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1、! 年#月 系统工程理论与实践第#期 文章编号$ % 9 ? 4 7 = 8A ; 5 ? ; 7 B 7 ; C 7 D ? E ? 9 48= F ? 4 GH 9 I ; 7 J K LMNO = ? ? 5 = V: 7 D ? E ? 9 4 5 ? ; 7 B 7 ; : 7 D ? E ? 9 4J= F ? 4 G ,6 ? D 6 ? 4 B 9 ; B 7 E JA ; 5 ? ; 7 B 7 ;a ; = 4 7 E ? 5 6 : ? 7 7 4 5 , = 4 : E 9 J7 5 ? J7 E D 9 4 ; ? D 5 ? 4 G , 9 I b 7 D 5 ?
2、B 7 A 4 D 5 ? 9 4 E Q34 75 V a 79 J9 : 7 ; 5 6 = 5 6 = E I 7 7 4E A G G 7 E 5 7 :5 9 7 a 7 E 7 4 5 E A D 6E ? 5 A = 5 ? 9 4 E ? E 5 6 7 ; ? 4 7 = JA ; 5 ? ; 7 B 7 ; a 9 G = JJ? 4 Ga 9 I ; 7 JQ cd e f g h Z $JA ; 5 ? ; 7 B 7 ;: 7 D ? E ? 9 4 5 ? ; 7 B 7 ;a 9 G = JJ? 4 G .; ? 4 7 = JA ; 5 ? ; 7 B 7 ;
3、a 9 G = JJ? 4 G .JA ; 5 ? a ; 7 ?!的矩阵# )* A 给定( # 第二规划人选择变量( $)* !$的值# 在6$的条件下最大优化他的目标函数第二规划人的目 标函数由+ , $ $#($- 给出#这里, $ $)* !$ 6$1 7 () * $?!的矩阵# :$ $是$?!$的矩阵# $)* $以同样的方式#在给定( # ($之后#第三规划人 选择变量( 2)* !2的值# 在62的条件下#使他的目标函数最大第三规划人的目标函数由+ , 2 2# (2-给出#这 里, 2 2)* !2A 621 7 () * 2?!的矩阵# :2 $是2?!$的矩阵# :2
4、 2是2?!2的矩阵# 2)* !2沿用这种方法# 每一级规 划人0依次选择变量7 ( 0)* !0 =的值#使由+ ,0 0#(0-决定的他的目标函数最大 601 7 () * 0= 式中, 0 0)* !0 上面所讨论的线性多级规划问题是指求目标函数 + , #(-. + , $#($-. % . + , 0= 对于任一0 1 # $ # %# 矢量 ,- = $ % $ 8 .既是允许解$又是可能解$因为 ,% $ ,+ $给定 ?, # $ 在 )*的条件下$ 使 最大;此时可能解集 A, / ) 0 +1 , B - 5 $# 5 $ 8 .7 - # B . - C $ 5 $ 8
5、 . $52 B 2 # 6 显然A是*的边界$给定A $很容易发现*的极点 D ,- C $ 5 $ 8 .是这一问题的唯一最大优解$其E ,# + F而 : ,/ 5 $ 5 $ # 8 6也是*的极点$且使E ,# 8 $但它却不在A集中; 设线性多级规划问题至少有一个允许解存在;一旦第一规划人对 #选定值 : #后$ 对于 %$ +$ G$ H可 能有解或可能无解$这样的 ,- #$%$G$H. 是一允许解;如果有解$然而$除多个最优解外$很难达到 极大和问题- % . - H .的无约束性;对线性多级规划问题$在 #, : #情况下$ 只有一个可能解 ; 设对于任一 ,% $ + $
6、 G$ H $给定*#$*%$G$* #$如果问题- .是可行的$则问题- .中*的最优解存 在且唯一; 定义I J I在线性多级规划问题中$既然我们没有假定设集合*#$*%$G$ *H是受约束的$对任一给 定的正数K$一个可能解存在并且 L ? ,#M N # ?$?O大于K是可能的;此时$ 我们称线性多级规划是不受约 束的;如果线性多级规划问题是受约束的$那么$存在一个最优解;因此$我们定义E为最大值而不是极大 值; 如果集合*#$ *%$ G$ *H至少一个是受约束的$那么线性多级规划问题是特殊情况问题P # Q; 引理I J R矢量 ,- #$%$G$H. 是线性多级规划问题的一个可能
