修正生命表的信度理论方法.doc

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1、寿险精算实务 精算通讯第四卷第三期 修正生命表的信度理论方法 陆健瑜 杨步青 梁子君 辅成咨询有限公司 总裁 上海财经大学保险精算中心 【摘要】人寿保险业务在定价和留存准备金时必须根据寿险经验生命表来得到死 亡率假设，采用合理的生命表是保险公司稳健经营的重要保证。精算师在对产品 进行定价、计算内含价值和公司的评估价值时，都需要采用符合本公司实际死亡 经验的生命表。然而，编制生命表需要收集大量的数据，有时保险公司根本无法 利用自己的力量编制生命表，尤其是一些中小型的保险公司。而死亡率假设对于 不同的险种、不同地域的被保险人又是不一样的，所以即使是大公司，也无法找 到适合于每个险种或每个地理区域的

2、生命表。实务工作中需要有一种方法能够帮 助保险公司快速地得到符合要求的生命表。信度理论是非寿险精算定价中常用的 方法，本文将这一方法拓展到利用实际数据对死亡率假设的修正过程中，希望能 为实务工作者提供一个简便实用的修正生命表的方法。一、问题的提出 生命表是一张反映人的死亡概率随年龄变化趋势的表格。它是人寿保险公司定价 和评估责任准备金时死亡率假设的确定基础。人寿保险产品按照承保对象不同， 可以分为团体保险和个人保险；按照保险事故的不同，又可分为死亡保险、生存 保险和生死合险。不同的险种下保单持有人的死亡率并不相同。一般而言，团体 保险由于核保标准较为宽松，一个团体内所有的成员都可以投保，而个险

3、的核保 标准虽然各公司有所不同，但都要比团险严格，因此团险的平均死亡率大于个人 保险的死亡率。另外，投保人购买保险时还存在着选择的行为，即身体状况差的 人倾向于购买保障型险种，身体健康的人倾向于购买返还型险种，所以寿险死亡 率要大于年金的死亡率。国家为了了解人口状况，也会定期进行人口普查，并在 此基础上编制国民生命表。国民生命表反映的是某个国家或某个地区所有人的平 均死亡率，而保险公司的寿险经验生命表只采用了被保险人的死亡率数据，由于 保险公司在接受投保时的核保和选择作用，被保险人的死亡率会低于社会平均水 平，所以以上四类生命表按照死亡率从高到低的排列为：国民生命表 团险生命表 寿险生命表 年

4、金生命表 此外，各家公司由于核保标准 的差异，即使是同一种产品 ,其对应的被保险人死亡率也不尽相同。而同一家公司 在不同地区的被保险人，死亡率也不- 20 - 一定是相同的。正因为如此，不可能要求所有的保险公司都采用同一张生命表来 定价、计算内含价值或评估公司价值，各公司应该根据产品的特征、被保险人群 体、公司核保标准和目标市场所在的地理位置等诸多因素来选择合理的生命表。保险公司在定价时，选用的生命表能否正确反映被保险人的死亡规律，与保险公 司未来获得的利润息息相关。对于保障型的产品，死亡率越高，保险公司支付的 保险给付成本越大，如果低估了死亡率，就会产生死差损。所幸的是，随着生活 水平的提高

5、和医疗技术的进步，人类的死亡率有逐年降低的趋势。在某些绝症的 治疗手段有突破时，还会使死亡率发生跳跃性的下降。例如最近我国科学家在白 血病治疗上的新发现，就很有可能挽救一大批人的生命。对于长期的保障型险 种，死亡率的自然降低趋势可以弥补定价带来的损失。但对于年金产品，情况就 大不一样了，年金产品的保险期限可能长达一生，而且死亡率越低、人的寿命越 长，保险给付成本就越高，如果保险公司在定价时没有充分考虑到死亡率降低的 趋势，很有可能会产生巨大的损失。在平稳的金融环境下，保险公司尚可依赖超 额的投资收益弥补这一不足，但近年来金融市场发生的巨大变化，尤其是利率的 急剧下跌，使寿险公司越来越无法依靠投

