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1、从赵爽弦图与风车模仿图欣赏中西文化魅力-戴从“赵爽弦图”与“风车磨坊图”看两种思维方式乌鲁木齐市第23中学戴广德从“赵爽弦图”与“风车磨坊图”看两种思维方式中国最早的一部数学著作周髀算经的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说你对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段地丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：数的产生源于对方和圆这些形体的认识，其中有一条原理：当用直角三角形的“矩”测得一条直角边“勾”等于3，另一条直角边“股”等于4的时候，那么他的斜边“弦”必定是5，这个原理在大禹治水的时候就总结出来了。无独有偶，托勒密国
2、王也曾问欧几里得，有没有学习几何学的捷径。欧几里得答道：“几何无王者之道。”意思是说，在几何学里没有专门为国王铺设的大道。另外据传康熙皇帝曾将徐光启和意大利传教士利玛窦合译的几何原本当成智力玩具，把玩了一生。从以上的事例可以看出，古人对数学是十分感兴趣的，我国早在3000年以前就将数学应用于社会实践了。勾股定理是古代数学的瑰宝。它的证明方法有十几种之多，很多证法之巧妙令人拍案叫绝，本人试图以“赵爽弦图”和“风车磨坊图”为例，探讨两种不同的思维方式及其影响，对于今后的教学和科研会有一定的启迪。先看赵爽弦图：直角三角形ABC的三边分别为c,a,b由图一可得： 22222214)(b a c b a
3、 c b a +=?+=+由图二可得：22)(214b a b a c -+?=?c 2=a 2+b 2 这两种证法都充分地体现出古人的聪明和智慧，将直角三角形的性质融于人们熟悉的正方形之中，亲切自然通俗易懂。在第24届国际数学家大会上又将此图（二）设计成会标，体现了中国人敦厚方正的文化风格。从边长a 、b 的大小变化上看，又体现了ab b a 222+的不等关系。当且仅当b a =时，图二就演变成了图三 从图一中还可以明显地得出不等关系：()(222222b ab a b a +?+，当且仅当b a =时=成立.即2b a +222b a +，图中式“赵爽弦图”的魅力所在。而在西方把直角三角
4、形的三边之间的关系称为“毕达哥拉斯定理”，它的证明思路与我国的赵氏证法截然不同，采用的是“风车磨房图证法，这一证法最早出现在几何原本()1里。现将该证明思路介绍如下：已知 Rt ABC ，?=90C .求证: c 2=a 2+b 2 证明：在AB,AC,BC 边上，向外分别作正方形 ABCF ,正方形ADIC ,正方形ACID可得ABE GBC 所以S ABE 三角形=S GBC 三角形 又S BGKP 矩形=S BGC 2三角形S BEHC 正方形=2S ABE三角形S BGKP 矩形=S BEHK正方形=BC2同理可证S AFKP矩形= S ACID正方形=AC2所以2AB=2AC+2BC
5、即c2=a2+b2得到了直角三角形三边之间的关系.。风车磨坊图从欧氏证法可以看出，采用的是全等三角以及等底等高的三角形与矩形的面积之间的关系。从转化过程看，已经把问题搞得面目全非，谈不上简单易懂,更谈不上解题技巧，可见，这正是欧氏的风格，也正是这种严格的演绎推理风格，将此问题又推向了深入。在几何原本的命题.31()2中将该问题推向一般，勾股定理只是它的一个特例，不但在各边上分别作正方形时命题成立，作相似多边形时命题也成立，这样就完成了一个由特殊到一般的推理，使此类问题得到了彻底解决。CCBAB研究命题.31主要依赖于一下三个引理：引理1：在面积相等的三角形中，有一对角相等，那么，等角对应的边成
