湖南省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：立体几何.docx

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1、湖南省 2020 届高三数学理一轮复习典型题专项训练立体几何一、选择、填空题1、（常德市 2019 届高三上学期检测）如图，网格线上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何 体的三视图，其正视图，侧视图均为等边三角形，则该几何体的体积为8 3A3(1+ )B4 3(2 + )4 3C3(2 + )D8 3(1+ )2、（衡阳八中 2019 届高三上学期第二次月考）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为 1 的正六边形，点 G 为 AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（ C ）A.31p 31p 481pB. C.6 8 64D.31 31p483、（怀化市 20

2、19 届高三统一模拟（二） 某组合体的三视图如图所示.则该组合体的体积为A. 4 B. 8 C.4 8D.3 34、（三湘名校教育联盟 2019 届高三第一次大联考）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画 出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.8 B.16 C.24 D.485、（邵阳市 2019 届高三 10 月大联考）已知三棱锥 P -ABC 底面的 3 个顶点 A, B, C 在球 O 的同一个大圆上，且 ABC 为正三角形， P 为该球面上的点，若三棱锥 P -ABC 体积的最大值为 2 3 ，则球 O 的表面积为( )A. 12pB. 16pC. 32pD. 64p6、

3、（五市十校教研教改共同体 2019 届高三 12 月联考）已知 E ， F 分别是三棱锥 P -ABC 的棱 AP ， BC 的中点， AB =6 ， PC =6 ， EF =3 3 ，则异面直线 AB 与 PC 所成的角为（ ）A. 120B. 45C. 30D. 607、（湘潭市 2019 届高三下学期第二次模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D.如右图所示8、（益阳市 2019 届高三上学期期末考试）如图，个圆柱从上部挖去半球得到几何体的正视图、侧视图都是图 1，俯视图是图 2，若得到的几何体表面积为28，则x=A.3 B. 4 C.5 D.69、

4、（永州市 2019 届高三上学期第二次模拟）如图，在正方体 运动，则下列判断中正确的是（ ）中，点 在线段上1 平面2 直线3 异面直线平面平面与；所成角的取值范围是 ；三棱锥的体积不变.A. B. C. D. 10、（岳阳市 2019 届高三教学质量检测（一模） 个几何体的三视图 体的体积为10 3 ，则 h 为，已知这个几何11A.32B.3C.3 3D.5 311、（长郡中学 2019 届高三第六次月考）在三棱锥 PABC 中，PA 丄平面 ABC，BAC=2 p3，AP=3，AB = 2 3 , Q 是边 BC 上的一动点，且直线 PQ 与平面 ABC 所成角的最大值为 的外接球的表面

5、积为p3，则三棱锥 PABCA.45pB.57pC.63pD.84p12、（雅礼中学 2019 届高三第五次月考）如图 1 所示，是一个棱长为 2 的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中 DD 1，若此几何体的俯视图如图 2 所示，则可以作为其正视图的是13、（株洲市 2019 届高三教学质量统一检测（一） 已知正方体ABCD -A B C D1 1 1 1的棱长为 2，M为 CC 的中点若 AM平面 ，且 B平面 ，则平面 截正方体所得截面的周长为（ ）A3 2+2 5B 4+4 2C2 2+2 5D6 214、（湖南师大附中 2019 届高三月考试卷（六） 正四棱锥 SABCD

6、 的侧棱长与底面边长相等，E 为 SC 的中点，则 BE 与 SA 所成角的余弦值为(C)1 1 3 3A. B. C. D.3 2 3 2BE 323 3 3 32 32sin 60 32223 315、（湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等）2019 届高三第二次调研联考）已知三棱锥 大值是的四个顶点都在半径为 3 的球面上， ，则该三棱锥体积的最ABCD 6416、（湖南师大附中 2019 届高三月考试卷（六） 已知三棱锥 PABC 的四个顶点均在某球面上，PC16为该球的直径 ABC 是边长为 4 的等边三角形，三棱锥 P ABC 的体积为 ，则此三棱锥的外接380球的