6、资收益来减轻死亡风险。英国公平人寿 保险公司的倒闭，就是一个很好的例子，他们在分红产品中加入了保证年金转换 率的条款，由于未寿险精算实务 精算通讯第四卷第三期 能充分认识到死亡风险的影响，保证条款的实际成本大大超过了预期，再加上经 营上的其他失误，最终使公平人寿走向破产。我国也存在这样的情况，目前保险 公司使用的中国寿险经验生命表( CL1990-1993)采用的是当时的中国人民保险 公司 1990-1993年的保单数据，至今已经有 10 年以上的间隔。据第五次人口普查 显示，我国人口平均预期寿命与 1990年相比提高了 2.85 岁。为反映死亡率的这 一减少，保险公司在产品定价时都没有完全依

7、据现行的生命表。通常寿险产品的 死亡率假设是将 CL1990-1993乘以 70 80，以此来弥补 CL1990-1993 死亡率 过高的缺陷。在计算内含价值或评估公司价值时，如果死亡率假设偏离了实际经验，公司未来 的利润就无法准确地得到预测，其后果便是公司的价值被高估或低估。当保险公 司打算通过上市发行股票来筹资时，低估了公司价值会损害老股东的利益，高估 了公司价值则会使股票上市后面临较大的市场风险。我国的保险公司大部分都没 有编制适合于自身实际经验的生命表，公司价值无法准确评估，这也是我国保险 公司上市难的原因之一。这些暴露出来的问题使人们意识到：正确认识死亡率，准确评估死亡风险是寿险 业

8、务稳健经营的重要保证。中国保监会在 2003 年的精算年会上宣布，将正式启动对中国生命表的修订工 作。这当然是个非常好的消息，可以预计， 3 年后将会出现一张更为符合保险业 实际情况的经验生命表。但是，中国有这么多的保险公司，每家公司的核保标准 和客户群体都不一样，一张生命表反映的只是业内的平均水平，各家公司还是有 所差异的。而且，即使是一家公司，在不同地区的投保人，其死亡率也会有差 别。所以，即使是新的生命表编制完成了，也只能是给保险公司的定价提供参 考。各家保险公司在定价时，还是要采用符合本公司被保险人实际死亡经验的死 亡率假设。但是，由于数据量、时间和人力资源的限制，很多保险公司不可能自

9、 己进行死亡率调查，编制自己公司的生命表。保监会给出的生命表只能反映平均 水平，而且由于修订工作的庞大，也不能要求保监会频繁地进行数据更新来跟上 保险市场的变化发展，对于实务工作者而言，需要的是一种简单的方法，能够快 速地得到符合实际的死亡率假设，本文 引入的信度理论就是这样一个方法。二、信度理论 信度理论是非寿险精算中常用的一种方法。非寿险业务面临的是各种各样的风 险，每张保单的损失和每个赔案的具体情况及相应的外部环境密切相关，因而损 失率需要不断修正以适应不断变化的外部环境。非寿险精算师在厘定费率时，既 要依据过去的经验，也要根据风险情况的新变化加以调整，也就是说，定价时的 假设是过去数据

10、和当前最新数据的加权，信度理论就是研究这种加权过程的理 论。信度理论在生命表中的应用可以分为两种类型，第一类是横向应用，即在对本公 司的险种作死亡率估计时，如果本公司的死亡数据不够，就可以借用国民生命 表、行业经验生命表或其他公司的经验生命表 ,利用本公司的实际死亡经验对借用 的生命表稍作调整，使之与本公司的实际经验更靠近一些。第二类是纵向应用， 即将信度理论方法用于本公司过去的经验和当前的经验中，将该公司过去的生命 表作为辅助数据，用最新的死亡调查数据对其进行调整，使之得到更新。以下我 们举例来说明该方法的应用。三、用信度理论来修正生命表 本节我们将用一个假想的例子，来说明信度理论是如何应用