6、逆比例；有角对应相等，相等角对应的边成逆比例的三角形的面积相等。()3 引理2：相似三角形面积比等于对应边的比的平方()4。引理3: 如果三条线段成比例，那么第一条线段比第三条线段的比值等于第一条线段所建的多边形面积比第二条线段所建的相似多边形的面积的比值。()5代数表示为：如果 b a c b 那么 c a 22ba在这里我们不妨把命题.31称之为定理，下面给出简要的证明。 定理：()6在直角三角形中，斜边上的多边形等于直角边上的相似的图形面积之和 。 证明：在直角三角形ABC 中，CD AB 由相似三角形 可得ADC ACB即：AC AD =AB AC ?ABAD =? ?AB AC 2=
7、22AB AC =S ACBADC 三角形三角形（引理3） 又四边形 A ACC 四边形A ABB 四边形B BCC而：SS21=22AB AC =AB AD 同理：SS 23=22AB BC =AB BD 而AB =AD +DB 所以S 2=S 1+S 3 按此定理，在三边上只要作出的n 边形是相似图形，它们的面积之和都是相等的，这样的相似图形可以是三角形，四边形，五边形以及n 边形，从面积的角度将直角三角形的性质推广到一般。另外从三角形的角的方面来看，有正、余弦定理可以解任意三角形。由此可见，直角三角形勾股定理无论从边、角关系还是从面积的变化关系上都是一个特殊的例子。其实引理1就是正弦定理
8、在不同三角形中的应用，但它是以逆比例的形式出现，使用起来比较方便。在2500年以前就把正弦定理应用的如此灵活实属不易。引理2使用构造法在相似三角形中完成了证明“面积的比等于相似比的平方”，十分机智。引理3利用等比数列的性质把线段之比与面积之比一一对应使问题发生本质性的飞跃，该引理是解决问题的关键。我们从以上的分析不难看出：西方侧重于系统的分析和推理，在分析和推理中，构建严密的理论体系，每个问题只是体系中的一个环节，既是前面的结论又是后面命题的前提，在这连环不断的推理中将问题推向一般、推向深入。而我国则喜欢只是就问题讨论问题，对于它的来龙去脉不是太关心，不喜欢最根溯源，关心的只是有何用途，有多大
9、实用价值。一个勾股定理用了上千年几乎是在同一层面循环，知识点之间也看不到内在的联系。而我们对于每一个问题的解决()7，侧重于综合法一题一法，以至于当今大家还是喜欢搞各式各样的习题解答，每当此时解决问题本身已是次要的，而显示解题者的个性倒跃居了主位。其次就是对特殊结论的应用，在知识的内在联系方面挖掘的稍显不足。因为注重实用，所以把结论做得越简单越特殊越好，在具体解决问题的方法上雕琢的十分精致，如同一件精美的工艺品，在欣赏享受精美艺术品的同时也失去了学科发展的灵活性和理论体系的完整性、系统性，失去了结构内在的严密性和持续生长的活力。这正是中西文化的差异所在。第三，“赵氏”关心的是三边之间的数量关系
10、，特别是那一组不等式更是把线性关系的大小体现的淋漓尽致，使我们觉得问题的本质就该是如此。对于a 2本身还有一层含义是表示面积，因为我国重代数轻几何的思维定式，才使a 2的几何意义长期被忽视，而西方的“欧式”思维恰恰是利用了面积的意义将问题引向了纵深，并不是我们华夏儿女不聪明，而是我们没有朝哪方面去思考。其实利用类比推理，还可以把平面的相关结论类比到空间，感兴趣的诸君不妨一试。通过以上的分析，使我们明确了各自的优劣，尺有所短寸有所长，我们分析的目的在于取长补短，他山之石可以攻玉。将中西方的文化优势集于一身，这也许正是新教材的意图所在，也许正是我们教师的艰巨任务之所在吧。 参考书目索引：()1见几何原本p77命题,47()2见几何原本P242()3见几何原本命题.15 P221 ()4几何原本命题.19 P225 ()5几何原本命题.19的推论P22 ()6几何原本命题.31 P242 ()7见九章算术* 中学数学高中教材