7、表面积为_ _3参考答案：1、C 2、C 3、D 4、B 5、B6、D 7、A 8、B 9、B 10、B11、12、C 13、A14、【解析】如图，设 ACBDO，连接 OE，因为 OE 是SAC 的中位线，故 EOSA，则BEO1 3 2为 BE 与 SA 所成的角设 SAAB2a，则 OE SAa，BE SA 3a，OB SA 2a，2 2 2OE a 3所以EOB 为直角三角形，所以 cosBEO ，故选 C.3a15、 A15、 【解析】依题意，记三棱锥 PABC 的外接球的球心为 O，半径为 R，点 P 到平面 ABC 的距离1 1 3 16 4 3为 h，则由 V S h 4 h

8、得 h .又 PC 为球 O 的直径，因此球心 O 到PABC ABC 41 2 3 AB 4 32平面 ABC 的距离等于 h .又正ABC 的外接圆半径为 r ，因此 R 20 80，所以三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 4R .r2 3 3 二、解答题1、（常德市 2019 届高三上学期检测）如图，在直三棱柱 ABC -A B C 中， A B =A C =21 1 1 1 1 1 1，CC =2 3 ， BAC =120 1， O 为线段 B C 的中点， P 为线段 CC 上一动点（异于点 C、C1 1 1 1），Q为线段 BC上一动点，且QP OP；（）求证：平面 A PQ

9、平面 A OP ；1 1（）若 BO / PQ ，求直线 OP 与平面 A PQ 所成角的正弦值.12、（衡阳八中 2019 届高三上学期第二次月考）如图，已知 AB平面 ACD，DE平面 ACD， ACD 为等边三角形，ADDE2AB，F 为 CD 的中点.(1) 求证：AF平面 BCE ；(2) 求二面角 CBED 的余弦值的大小.3、（怀化市 2019 届高三统一模拟（二）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PC底面 A BCD，底面 ABCD是直角梯形，ABAD，AB/CD，AB=2AD=2CD=4，PC=4.(1)证明：当点 E 在 PB 上运动时，始终有平面 EAC 平面 PBC (

10、2)求锐二而角 A- PB-C 的余弦值.4、（三湘名校教育联盟 2019 届高三第一次大联考）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA 丄底面 ABCD,且 PA=2AB，F 是 AB 的中点，点 E 在线段 PC 上，且 PE13PC.（1） 证明：平面 DEF 丄平面 ABCD;（2） 求二面角 B-AE-D 的余弦值.5、（邵阳市 2019 届高三 10 月大联考）如图，菱形 ABCD 的边长为 4，DAB =60，矩形 BDFE 的 面积为 8 ，且平面 BDFE 平面 ABCD .(1) 证明： AC BE ；(2) 求二面角 E -AF -D 的正弦值.6、

11、（五市十校教研教改共同体 2019 届高三 12 月联考）如图，四棱锥 P -ABCD 中，PA 底面 ABCD ，底面 ABCD 为直角梯形， CDA =BAD =90，AB =AD =2 DC =2 2 E ， F 分别为 PD ， PB 的中 点.（1） 求证： CF / / 平面 PAD ；（2） 若截面 CEF 与底面 ABCD 所成锐二面角为4，求 PA 的长度.7、（湘潭市 2019 届高三下学期第二次模拟）如图，四棱锥的底面是直角梯形，和是两个边长为 2 的正三角形， ， 为的中点， 为的中点.（1） 证明：（2） 在线段平面 .上是否存在一点 ，使直线与平面所成角的正弦值为

12、？若存在，求出点 的位置；若不存在，说明理由.8、（益阳市 2019 届高三上学期期末考试）五面体 ABCDEF 中，ADEF 是等腰梯形,AD = 2,AB= = ED=BC = 1，SAD=900，平面 BAF 丄平面 ADEF。（1） 证明:AB 丄平面 ADEF；（2） 求二面角 B-AF-C 的余弦值.2,AF=FE9、（永州市 2019 届高三上学期第二次模拟）如图，在多面体中，四边形为矩形，直线与平面所成的角为 ， ， ， ，.（1）求证：直线平面；（2）点 在线段上，且，求二面角的余弦值.10、（岳阳市 2019 届高三教学质量检测（一模） 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA

13、 丄底面 ABC，BAC = 90,点 D，E,F 分别为棱 PA,PC,BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA=AC=4, AB=2.(I) 求证：MN/平面 BDE；(II) 求二面角 C-EM-N 的正弦值；11、（长郡中学 2019 届高三第六次月考）如图，四棱锥 P -ABCD 中，平面 PAD 丄平面 ABCD，底面 ABCD为梯形，AB/CD，AB=2DC= 2 3 ，ACBD=F，且PAD 与ABD 均为正三角形，G 为PAD 的重心. (1)求证:GF/平面 PDC.(2)求平面 AGC 与平面 PAB 所成锐二面角的正切值.12、（雅礼中学 2019 届高三第五次月考

14、）如图，已知长方体 ABCD A B C D ，底面为正方形，边长1 1 1 1AB2，侧棱 BB 4，过点 B 作 B C 的垂线交侧校 CC 于点 E，交 BC 于点 F。1 1 1（1）求证 A C 上平面 BDE；1（2）求锐二面角 EBDA 的余弦值113、（株洲市 2019 届高三教学质量统一检测（一） 如图（1），等腰梯形 ABCD， AB =2， CD =6，AD = 2 2 ，E、F 分别是 CD的两个三等分点若把等腰梯形沿虚线 AF 、 BE 折起，使得点 C 和点 D 重合，记为点 P如图（2），（）求证：平面PEF平面 ABEF ；（）求平面PAE与平面PAB所成锐二面

15、角的余弦值14、（湖南师大附中 2019 届高三月考试卷（六） 如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，ADDC CB1，ABC60，四边形 ACFE 为矩形，平面 ACFE平面 ABCD，CF1.(1)求证：BC平面 ACFE；(2)点 M 在线段 EF 上运动，设平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角为 (90) 取值范围，试求 cos 的15、（湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等）2019 届高三第二次调研联考）如图，在多面体 ，中，四边形 为梯形， ，均为等边三角形，（1） 过 作截面与线段 交于点 ，使得 证明；（2） 在（1）的条件下，求直线 与平面 参考答案：平

16、面 ，试确定点 的位置，并予以 所成角的正弦值1、解：（I）证明：因为A B =A C =2 ， O 为线段 B C 1 1 1 1 1 1的中点，所以 A O B C 1 1 1, .1 分在直三棱柱 ABC -A B C 中，易知 CC 平面A B C1 1 1 1 1 1 1， A O CC ，而 CC I B C =C 1 1 1 1 1 1； A O 平面CBB C 1 1 1，QP A O 1； .3 分又因为 QP OP ， DO I OP =O；所以 QP 平面 A OP1， .4 分又 QP 平面 A QP1；所以 平面 A PQ 平面 A OP1 1； .5 分（II）由（

17、I）可建立如图空间直角坐标系O -xyz ，因为BAC =120所以OB =OC =1 13，则O(0,0,0), C (0, 3,0), B (0,- 3,0)1 1,B(0,- 3,2 3), A (- 1,0,0)1,设P (0, 3, a), Q (0, b, 2 3)， .7 分33 3 3 331y - z =0222 2uuur uuur所以 QP = (0, 3 - b, a - 2 3), OB = (0,- 因为 QP OP ， BO / PQ ，,所以 QP OP =0, OB / QP3,2 3)，( 3 - b )? 3 a( a - 2 3) = 0 2 3( 3

18、- b ) = - 3( a - 2 3)，解得：a =3 3, b =2 4（ P 异于点 C ,C ） .8 分1uuur uuur uuur A P = (1, 3, ), QP = (0, ,- ), OP = (0, 3, ) 1 2 4 2 2r设平面 A QP 的法向量为 n = ( x, y, z ) 1，则 r uuurn ? A P 0 r uuurn ?QP 0即 3x + 3 y + z =0 23 3 3 3 4 2r，可取 n = (- 5 3,4,2)， .10 分设直线 OP 与平面 A QP 所成角为 q ，1r uurn OP 则 sin = r uur =