11、的。例 国内某寿险公司，将中国寿险经验生命表 CL1990-1993 作为寿险产品的定价 基础，计算保单持有人的保费。但公司最近两年的死亡记录显示实际死亡率低于 CL1990-1993。可能的原因有： （1）数据过时。 CL1990-1993来自 10 年前的保 单数据， 10年间中国经济发生了巨大的变化，国民身体素质有了显著提高。而 且，中国的保险市场也有了非常大的改变，被保险人群体与 10 年前有显著的不 同。（2）数据不适合。 CL1990-1993 主要来源于人保 1990-1993年的保单数据，当时 中国市场上团险产品居多，而 1995 年个人代理人营销方式进入中国市场后，个 险产品

12、从 1997年占寿险总保费的 20%上升到 2000年的 80%。前文我们曾经谈到 过，团险产品和寿险产品的死亡率是不同的。（3）核保标准的不同。该公司采用的核保标准比- 21 - 寿险精算实务 精算通讯第四卷第三期 CL1990-1993对应的保单数据更为严格。（4）地域的影响。 CL1990-1993 来源于全国的数据，而该公司所在的区域在国内 属于较为发达地区，被保险人健康状况可能好于全国平均水平。由于实际死亡率与 CL1990-1993存在着差距，必须对 CL1990-1993 进行修正，使 之与实际经验更为接近。信度理论方法按照以下步骤进行：步骤 1 ：确定死亡率调查的统计时间，即调

13、查过去的一年，两年或更长时间内实 际死亡人数和按照 CL1990-1993 计算的预计死亡人数。的。其原因在于：死亡率虽然不断在变化中（见下图），但从长期趋势上看，可 能会围绕一个平均趋势作随机波动。统计时间过短时，得到的只是短期的死亡 率，短期的死亡率与平均死亡率会有偏差，统计时间太短时，这一偏差可能会很 大，从而掩盖了平均趋势。另外，在以下的讨论中我们还会看到，当统计时间过 短，死亡人数太少时，信度理论中的信度因子 Z 会很小，当前的数据几乎起不到 调整的作用。一般来说，最佳的死亡统计时间不能长于 5 年，但不能太短，通常要保证在统计 时间内按照 CL1990-1993 计算的平均死亡人数

14、不少于 1000人。笔者建议 ,最佳的 统计时间为 3 年。注 关于统计时间的选择 由于死亡率不断在变化中，死亡率调查的时间不能太长，否则数据就较为滞后， 不能反映最新的情况了。但是如果太短，得到的结果也是不够准确图一 死亡率的变化 按照以上的要求，不妨将上例中的统计时间设定为两年。 计死亡人数。不过这种做法在实际操作上可能会有一定的困难，因为保险公司的 死亡数据通常是以保单为单位来记录的，如果保险公司的信息系统中没有将同一 被保险人下的所有保单归集在一起，那么公司能够记录下来的可能只是发生死亡 理赔的保单数，而不是死亡人数。这时保险公司就只能以保单数量为统计单位 了，也就是说，统计的是实际发

15、生死亡理赔的保单数和期望发生死亡理赔的保单 数，其中期望发生死亡理赔的保单数也是根据每个年龄段的保单数量和 CL1990- 1993中的死亡率分别计算并加总得到的。以保单为统计单位的结果和以人数为统 计单位的结果会有偏差，因为有可能一个被保险人同时有好几份保单。当然对于 大的公司，死亡数据很多时，这种差别可以忽略不计。我们知道，在编制经验生命表时，还有一种以步骤 2 ：根据 CL1990-1993计算统计时间内的期望死亡人数（记为 E）； 在过去的两年中，依据 CL1990-1993 得到的期望死亡人数为 600人。实际计算 时，根据每个年龄段的被保险人人数和 CL1990-1993 中的死亡

