、SB , SC为长宽高的正方体的外接球，因为该三棱柱外接球的半 径 为3， 所 以 正 方 体 的 对 角 线 长 为2 3， 所 以 球 心 到 平 面ABC的 距 离 为1 2 3 3 =2 3 3，所以点 Q 到平面 ABC 的距离的最大值为3 +3 4 3=3 3，故选 D4已知从点 P出发的三条射线 PA，PB，PC两两成60角，且分别与球O相切于 A，B，C三点若球O的体积为36，则O， P两点间的距离为( )（A）3 2（B）3 3（C）3 （D）6【答案】B【解析】连接 OP 交平面 ABC 于 O ，由题意可得： DABC 和 DPAB为正三角形，所以O A =3 AB 3

17、AP=3 3 因 为A O P，OOA，P A所 以O P=O AA P， 所 以A OOP =OA APAO= 3OA又因为球的体积为36p，所以半径OA =3，所以OP =3 3二、填空题5（2017 年新课标卷）已知三棱锥 S -ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O的直径若平面SCA平面SCB，SA =AC，SB =BC，三棱锥S -ABC的体积为 9 ，则球O的表面积为_【答案】36p【解析】取 SC 的中点 O ，连接 OA ， OB ，因为SA =AC，SB =BC，所以OA SC，OB SC因为平面SAC 平面SBC，所以平面OA 平面SBC设OA =r，所以

18、，所以球的表面积为32p6一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为3这个三棱柱的体积是_.，那么48 3【答案】【解析】由题意可得，球的半径为R =2，则正三棱柱的高为h =2 R =4，底面正三角形中心 到 各 边 的 距 离 为 R =2， 所 以 底 面 边 长 为4 3， 从 而 所 求 三 棱 柱 的 体 积 为V = S h = 3 (43)24=48.3故正确答案为 48 3 . 47若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为 【答案】3p【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得ABC及其内切圆O1和外切圆O2，且两圆同DABCDAF

19、DDABCDABCA -EFDA -BCD3DPBC圆心，即ABC的内心与外心重合，易得ABC为正三角形，由题意O 的半径为 r =1 1，ABC的边长为2 3，圆锥的底面半径为3，高为3， V =13p33=3p三、解答题8.已知棱长为 3 的正四面体 A-BCD，E,F 分别是棱 AB,AC 上的点，且 AF=2FC,BE=2AE,求四 面体 A-EFD 的内切球的半径。解：如图所示，设四面体 A-EFD 的内切球半径为 r ，球心为 O，连接 OA,OE,OF,OD,则VA -EFD=VO -AEF+VO -AFD+VO -ADE+VO -EFD， 四 面 体A-EFD的 各 面 面 积

20、 为SDAEF=2 3 2 3 3 S = , S = S =9 2 3 2,ASDAED=1 3 3S =3 4,DDEF各 边 边 长 分 别 为EEF=3，DF=DE=7，OD SDEFD=5 3 2 2 , V = V =4 9 2, 又BFVA-EFD1= r ( S +S +S +S ) DAEF DAFD DAED DDEF,C682 1 3 3 3 3 3 5 3 6= r ( + + + ) ，所以 r = ，故四面体 A-EFD 的内切球半径为 2 3 2 2 4 4 8。9.已知四面体 P-ABC，PA=4，AC= 2 7 ,PB=BC= 2 3 , PA 切球与外接球面

21、积的比。面 PBC,求四面体 P-ABC 的内解：由题意，已知PA 面 PBC，PA=4，AC=2 7,PB=BC=2 3，如图，由勾股定理得，AB =2 7, PC =2 3 ,所以 DPBC 为等边三角形，DABC 为等腰三角形，等边三角形 PBC所 在 小 圆 的 直 径PD =2 3sin 60=4， 那 么 四 面 体 P-ABC 的 外 接 球 直 径AD=2R=16 +16 =4 2，所以R =2 2，VP -ABC=1 1 3S PA = 124=4 3 3 3 4,表 面 积S =1 3 12 3 42+ 12+ 2 3 5=16 3 2 4 2. 设 内 切 球 半 径 为

22、 r ， 那 么球333正四面体1 34 3 = 16 3r ， 所 以 r = ， 故 四 面 体 P-ABC 的 内 切 球 半 径 与 外 接 球 半 径 的 比 3 4342 2=3 2163 2，即表面积之比为 。1610.球与正四面体的六条棱都相切，则球与正四面体的体积比是多少？解：如图，设正四面体棱长为a，球半径为 R，取 AB 中点 E，CD 中点 F，连接 AF，BF,EF, 则 AF=BF=32a ， EF AB, 同 理 可 得AEF CD , EF是 AB,CD 的公垂线段，则 EF 的长是AB,CD的距 离 ，EEF =AF2-AE2=3 1 2 a 2 - a 2

23、= a4 4 2，又由D球与正四面体的六条棱相切，得 EF 是该球的直径，即BF2R =2 2a a, R 3 =2 323，CV =球4 4 2 2 2 V pR3 = p a = pa ，又 V = a ，故3 3 32 24 12 V正四面体=p2。11.已知正三棱锥 P-ABC，点 P,A,B,C 都在半径为 求正三棱锥 P-ABC 外接球球心到截面 ABC 的距离。3的球面上，若 PA,PB,PC 两两垂直，解：把正三棱锥补成正方体，如图所示，可知外接球球心DO 为体对角线 PD 的中点，且 PO=3，又 P 到平面 ABC 的距B离为h，VP -ABC=VB -APC,则O1 3

