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1、正多边形和圆 ( 一)素质教育目标1使学生理解正多边形概念；使学生了解依次连结圆的n 等分点所得的多边形是正多边形；过圆的n 等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是正多边形2，通过正多边形定义教学培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力3，向学生渗透“特殊一般”再“一般特殊”的唯物辩证法思想教学重点、难点、疑点及解决方法1重点：正多边形的定义；n 等分圆周 (n 3) 可得圆的内接正n 边形和圆的外切正n边形2难点：对正n 边形中泛指“n”的理解3疑点及解决方法：揭示定理证明的思路和步骤，说明取n=5 的特殊情况证明定理具有代表性教法学法和
2、教具1 教法：引导学生探索研究发现法。2 学法：学生主动探索研究发现法。3 教具：三角尺、圆规、投影仪（或小黑板）。教学步骤复习准备部分同学们思考以下问题：1等边三角形的边、角各有什么性质？2正方形的边、角各有什么性质？ 安排中下生回答3等边三角形与正方形的边、角性质有什么共同点？ 中上生回答： 各边相等、各角相等 教师：我们今天学习的内容“7.15 正多边形和圆” 课堂讲练部分一，正多边形的概念教师提问：1，什么是正多边形？ 安排中下生回答： 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形师强调：如果一个正多边形有 n(n 3) 条边，就叫正 n 边形等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫
3、正四边形 教师展示图形2，上面这些图形都是正几边形？ 安排中下生回答：正三角形，正四边形，正五边形，正六边形 3，矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？ 安排中下生回答： 矩形不是正多边形，因为边不一定相等菱形不是正多边形，因为角不一定相等4，哪位同学记得在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距关系定理？ 安排记起来的学生回答：在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么其余量都相等5，要将圆三等分，那么其中一等份的弧所对圆心角度数是多少？要将圆四等分、五等分、六等分呢？ 安排中下生回答：将圆三等分，其中每等份弧所对圆心角120、将圆四等分，每等份弧所对圆心角90、五等分，圆心角7
4、2、六等分，圆心角60 6，哪位同学能用量角器将黑板上的圆三等分、四等分、五等分、六等分？ 接排四名上等生上黑板完成，其余学生在下面练习本上用量角器等分圆周7，大家依次连结各分点看所得的圆内接多边形是什么样的多边形？ 学生答：正多边形二，等分圆周法定理求证：五边形ABCDE是 O的内接正五边形教师引导学生分析：1，以五边形为例，哪位同学能证明这五边形的五条边相等？ 安排中等生回答：2，哪位同学能证明这五边形的五个角相等？ 安排中等生回答：3，前面的证明说明“依次连结圆的五等分点所得的圆内接五边形是正五边形”的观察后的猜想是正确的如果n 等分圆周， (n 3) 、 n=6， n=8 是否也正确呢
5、？ 安排学生们充分讨论 教师总结: 因为在同圆中，弧等弦等，n 等分圆就得到n 条弦等，也就是n 边形的各边都相等又n 边形的每个内角对圆的(n-2)条弧，而每一内角所对的弧都相等，根据弧等、圆周角相等，证明了n 边形的各角都相等，因此圆内接正五边形的证明具有代表性定理：把圆分成 n(n 3) 等份：(1) 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形；教师强调：1，为何要“依次”连结各分点呢？缺少“依次”二字会出现什么现象？大家讨论讨论看看2，经过圆的五等分点作圆的切线，大家观察以相邻切线的交点为顶点的五边形是不是正五边形？PQ、 QR、 RS、 ST 分别是经过分点A、 B、 C、
6、D、 E 的 O的切线求证：五边形PQRST是 O的外切正五边形教师引导学生分析：1,由弧等推得弦等、弦切角等，哪位同学能说明五边形PQRST的各角都相等？ 安排中上生回答2, 哪位同学能证明五边形PQRST的各边都相等？ 安排中等生回答教师总结： 前面同学的证明，说明“经过圆的五等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正五边形”同样根据弧等弦等、弦切角等就可证明经过圆的n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的n 个等腰三角形全等，从而证明了这个圆的以它n 等分点为切点的外切n 边形是正n 边形(2) 经过各分点作圆的切线， 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外