16、率，对不同年龄的 死亡人数分别计算并加总即可。步骤 3 ：统计同时期的实际死亡人数（记为 A）； 过去的两年中，该公司实际死 亡人数为 360 人。显然，实际的死亡经验比 CL1990-1993 低 40%。注 死亡调查单位的选择 在统计死亡数据和计算期望死亡数据时，最好是按照死亡人数来计算，即统计实 际死亡人数和预- 22 -寿险精算实务 精算通讯第四卷第三期 保险金为统计单位的做法，即统计的结果是实际发生的死亡理赔金总额和预期发 生的死亡理赔金总额，美国在编制保险监督官生命表时就采用了这一做法。采用 保险金为统计单位的原因是：对于高保额的保单，被保险人通常处于较高的社会 阶层，经济条件较好

17、，可以享受较高的医疗保健水平，而保险公司对这类保单的 核保也比较严格，所以他们的死亡率比低保额保单的被保险人会低一些。也就是 说，死亡率与保险金额是有关系的。将保险金额作为死亡统计单位，就是希望得 到的生命表能够反映这种关系。不过，在本文的信度理论方法下，这种做法不可 取，因为采用保险金额为单位时可能会扭曲下文中信度因子的取值。Z 约等于这里的信度因子 Z 可以看成对实际死亡数据的信任程度，当 E较高时，数据量较 大，对实际死亡经验的信任程度较高，则 Z与 1非常接近，修正后的死亡率 q'=1-Z（1- m）q mq 即 q'A= qE 当 E 很小时，数据量较小，对实际死亡经

18、验不能给予过高的信任，这时 0，修正后的死亡率与原死亡率非常接近，相当于没有进行修正。q' q也可以从另一个角度来看公式 1，定义变量 r=1-m，表示实际死亡人数与期望死亡人数的差 异。将 m 的值代入，得到 r=0.4，即实际死亡人数比预计死亡人数少 40%。如果 对实际数据给予充分的信任，则应该用以下公式来修正死亡率 步骤 4 ：定义修正值(记为 m)为实际死亡人数与期望死亡人数的比值 m=0.6步骤 5 ：定义信度因子 Z 为 q'=mq=(1-r)q 即修正后的死亡率比原来的死亡率低 40%，和实际死亡人数与预期死亡人数的差 异相等。这是很多公司目前采用的做法。信度理

19、论的优点是考虑到了实际数据的可靠程度，为此引入了信度因子Z 的概念，用它来修正实际死亡人数与期望死亡人数的差距 r。Z=min(1,0.E) 调整后的死亡率即为 '=1-Z(1-m)qn (公式 1) qn 其中， n 表示年龄。将前面各步中得到的数据代入公式 1中,得到 Z =0.735，于是，修正后的死亡率为 q'=(1-Zr)q将 Z =0.735 代入，得到修正后的死亡率 '=1-0.736? (1-0.6)qn=0.706qn qn 修正后的死亡率比 CL1990-93低 30%。 '=0.706qn，只比原来低 29.4%。 qn 下图显示了修正后的

20、死亡率与原死亡率的差异 注 1 信度因子 Z的含义Zr、信度因子 Z 与期望死亡人数 E的关系。图二 修正后的死亡率与原死亡率的差异 Zr、信度因子 Z 与期望死亡人数 E的关 系- 23 -寿险精算实务 精算通讯第四卷第三期注 2 期望死亡人数 E对修正结果的影响 图中可以看到，对于一些小的寿险公 司，数据量很小，例如 E=50，这时的信度因子 Z 也会很小，只有 0.21,而修正后 的死亡率几乎为原死亡率的 92%，即修正的效果很小。 对于大型保险公司，数据量大到 E1000时，信度因子 Z0.94，修正后的死亡率 几乎为原死亡率的 62%，即无须考虑信度因子的影响，直接用 m 来修正原死