19、n OP4 3 + 3 2 19=15 19 954.11 分直线 OP与平面A QP1所成角的正弦值为2 1919.12 分（也可利用几何方法解答，找线面角并证明得 3 分，求值得 3 分）2、解设 ADDE2AB2a，以 AC，AB 所在的直线分别作为 x 轴、z 轴，以过点 A在平面 ACD 内和 AC 垂直的直线作为 y 轴，建立如图所示的坐标系， A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a， 3a，0)，E(a， 3a，2a).3 3a F 为 CD 的中点，Fa， ，0. (1)证明 3 3 AFa， a，0，BE(a， 3a，a)，BC (2a，0， 2 m

20、BC0， 44a)， 1 AF (BEBC)，AF 平面 BCE， AF平面 BCE.(2)设平面 BCE 的一个法向量 m (x，y，z)，m BE0， x 3yz0， 则 即 2xz0，不妨令 x1 可得 m(1， 3，2).nBE0，设平面 BDE 的一个法向量 n(x，y，z)，则 nBD0，x 3yz0， 即x 3yz0.令 x 3可得 n( 3，1，0).于是，cosm，nm n 6 . |m|n |6故二面角 CBED 的余弦值为 . 3、( )( )4、5、(1)证明：因为四边形 BDFE 是矩形，所以 BE BD .因为平面 BDFE 平面 ABCD ，且平面 BDFE平面

21、ABCD =BD ，所以 BE 平面 ABCD .又 AC 平面 ABCD ，所以 AC BE .(2)解：设 AC 与 BD 的交点为 O ，建立如图所示的空间直角坐标系 O -xyz . 因为菱形 ABCD 的边长为 4，且 DAB =60，所以 BD =4 .因为矩形 BDFE 的面积为 8，所以 BE =2 .则 A -2 3,0,0 ， D(0,2,0)， E(0,-2,2)， F(0,2,2)，所以 EF =(0,4,0 )，AF =(23,2,2 )，AD =(23,2,0 ). 设平面 AEF 的法向量为 n =(x, y , z )，1 1 1 1则EF n =4 y =0

22、1 1，AF n =2 3x +2 y +2 z =01 1 1 1令 x =1 ，则 y =0 ， z =- 3 ，所以 n = 1,0, - 3 . 1 1 1 1设平面 ADF 的法向量为 n =(x, y , z2 2 22)，( )1 222则AF n =2 3x +2 y +2 z =0 2 2 2 2AD n =2 3 x +2 y =0 2 2 2，令 x =1 ，则 y =- 3 ， z =0 ，所以 n = 1,- 3,0 . 2 2 2 2所以 cos = 1 2n n1 2n n1 2=1 1 15 = ，所以 sin = .2 2 4 4所以二面角 E -AF -D

23、的正弦值为154.6、解：（1）证明：取 PA 的中点 Q ，连接 QF ， QD ，F 是 PB 的中点， QF / / AB 且 QF =12AB ，底面 ABCD 为直角梯形， CDA =BAD =90， AB =AD =2 DC =2 2 ， CD / / AB ， CD =12AB ， QF / / CD 且 QF =CD ， 四边形 QFCD 是平行四边形， FC / / QD ，又FC 平面 PAD ， QD 平面 PAD ， FC / / 平面 PAD .（2）如图，分别以 AD ， AB ， AP 为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，设 PA =a 。则，a aA(

24、0,0,0) ， B (0,2 2,0) ， C (2 2, 2,0) ， D (2 2,0,0) ， E ( 2,0, ) ， F (0, 2, ) ，2 2取平面 ABCD 的法向量为 n =(0,0,1) .1a aCE =( - 2, - 2, ) ， CF =( -2 2,0, ) ，设平面 CEF 的法向量为2 2n =( x, y , z ) ，则有 2CEn=0 CFn=0，即 a- 2 x - 2 y + z =0 2a-2 2 x + z =0 2，不妨取 z =4 2 ，则 x =a ， y =a ，即 n =( a , a ,4 2) .2 cos = 1 2n n1

