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1、2 22 22 22222考点十七三角函数的图象和性质 知识梳理1正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数ysin x ycos x ytan x图象定义域RRx|xR 且 x 2k，kZ值域单调性最值奇偶性对称中心对称轴方程1，1 2k， 2k(kZ)上递增； 3 2k， 2k(kZ)上递减 x 2k(kZ)时， y 1；maxx 2k(kZ)时，y 1 min奇函数(k，0)(kZ)x k(kZ)1，12k，2k(kZ)上递增；2k，2k(kZ)上递减x2k(kZ)时， y 1；maxx2k(kZ)时， y 1min偶函数( k，0)(kZ)xk(kZ)R ( k， k) (kZ)上递
2、增奇函数k( ，0)(kZ) 2周期2 2 2用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数 ysin x，x0，2的图象中，五个关键点是：2 22 26 62 2 6 64 4x|2k x2k ，kZ44 42 3(0，0)，( ，1)，(，0)，( ，1)，(2，0)余弦函数 ycos x，x0，2的图象中，五个关键点是： 3(0，1)，( ，0)，(，1)，( ，0)，(2，1)3. 三角函数的周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数，周期均为 2k，kZ，最小正周期均为 2；正切函数 也是周期函数，周期为 k，kZ，最小正周期为 典例剖析题型一 三角函数的定义域和值域例 1 函数 ycos x
3、32的定义域为_. 答案 2k ，2k (kZ)解析 cos x3 3 0，得 cos x ，2k x2k ，kZ.变式训练 函数 y sin xcos x的定义域为_. 5 答案 x|2k x2k ，kZ 解析 要使函数有意义，必须有 sin xcos x0，即 sin xcos x，同一坐标系中作出 ysin x，ycos x，x0，2 的图象如图所示 5 结合图象及正、余弦函数的周期是 2 知，函数的定义域为 . 例 2 (1) 函数 y2sinx 2 x 的值域是_ 6 3(2) 函数 f(x)sin 2x 在区间 0， 上的最小值为_.答案 (1) 1，2 (2) 22 解析 (1)
4、 根据正弦函数图象，可知 x 时，函数取到最小值 1；x 时，函数取到最大值6 22. 244 4422222 的最大值为 ，最小值为.3k ，k (kZ) (2)2 12 2 12 4448 88 82x 的 k k 5 32 3 2 2 12 2 122 12 2 12 3 3(2) x 0， ， 2x ，令 y2x ，则 sin 2x sin y 在 y ， 上4 4 4 4的最小值为 sin 2 .2变式训练 求函数 ycos xsin x|x| 的最大值与最小值 4 2 2解析 令 tsin x，|x| ，t ， .4 2 2 1 5yt t1 t ，41 5 2 1 2 当 t 时
5、，y ，当 t 时，y .2 max 4 2 min 2函数 ycos xsin x| x| 5 1 2 4 4 2解题要点 1三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象 来求解2三角函数值域的不同求法(1) 利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；(2) 把所给的三角函数式变换成 yAsin(x)的形式求值域；(3) 把 sin x 或 cos x 看作一个整体，通过换元，令 tsin x(或 tcos x)，转换成二次函数求值 域；(4) 利用 sin xcos x 和 sin xcos x 的关系通过换元，令 t=sin
6、 x+cos x,转换成二次函数求值域 题型二 三角函数的单调性例 3 (1)函数 ycos2x4的单调减区间为_(2) 函数 f(x)tan2x 的单调递增区间是_答案 (1) 5 8 8 k k 5 ， (kZ) 解析 (1)由 ycos 2x cos 2x ，得 2k2x 2k(kZ)， 5故 k xk (kZ) 5所以函数的单调减区间为 k ，k (kZ)(2) 由 k 2x k (kZ)，得 x0)的单调区间时， 要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果 0)的两个相邻零点之间的距离为 ，则 的值为_ 答案 12 2解析 T ， 123. 函数 y1cosx 的定义域为_ 2 答
7、案 2k ，2k ，kZ1 1 解析 cosx 0，得 cosx ，2k x2k ，kZ. 4ysin(x )的图象的一个对称中心是_43答案 ( ，0)44 4 4 42 22 22 2 4433 2 2 23 3333 26 6 3 解析 令 x k，kZ 得 x k，kZ，于是( ，0)是 ysin(x )的图象的一个 对称中心.35函数 f(x)cos(2x )(xR)，下面结论不正确的是_(填序号)2 函数 f(x)的最小正周期为 函数 f(x)的对称中心是( ，0)2 函数 f(x)的图象关于直线 x 对称4 函数 f(x)是偶函数答案 3 2解析 f(x)cos(2x )sin2