21、亡率 即可。这一结果的实际应用是，当公司一年数据量较小时，例如E=400，公司可以连续统计三年的死亡数据，使得三年的期望死亡人数之和1200 大于 1000，这样一来就可以直接用三年实际死亡人数 A与预期死亡人数 E的比值 m 来修正死 亡率，而不需要考虑信度因子了。而不断变化的。所以即使数据再充分和及时，算法再精确，我们也无法得到完完 全全反映所有年龄死亡率的绝对真实的生命表。既然无法达到理论上的完美，实 际工作中我们就必须作出妥协，只要得到的结果比原来的生命表与实际情况更接 近一些，就已足够了。另外，在为产品定价时，出于谨慎考虑，还可以在修正的基础上将死亡率再降低 或升高一些，例如，对于保

22、障型的寿险产品，可以将修正后的死亡率升高5%到10% ，即上例中可以在 73.5%qn到 77%qn之间任选一值作为定价时的死亡率假 设，对于返还型的年金产品，可以将修正后的死亡率降低 5%到 10%，即定价死 亡率在 63%qn到 66.5%qn 之间任意选择。不过，对于年金型产品的定价，这里有一点特别要说明的地方。年金产品的保险 期限通常很长， 30-40 年甚至长达一生。在这么长的时间里，人类的死亡率可能 会发生非常大的变化，例如医疗技术的进步，生活水平的提高，绝症治疗方法的 重大突破，这些因素都会降低死亡率，增加年金产品的成本。这些不确定的因素 使得年金产品的死亡风险非常难以估计。为了

23、尽量减小这一风险带来的损失，保 险公司在设计年金产品时，就应避免对年金给付率作出保证。公平人寿的前车之 鉴，对保险业就是一个非常沉重的教训。然而遗憾的是，我国的保险市场上目前 还有许多保证给付的年金产品，这说明保险业还未认识到死亡风险的严重性，这 是很可怕的。五、总结 生命表是人寿保险公司定价和评估责任准备金的基本依据。如果生命表不能反映 当前的死亡率，或者保险公司没有采用适合于本公司保单持有人的生命表，或者 对未来死亡率的变化趋势估计不够谨慎，那么可能会产生惊人的死亡风险。为了 得到更符合实际的死亡率假设，本文介绍了一种依据信度理论来修正生命表的方 法，简单实用，适合于保险产品定价、内含价值

24、计算和保险公司价值评估这些需 要真实死亡率假设的场合中使用。另外，公司在设计年金产品时，为了减小死亡 风险的损失，还应避免对年金给付率作出保证，我国的保险公司必须重视这一问 题。注 3 实际死亡率高于预计死亡率的情形 如果公司的实际死亡人数比预计死亡人 数高，变量 r 将为负值，修正后的死亡率将高于原死亡率。四、进一步的讨论 用信度理论方法修正生命表，可以使原生命表更准确地反映本公司实际的死亡经 验，这一点对于产品定价时的利润测试，内含价值的计算和公司价值的评估是非 常重要的。所以，精算师在进行这些工作时，不妨可以试用该方法来得到较为符 合实际的死亡率假设。不过，在评估法定责任准备金时，通常监

25、管机构会指定生 命表，这时精算师就必须严格按照相关精算规定进行，人为修正生命表的做法是 不允许的。关于信度理论方法，还有一点要说明。按照以上的方法，所有年龄段的死亡率都 在原生命表的基础上降低了 30%。从理论上来说，这似乎不太精确，因为每个年 龄段实际死亡率与预计死亡率差异肯定不一样，换言之，信度理论修正后的死亡 率还是不能准确反映真实的死亡率。这确实是一个问题，但我们要牢记的是，生 命表中的死亡率表达的只是死亡的概率，这本身就是一个不确定的量。任何一个 随机事件，我们都无法找到 100%准确地描述其发生可能性的概率描述。更何 况，我们的生命表是从数据中统计出来的，误差不可避免。而且，不同的公司， 同一公司在不同的时期，死亡率总是有差异，死亡率本身也是随时间- 24 -