7、切正 n 边形 教师强调：定理(2) 中少“相邻”两字行不行？少“相邻”两字会出现什么现象？同学们相互间讨论研究看看总结、扩展、反思本堂课我们学习的知识：1学习了正多边形的定义2 n 等分圆周 (n 3) 可得圆的内接正n 边形和圆的外切正n 边形课堂作业：教材P.143 练习 2、 3布置作业 ：P.157 中 2、 3板书设计教后札记 ：学生对正多边形的概念能够理解，会用等分圆周法作图，但是，由于对多边形接触较少， 应用有难度， 解题不周密， 要指导学生对正多边形的概念作图和定理的反思学习。正多边形和圆 ( 二)素质教育目标1使学生了解在任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同
8、心圆；正多边形都是轴对称图形，有偶数条边的正多边形又是中心对称图形；边数相同的正多边形都相似；使学生理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念2通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；通过正多边形有关概念的教学，培养学生的阅读理解能力3；向学生渗透特殊到一般再由一般到特殊的唯物辩证法思想教学重点、难点、疑点及解决方法1重点：正多边形的性质；正多边形的有关概念2难点：对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且这两个圆是同心圆”的理解3疑点及解决方法：正n 边形 n 个顶点共圆的证明解决此疑点的方法是复习点与圆的位置关系，即到圆心距离等于半径的点在圆上教法学法和教具1 教
9、法：引导学生探索研究发现法。2 学法：学生主动探索研究发现法。3 教具：三角尺、圆规、投影仪（或小黑板）。教学过程复习引入部分上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n 等分 (n 3) 圆周就可以得到的圆的内接正 n 边形和圆的外切正 n 边形那么给定正多边形能否得到圆呢？为解决此问题本堂课继续研究正多边形和圆复习提问：1作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？ 安排记起来的学生回答 2作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？ 请回忆起来的学生回答 请两名中上学生到黑板前一人画不等边三角形的外接圆与内切圆，另一人画正三角形的外接圆与内切
10、圆，其余学生在练习本上画上述两种三角形的外接圆与内切圆课堂讲练部分教师引导： 通过作图不难发现，不等边三角形都既有一个外接圆，又都有一个内切圆大家观察黑板上两种三角形的外接圆与内切圆，结合你画的图， 你发现正三角形的外接圆与内切有什么特殊之处？( 学生思考、回答：正三角形的外接圆与内切圆是同心圆)教师引导：正方形是不是既有一个外接圆又有一个内切圆，并且两圆同心呢？ 学生讨论 在学生讨论的基础上，教师依次提问如下问题：1正方形外接圆的圆心在哪？( 安排中上生回答：正方形对角线的交点)2根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？( 安排中上生回答)3正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁
11、？( 安排中上生回答) 教师引导：通过大家画图实践与理论探讨发现正方形既有一个外接圆又有一个内切圆并且两圆同心大家再看看矩形、菱形是否具有这条性质？( 学生在练习本上画、前后左右讨论得出矩形只有外接圆，菱形只有内切圆结论)教师引导： 我们发现正三角形既有外接圆又有内切圆且两圆同心，发现正方形也是如此，我们猜想正多形是否都具备这个性质呢？挂出预先画好一个正五边形ABCDE的小黑板教师讲解：如果正五边形ABCDE有外接圆，则 A、B、C、D、E 五点应都在同一个圆上，且它们到圆心的距离相等大家知道不在同一直线上的三点确定一个圆，不妨过正五边形ABCDE的顶点 A、B、 C 作 O，连结 OA、 O
12、B、OC、 OD、OE OA=OB=OC；证 OD=OA、 OE=OA即可板书：过正五边形 ABCDE的顶点 A、 B、 C、作 O连结 OA、 OB、 OC、 OD教师分析、 启发、提问： 1证点 D 在 O上就是证 OD=OA，你打算证哪两个三角形全等？( 安排中下生回答 ) 2要证 AOB COD已具备了哪些全等条件？( 安排中下生回答 ) 3要证 AOB COD还缺少什么条件？( 安排中下生回答) 4谁能证 3= 4？ ( 安排中上生完成)板书： OAB ODCABCDE有一个外接圆O讲授：照此法证明，正六边形、正七边形、 正n 边形不都应当有一个外接O吗？分析、启发、提问：既然正五边