8、x(xR)，最小正周期 T ，选项正确；k k由 2xk 得 x ，kZ，函数 f(x)的对称中心为( ，0)，取 k1 得选项正确； k 由 2xk 得 x ，kZ，取 k0 得函数 f(x)的对称轴为 x ，选项正确； f(x)sin2x(xR)，f(x)f(x)，f(x)为奇函数，选项不正确课后作业一、 填空题x1若函数 f(x)sin (0,2) 是偶函数，则 _答案32解析 f(x)为偶函数，关于 y 轴对称，x0 为其对称轴x 3 3 k，令 x0，3k ，当 k0 时， 42如果函数 y3cos(2x)的图象关于点 ，0 中心对称，那么|的最小值为_答案64 2 2解析 由题意得
9、 3cos 2 3cos 2 3cos 0， 2 k ，kZ， k ，kZ，取 k0，得|的最小值为 . 22232 12 2 122 3 2 2 12 2 12 32 12 2 124 44 4 44444 4 4 4 2 4 42 424 44 22x 22243函数 ycos 2x，周期为_，且在 0， 上是_（填“增函数”或“减函数”） 答案 ，减函数2 解析 因为 ycos 2x 的周期 T ，而 2x0，所以 ycos 2x 在 0， 上为减函数.4函数 f(x)tan2x 的单调递增区间是_k k 5答案 ， (kZ) k k 5解析 由 k 2x k (kZ)得， x (kZ)
10、，所以函数 f(x) k k 5tan 2x 的单调递增区间为 ， (kZ). 55已知 0,0，直线 x 和 x 是函数 f(x)sin(x)图象的两条相邻的对称轴， 则 _答案4解析 由题意得周期 T25 1 2，2 5 52 ，即 1，f(x)sin(x)，f sin 1，f sin 1. 5 0， ， ， .6函数 f(x)sin 2x 在区间 0， 上的最小值为_答案 22 3 2 解析 由已知 x 0， ，得 2x ， ，所以 sin 2x ，1 ，2 2故函数 f(x)sin 2x 在区间 0， 上的最小值为 .4 2 27(2015 四川文)下列函数中，最小正周期为 的奇函数是
11、_(填序号) ysin 2xycosysin 2xcos 2xysin xcos x答案 解析 项，ysin2x cos 2x，最小正周期为 ，且为偶函数，不符合题意；项，ycos2x sin 2x，最小正周期为 ，且为奇函数，符合题意；项，ysin 2xcos 2x 2sin2x ，最小正周期为 ，为非奇非偶函数，不符合题意； 4 623 26 662 3 6 2 224 8 8 2 24422项，ysin xcos x 2sin x ，最小正周期为 2，为非奇非偶函数，不符合题意8函数 f(x)3sin 2x 在区间 0， 上的值域为_答案 ，32 5 1解析 当 x 0， 时，2x ，
12、，sin 2x ，1 ，6故 3sin 2x ，3 ，3即此时函数 f(x)的值域是 ，3 .9函数 y3sin(2x )的最小正周期为_4答案 2解析 T . 10函数 f(x)cos(2x )3 在 ， 上的单调递减区间为_4 2 2 3 答案 ， ， 2 8 8 2 5 解析 由 2k2x 2k 得 k xk ，kZ.x ， ，取 k0 得 f(x) 在 ， 上的单调递减区间为 ， ；取 k1 得 f(x)在 ， 上的单调递减区间为 ，2 2 8 2 2 2 2 3 3 f(x)在 ， 上的单调递减区间为 ， 和 ， 8 2 2 2 8 8 211函数 ysin(x )的对称中心为_4答
13、案 (k ，0)，kZ二、解答题12已知函数 f(x)4cosxsinx (0)的最小正周期为 .(1)求 的值；(2)讨论 f(x)在区间 0， 上的单调性解析 (1)f(x)4cosxsinx42 2sinxcosx2 2cos x 2(sin2xcos2x) 2 44 88 2 3 33 3 33 3 332sin 2x 2.因为 f(x)的最小正周期为 ，且 0， 2从而有 ，故 1.2(2)由(1)知，f(x)2sin2x 2. 5若 0x ，则 2x .2 4 4 4 当 2x ，即 0x 时，f(x)单调递增；4 4 2 8 5 当 2x ，即 x 时，f(x)单调递减2 4 4 8 2 综上可知，f(x)在区间 0， 上单调递增，在区间 ， 上单调递减x13(2015 北京文)已知函数 f(x)sin x2 3sin2 .2(1)求 f(x)的最小正周期；2(2)求 f(x)在区间 0， 上的最小值解 (1)因为 f(x)sin x 3cos x 3.2sin x 3.所以 f(x)的最小正周期为 2.2 (2)因为 0x 时，所以 x . 2当 x ，即 x 时，f(x)取得最小值2 2所以 f(x)在区间 0， 上的最小值为 f 3.