24、1 1 2 3 (2 2) 2 h= 222,h =3 4 3 2 3，则球心 O 到A截面 ABC 的距离为 PO=h=33。CP( )2C 组一、选择题1已知 A, B, C三点都在以O为球心的球面上， OA, OB , OC两两垂直，三棱锥O -ABC的体积为43，则球O的表面积为（ ）A.16p 32 pB.16 p C.3 3D.32 p【答案】B【解析】设球的半径为 R ，由题意 OA =OB =OC = R，可得三棱锥 O -ABC 体积，4 1 1= R3 3 22R，解得 R =2，则球的表面积为 S =4pR2=4p22=16p，故选 B.2三棱锥 P -ABC 的四个顶点

25、均在半径为 2 的球面上,且AB =BC =CA =2 3，平面PAB 平面ABC，则三棱锥P -ABC的体积的最大值为（ ）A4 B3 C4 3D3 2【答案】B【解析】根据题意：半径为2 的球面上，且 三角形，AB =BC =CA =2 3 , DABC 为截面为大圆上设圆形为O， AB的中点为N，ON =2 2-3 =1,平面 PAB 平面 ABC， 三棱锥 P -ABC 的体积的最大值时，PN AB, PN 平面ABC ， PB =2 2-1=3， 三棱锥 P -ABC 的体积的最大值为1 33 4 2 3 3 =3.3已知四面体ABCD的一条棱长为a，其余棱长均为2 3，且所有顶点都

26、在表面积为20p的球面上，则 a 的值等于（ ）A3 3B2 5C3 2D32【答案】A【解析】如图所示的四面体 ABCD 中，设 AC =a ，其余的棱长均为 2 3 ，取 BD的中点 E，连接 AE , CE ，则 AE =CE =3，又所有顶点都在表面积为 20p 的球面上，所以球的半径为R =5，球心O落在线段 EF上，且a a 2EF = 32 -( ) 2 = 9 -2 4，在直角DOCF中，则 OF2 +FC 2 =R 2，即( 9 -a 2 a - 5) 2 +( )4 22= 5 ，解得 a =3 3，故选 A4在三棱锥 A -BCD 中，ABC 与BCD 都是边长为 6 的

27、正三角形，平面 ABC平面 BCD， 则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A.5 15 B.60C.60 15 D.20 15 【答案】D【解析】取 BC 的中点为 M，E、F 分别是正三角形 ABC 和正三角形 BCD 的中心，O 是该三棱 锥外接球的球心，连接 AM、DM、OF、OE、OM、OB，则 E、F 分别在 AM、DM 上，OF平面 BCD， OE平面 ABC，OMBC，AMBC，DMBC，所以AMD 为二面角 ABCD 的平面角，因为平面 ABC平面 BCD，所以 AMDM，又 AM=DM=3 3，所以 EM =FM=13AM=3，所以四边 形 OEMF 为 正 方 形 ， 所 以

28、OM=6， 在 直 角 三 角 形 OMB 中 ， 球 半 径OB=OM 2 +BM 2=( 6) 2 +32=15，所以外接球的体积为4 ( 15)33=20 15 ，故选 D.5一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为 的 铁球，这时水面恰好和球面相切问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是( ) AB C D 【答案】B【解析】如图，作轴截面，设球未取出时，水面高 ，球取出后，水面高 则以， ，为底面直径的圆锥容积为，球取出后，水面下降到 ，水的体积为又 ，则 ，2解得 ，选 B6 已 知 三 棱 锥 S - ABC 所 有 顶 点 都 在 球 O 的 球

29、 面 上 ， 且 SC 平 面 ABC ， 若S C = AB = AC=1， BAC =120 5p【答案】0，则球 O 的表面积为 .【解析】AB =1, AC =1, BAC =12001， BC = 1 +1-2 11(- ) = 32， 三角形 ABC 的外接圆直径2 r =3sin1200=2 ，r =1，SC 平面 ABC , SC =1, DOSC为等腰三角形 , 该三棱锥的外接球的半径R = 1 +1 5=4 2, 该三棱锥的外接球的表面积为 S =4pR2=5p.因此，本题正确答案是: 5p 7三棱锥P -ABC中， AB =BC = 15, AC =6, PC 平面ABC

30、，PC =2，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）A25 25 83 83 p B p C p D3 2 3 2p【答案】D【 解 析 】 由 题 意 得 ， 在DABC中 ， 因 为 AB =BC = 15, AC =6， 由 余 弦 定 理 得cos B =( 15) 2 +( 15) 2 -6 2 1=- ，所以 sin B =2 15 15 52 65，所以 DABC 外接圆的半径为AC 6 5 6 2r = = =sin B 2 6 2，即r =5 64，所以球的半径为 R2=r2+ PC =838，所以球5的表面积为 S =4pR2=4p83 83= p8 2，故选 D8半径为 R 的

31、球内部装有 4 个半径相同的小球，则小球半径 r 的可能最大值为（ ）A32 + 3RB11 + 3RC6 5R D3 + 6 2 + 5R【答案】C【解析】四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小 球球心为顶点的正四面体棱长为 2r ，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心， 该正四面体的高为2 2 2332 3r 2 6 4r 2 - =3 3r， 该 正 四 面 体 的 外 接 球 半 径 为 x ， 则2 6 2 3r x 2 = -x + ，解得x =6 6 6 r ， R = r +r ， r = R2 2 3 + 6，故答案为 C二、填空题9如图，三个半径都是 10cm 的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处 于同于水平面，