13、形有一个外接O，那么正五边形的五条边也就应是O 的五条等弦 根据弦等、弦心距相等，可知点 O到五边的距离相等那么正五边形有无内切圆呢？圆心是谁？半径是谁？( 按中等生回答 ) 同样，正n 边形也应有一个内切O，且两圆同心哪位同学能叙述一下正多边形的这个性质定理？( 安排中上生回答)板书： 定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆教师引导， 正n 边形既有一个外接圆又有一个内切圆，而且两圆同心就给正多边形带来了一系列的有关概念，请阅读教材P.158下数第2 自然段学生看书，教师板书：1正多边形中心； 2正多边形半径； 3正多边形的边心距； 4正多边形的中心角课堂练习： 教师
14、提问：1 O是正 ABC的中心，它是正ABC的_圆与 _ 圆的圆心；2 OB叫正 ABC的 _它是正 ABC的 _圆的半径；3 OD叫作正 ABC的 _，它是正 ABC的 _圆的半径4正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的 _5正方形ABCD的内切圆 O的半径 OE叫做正方形ABCD的 _6 O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB 的弦心距OF叫正五边形ABCDE的 _，它是正五边形ABCDE的圆的半径7 AOB叫做正五边形ABCDE的 _角，它的度数是_8图中正六边形ABCDEF的中心角是 _，它的度数是_9你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有什么数量关系？为什么？10正三角
15、形的一个外角度数是_；正方形的一个外角度数是_；正五边形的一个外角度数是_ ；正六边形的一个外角度数是_；正 n 边形的一个外角度数是_11正n 边形的一个外角度数与它的_角的度数相等教师引导：下面我们研究正多边形都具有哪些性质？教师提问：根据正多边形的定义，你想到它应具有什么性质？( 安排中下生回答)板书：正多边形 性质： 1各边都相等； 2各角都相等教师提问： 1什么叫轴对称图形？( 安排记起来的学生回答) 2正三角形是不是轴对称图形？ ( 让中下生答 ) 3它有几条对称轴？( 中等生回答 ) 4正方形是不是轴对称图形？( 中下生回答 ) 5它有几条对称轴？( 中等生回答 )演示：观察图中
16、正五边形、 正六边形是不是轴对称图形？如果是，它们又各应有几条对称轴？( 学生思考、讨论)教师引导：以此类推，对正n 边形又该有什么结论？( 让中下生回答)板书： 性质3正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心教师提问： 1什么叫中心对称图形？( 让记起来的学生回答) 2正三角形是不是中心对称图形？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？3什么样的正多边形是中心对称图形？( 安排中等学生回答 ) 板书： 续性质 3边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心教师提问： 1所有的等边三角形都相似吗？为什么？( 安排中上生回答) 2所有的正方
17、形都相似吗？为什么？( 安排中等生回答) 3所有的边数相同的正多边形都相似吗？为什么？( 由中下生回答) 板书：性质4边数相同的正多边形相似( 教师讲解 ) ：大家都记得相似多边形的周长比等于相似比面积的比等于相似比平方，不难证明，相似正多边形的边心距、半径的比都等于相似比板书：续性质4，它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方性质 5：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆总结和拓展 （教师引导学生反思）本堂课主要学习了正多边形的两部分有关内容：1概念； 2性质课堂练习 ：P.145 页练习 1、2、 3布置作业 教材： P.157 中 4；
18、板书设计正多边形和圆 ( 二)一，定理二，练习三，小结教后札记 ：学生对正多边形的有关概念能够理解，但是，应用较生，对定理能够理解，但是，由于解题的综合性较强，对多边形接触较少，应用有难度，解题不周密，要指导学生对正多边形的概念、作图和定理的反思学习。正多边形和圆 (三)素质教育目标1复习巩固正多边形的定义及其有关概念；复习巩固正多边形的性质和判定2, 通过复习使学生提高归纳、系统知识的能力； 通过证明和画图提高学生综合运用分析问题和解决问题的能力；通过一题多解的训练培养学生的发散思维能力3, 通过系统归纳知识渗透系统、全面、联系客观看问题的唯物辩证认识观通过一题多解的发散思维训练和逆向思维训
19、练，培养学生对科学孜孜不倦的探索精神和不断更新的创新意识及选优意识教学重点、难点及解决方法1重点：系统本单元的知识，复习正多边形的定义、概念、性质和判定；在理解正多边形的判定方法的基础上一题多解，对学生进行发散思维训练；通过正多边形与圆关系的第二定理的逆定理的证明，对学生进行求异思维的训练2难点：综合运用知识证题教法学法和教具1 教法：引导学生探索研究发现法。2 学法：学生主动探索研究发现法。3 教具：三角尺、圆规、投影仪（或小黑板）。教学过程教师谈话引入： 前两节我们学习了正多边形的定义、概念、正多边形的性质和判定本堂课我们对这一单元进行复习( 教师提问，学生回答)1什么叫做正多边形？2什么