25、2 | n | |n |1 2=22，解得 a =4 即 PA =4 .7、（1）证明：设 为的中点，连接， ，则 .四边形， ，为正方形.， 为的中点， 为，的交点， 为的中点，即 OE 为三角形 BPF 的中位线 .平面平面，.平面 ，（2）， 为的中点，.，.在中，.又又因为，平面，所以过 分别作.，的平行线，分别以它们作为轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ，.假设线段上存在一点 ，使直线与平面所成角的正弦值为 .设，则，即.设平面的一个法向量为，则，即 .取，得平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为 ，令，得 ，化简并整理得 ，解得 （舍去），或 .所以，当时，直线与

26、平面所成角的正弦值为 .8、9、（1因为所以同理）因为四边形 ABCE平面平面为矩形，所以 BCAD.又因为因为平面（2）因为，所以平面，所以平面，平面，所以平面因为平面 ，所以平面平面过点 A 作所以于点 ，则平面由,得 ， ，以 为原点，平行于的直线为 轴，所在直线为 轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则,则设平面则由，的法向量为 ，得取其一个法向量为又平面所以的一个法向量为所以二面角 B-EG-D 的余弦值为 . 10、11、12、11113、【解析】（）E,F 是 CD 的两个三等分点， 易知，ABEF 是正方形，故 BEEF又 BEPE,且 PEEF=E所以 BF面

27、PEF又 BF 面 ABEF所以面 PEF面 ABEF -5 分（）过 P 作 POEF 于 O，过 O 作 BE 的平行线交 AB 于 G，则 PO面 ABEF 有所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系则 A(2，-1，0),B(2，1，0),E(0，1,0),P(0，0， 3 )-6 分所以uuurAE =(-2,2,0),uur uuurEP =(0, -1, 3) , AB =(0,2,0),uurPA =(2, -1,- 3)ur设平面 PAE 的法向量为 n =( x , y , z )1 1 1 1ur uurnAE=0 -2x+2y=0 ur则 ur uur n =(3

28、,3, 3) n1EP=0 -y1+3z1 =0uur设平面 PAB 的法向量为 n =( x , y , z )2 2 2 2-8 分22cos1 2 2 222 2 22 2 21n BM0，1 2|n |n |222uur uur nAB=0则 uur uur nPA=0ur uur n nq = ur uur n n1 22y2=02x-y - 3 z =0 5 3 5= =21 7 7uurn =( 3,0,2)2-10 分即平面 PAE与平面 PAB所成锐二面角的余弦值57-12 分14、【解析】(1)在梯形 ABCD 中，因为 ABCD，ADDCCB1，ABC60，所以 AB2，

29、2 分 所以 AC AB BC 2ABBCcos 603，所以 AB AC BC ，所以 BCAC.4 分因为平面 ACFE平面 ABCD，平面 ACFE平面 ABCDAC， BC 平面 ABCD，所以 BC平面 ACFE.6 分(2)建立以直线 CA，CB，CF 为 x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系如图所示， 令 FM(0 3)，则 C(0，0，0)，A( 3，0，0)，B(0，1，0)，M(，0，1)， 所以AB( 3，1，0)，BM(，1，1)，设 n (x，y，z)为平面 MAB 的一个法向量，1n AB0， 3xy0，由 得 xyz0，1取 x1，所以 n (1， 3， 3)，

30、9 分1因为 n (1，0，0)是平面 FCB 的一个法向量2|n n | 1 1所以 cos .1 2 13（ 3） 1 （ 3） 4因为 0 3，所以当 0 时，cos 有最小值7，71 当 3时，cos 有最大值 .所以 cos 7 1，7 2.12 分15、（1）当 为线段的中点时，使得平面 证法如下：连接 ， ，设 ，四边形 为矩形， 为 的中点，又 为 的中点， 为 的中位线， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，故 为 的中点时，使得平面 （2）过 作 分别与 ， 交于 ， ， 因为 为 的中点，所以 ， 分别为 ， 的中点， 与 均为等边三角形，且 ， ，连接 ， ，则得 ，四边形 为等腰梯形取 的中点 ，连接 ，则 ，又 ， ， ， 平面 ，过 点作 于 ，则 ， ， 分别以 ， ， 的方向为 ， ， 轴的正方向，建立空间直角坐标系 设 ，则由条件可得： ， ， ， ，不妨，设则所以可取由直线是平面即与平面的法向量，可得 ，所成角的正弦值为