7、解$当且仅当存在矢量S ,- S #$ S%$G$SH. $ 这里S )0 T $ ,# $ % $ G$ H $ - $ S . ,- #$%$G$H$S#$S%$G$SH. $ 满足下条件U - S. VW , - N . V$ , % $ + $ GF H M S$XL # ? ,#W ?O, M N $O $ , % $ + $ G$ H $ S%$S+$G$SH4 5 ) *$ , # $ % $ G$ H 成立 证明矢量 ,- #$%$G$H.是线性多级规划问题的一个可能解$当且仅当它是线性多级规划问 题的一允许解$且对任一 ,% $ + $ G$ H $给定 #$%$G$ #$
8、对由U 由线性规划对偶原理知$对任一 ,% $ + $ G$ H $给定 #$ %$G$ #$ )*是问题- . 最优解$当且仅 当由 + 第=期一个线性多级决策问题模型 万方数据 ! #$ % 1) 推论 ? #,6且% / $则#,/ 证明因为#是一多面集$它的边界也是多面的且封闭$因而推论* + ,是定理* + ,的直接结果) 定理 ? #4 ? 6 1 $由推论* + , $因为% / $因为#4 ? 6 / $所以 选择任一集G H /3 F ? G H#4 ? 6 其中$ G HC$ 证毕) 定理说明K , 6/是#的边界的集$ A 6定理用于约束集也可用于非约束集0 , 1$ *
9、 6可能解集下是凸集$也可能是非凸集)说明线性多级规划问题有局部最优解$而无全局最优解)所 以任一种寻找最优解的算法都必须有能力区分局部最优解和全局最优解) 推论 + 假设在线性多级规划中E是有限的$则存在一点% L/ E3 M N, ,$% L ,O: M N, A$% L AO: B : M N, P$% L PO 推论* + A证明了E为最大值$而不是极大值) 定义 + =设#Q P$ 如果存在#,$ #AQ P$# ,和#A或都为非空开集$ 或都为非空闭集$使得 #,R #A3 E $ #,F #A3 # 称#是不连通的$否则称#为连通的) 定理 + /是一连通集) 证明由引理A +
10、,可知$ % 34 % ,$%A$B$%P6 / $当且仅当%?#?$? 3, $ A $ B$ P $ 而且存在矢量S ,$ SA$B$SPT8 $满足 4 S?6 UV ? ?3 4 N? ?6 U ? 3 , $ A $ B$ P 使得 M S?$W?5X ? 5, Y 3,V ? Y%YO5 M N? ?$%?O3 8 $? 3 , $ A $ B$ P 因此$如果令 Z3 I 4 S,$SA$B$SP6T 8 4 S?6 UV ? ?3 4 N? ?6 U$? 3 , $ A $ B$ P J 而且$对任一S Z$令 4 S 63 I 4 %,$%A$B$%P6 %? #?$? 3
11、, $ A $ B$ P且 M S?$W?5X ? 5, Y 3,V ? Y%YO5 M N? ?$%?O3 8 $? 3 , $ A $ B$ P J 这里$ 认为是Z到Q P 的点到集合的映射0 1 ) 那么 / 34 S 6 $这里4 S 6 3I 4 S 6 S ZJ又 定义 + 点到集合的映射在它的区域内是封闭的) 那么$ 在每一S Z处都封闭)同时$ Z和4 S 6在每一S Z都是凸集$因此$它们是连通的$ / 3 4 S 6也是连通的) 定理 + _假设#不包括线$线性多级规划问题有一个最优解$该最优解是#中的一个极点) 第;期一个线性多级决策问题模型 万方数据 证明令! # !
12、 $%! %对任一4 / 2 $ %/ 2 说明 7 6 % ! 813 / 4 $5 %5 4? ; 因为*# $ )是*的边界% *# $ )的每一个极点也是*的极点+ 证毕+ A 结论 本文给出了一种用于军事决策系统的线性多级决策问题模型%并就其基本概念和特性进行了研究%研 究是初步的%更进一步的研究待以后完成+ 参考文献B C $ D E F G HIJ K L M NL O G P QF R HF S T M G P O U NP QH L V L S M W NL R O XY M GFU P L G F G Q U P Q F S W S F R R P R TW G M Z S L N G M W L F R I M G R F S M Y W L G F O P M R F S L X L F G Q U %$ _ a %$ _ B , b ; C i D E S F S F Xp J %qF G dF Rg rRO dM n S L V L S M W O P NP s F O P M R t e G F R X F Q O P M R XM Rl O M NF O P Qo M R O G M S % $ _ , j 系统工程理论与实践 ; ;年i月 万方数据