20、是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？3正多边形有哪些性质？( 边、角、对称性、相似性、有两圆且同心)4正多边形的半径实质是它的什么圆的半径：它的边心距又是什么圆的半径？5正多边形的中心角实质是在它的外接圆中每边所对的什么角？如何求它的值？它的度数与正多边形的一个什么角度数相等？6正 n 边形有几条对称轴？当边数是什么数时，正n 边形又是中心对称图形？7所有的正多边形都相似吗？8正多边形外接圆的圆心一定还是它的_圆的圆心9已知：如图7-132 ，正六边形ABCDEF求：正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆当展示第9 题时，要求学生讨论如何完成，并且要说出作图的依据在学生分组充分讨论之后，教师
21、组织全班交流，并安排学生按要求画出正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆( 复习提问 ) ：判断一个多边形是正多边形的方法有哪些？( 安排中上学生回答：1定义法；2等分圆周法)展示练习题 ) ：已知：如图7-133 ，F、 C、 H、 M、 N 分别为正五边形ABCDE各边中点求证：五边形FGHMN是正五边形题目展示后安排学生讨论、 研究在学生充分讨论后教师提出如下问题， 带领全班学生证明这道题1要证五边形FGHMN是正五边形，必须证其五边相等五角相等要证五边相等，你想到证哪些三角形全等？( 安排中下生回答) 2要证这些三角形全等，正五边形ABCDE提供了哪些全等条件？( 安排中下生回答) 3哪
22、位同学能证五边形FGHMN的五个角相等？( 安排中等生回答) 展示练习题2：如图 7-134 ，求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形已知： ( 安排学生填写 )求证： ( 安排学生填写 )分析：要证五边形ABCDE是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可提出问题：大家讨论研究如何证五边形的五条边相等呢？师生共同分析：证五边相等，先证其二边相等，其余同理可证要证：线段相等，习惯证三角形全等 例如证 AB=BC可证 AOB BOC，要证这两个三角形全等需三个条件，大家找找看当学生每找出一个条件，教师都要追问一下“为什么？”这是大家熟悉的利用正多边形定义证明了这道题大家再想一想，
23、能不能用等分圆周的方法证明这道题呢：讨论讨论、研究研究、试试看如图 7-135 ，师生共同分析：已知五边形与O相切，要证其为正五边形只要证五个切点是 O 圆周的五等分点即可即，证明A OB = B OC = C OD = D OE = EOA要证五个角等，可先证其两个角等，然后同理可证( 提问 ) 哪位同学能证A OB = BOC？ ( 安排中等生证明) 展示练习题3：求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形教师引导：此题的多边形的边数不具体，你打算如何处理？( 安排中上生回答：以五边形为例 )教师用幻灯给出这道题的图形，然后安排学生写出这题的已知、求证再要求学生讨论研究分别用定义和等分圆周法证
24、明( 可安排两名中上学生到黑板证明)已知：如图7-136 ，五边形ABCDE内接于 O，且 AB=BC=CD=DE=EA求证：五边形ABCDE是正五边形教师引导：这道题的两种证法，哪一种简单？( 安排中下生回答：方法2 简单 )教师或请优等生归纳：证圆的内接多边形或圆的外切多边形是正多边形时只要证圆周被等分即可这种方法要优于用正多边形定义证明的方法教师引导：大家知道，正多边形既有一个外接圆又有一个内切圆，并且两圆同心反之，如果已知一个多边形既有一个外接圆又有一个内切圆，并且这两个圆是同心圆，那么这个多边形是不是正多边形呢？幻灯给出以五边形为例的图形安排学生讨论研究n已知：如图7-137 ，同心
25、O分别为五边形ABCDE的内切圆和外接圆，切点分别为F、G、 H、M、 N求证：五边形ABCDE是正五边形( 引导分析 ) ：要证五边形ABCDE是正五边形，需要什么条件？( 让中DE=EA大家观察五边形的边是它外接圆的什么？是它内切圆的什么？( 安排中上生回答： 边是外接圆的弦，是内切圆的切线) 根据切线的性质你发现五边形的内切圆半径应是它外接圆的什么？ ( 安排中等生回答：弦心距)哪位同学能够完整的证明这题？( 安排优等生完成) 总结、拓展（教师引导学生对课堂学习的内容反思）本堂课我们复习了正多边形的定义、概念、性质和判定方法重点复习了正多边形的判定布置作业教材 P.146 中练习 1、 2； P.157 中 5、6；学有余力者做：P.159B 组 3、 4板书设计教后札记 ：学生对正多边形的有关概念能够理解，对性质的理解不够深刻，应用较生，由于解题的综合性较强，对多边形接触较少，应用有难度，解题不周密， 要指导学生对正多边形的概念、作图和定理的反思学习。